1、實用標準文案2015中考專題復習一一軸對稱之最值例題講解1. （2013?蘇州）如圖，在平面直角坐標系中，RtAOAB的頂點A在x軸的正半軸上.頂點B的坐標為（3,加），點C的坐標為（1, 0）,點P為斜邊OB上的一個動點，則 PA+PC的最小值為（）2A.近精彩文檔2. （2011?本溪）如圖，正方形 ABCD的邊長是4, / DAC的平分線交DC于點E,若點P、Q分別是AD和AE上的動點，則 DQ+PQ的最小值（）A. 2B.C. 2&|D. 4/23. （2013?宛城區一模）點A, B均在由邊長為1的相同小正方形組成的網格的格點上，建立平面直角坐標系如圖所示，若P是x軸上使得|

2、PA-PB|的值最大的點，Q是y軸上使得QA+QB的值最小的點，則OP+OQ= （ ）C. UD. 54. 如圖，A是半圓上的一個二等分點，B是半圓上的一個六等分點，P是直徑MN上的一個動點，O O半徑r=1 ,則PA+PB的最小值是（）5.如圖，在平面直角坐標系中，點A （ - 2, 4）, B （4, 2）,在x軸上取一點P,使點P到點A和點B的距離之和最小，則點 P的坐標是（）A . (-2, 0)B. (4, 0)C, (2, 0)D, (0, 0)6. 如圖，MN是。O的直徑，點A是半圓上的三等分點，點 B是劣弧AN的中點，點P是直徑MN上一 動點.若 MN=2加,貝U PA+PB的

3、最小值是()A. 2mB.近C. 1|D 27. 如圖，正方形 ABCD的面積為16, AABE是等邊三角形，點 E在正方形ABCD內，在對角線 BD上有一點P,使PC+PE的和最小，則這個最小值為()B. 2TC. 2在|D. 28. (2013?資陽)如圖，在 RtAABC 中，/ C=90°, / B=60°,點 D 是 BC 邊上的點，CD=1 ,將 4ABC 沿 直線AD翻折，使點C落在AB邊上的點E處，若點P是直線AD上的動點，則 PEB的周長的最小值是9. (2012?青島)已知：如圖，在 RtAABC 中，/ C=90°, AC=6cm , BC=

4、8cm , D、E 分別是 AC、AB 的 中點，連接DE,點P從點D出發，沿DE方向勻速運動，速度為 1cm/s；同時，點Q從點B出發，沿BA 方向勻速運動，速度為 2cm/s,當點P停止運動時，點 Q也停止運動.連接 PQ,設運動時間為t (s) (0 <t<4).解答下列問題：(1)當t為何值時，PQXAB ?(2)當點Q在BE之間運動時，設五邊形PQBCD的面積為y (cm2),求y與t之間的函數關系式；(3)在(2)的情況下，是否存在某一時刻t,使PQ分四邊形BCDE兩部分的面積之比為 S/xPQE: S五邊形PQBCD=1: 29?若存在，求出此時 t的值以及點E到PQ

5、的距離h;若不存在，請說明理由.（1）求M, N兩村之間的距離；（2）要在公路AB旁修建一個土特產收購站10. （2013?南充）如圖，公路 AB為東西走向，在點 A北偏東36.5°方向上，距離 5千米處是村莊 M;在點A北偏東535方向上，距離10千米處時村莊 N （參考數據；sin36.5 =0.6, cos36.5 =0.8, tan36.5 =0.75）.P,使得M, N兩村到P的距離之和最短，求這個最短距離.11. （2013?日照）問題背景：如圖（a）,點A、B在直線l的同側，要在直線l上找一點C,使AC與BC的距離之和最小，我們可以作 出點B關于l的對稱點B；連接A B

6、與直線l交于點C,則點C即為所求.（1）實踐運用：如圖（b）,已知，O O的直徑CD為4,點A 在OO上，/ ACD=30 °, B為弧AD的中點，P為直徑 CD 上一動點，則 BP+AP的最小值為 .（2如圖（c）,在RtAABC中，AB=10 , / BAC=45 °, / BAC的平分線交 BC于點D, E、F分別是線段 AD 和AB上的動點，求BE+EF的最小值，并寫出解答過程.12. （2010?天津）在平面直角坐標系中，矩形 OACB的頂點O在坐標原點，頂點 A、B分別在x軸、y軸 的正半軸上， OA=3, OB=4, D為邊OB的中點.（1）若E為邊OA上的一

7、個動點，當 4CDE的周長最小時，求點 E的坐標；（2）若E、F為邊OA上的兩個動點，且 EF=2,當四邊形 CDEF的周長最小時，求點 E、F的坐標.（溫馨提示：可以作點D關于x軸的對稱點D',連接CD'與x軸交于點E,此時4CDE的周長是最小的.這 樣，你只需求出 OE的長，就可以確定點 E的坐標了 .）13. （2010?淮安）（1）觀察發現：如（a）圖，若點A, B在直線l同側，在直線l上找一點 巳 使AP+BP的值最小.做法如下：作點 B關于直線l的對稱點B',連接AB',與直線l的交點就是所求的點 P.再如（b）圖，在 等邊三角形 ABC中，AB=2

8、 ,點E是AB的中點，AD是高，在 AD上找一點P,使BP+PE的值最小.做法如下：作點B關于AD的對稱點，恰好與點 C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點P,故BP+PE的最小值為.（2）實踐運用：如（c）圖，已知。O的直徑CD為4, /AOD的度數為60°,點B是仄£的中點，在直徑 CD上找一點P,使BP+AP的值最小, （3）拓展延伸：如（d）圖，在四邊形并求 BP+AP的最小值.E,ABCD的對角線AC上找一點B DP,使/ APB= / APD.保留作圖痕跡，不必寫出作法.D14. （2009?漳州）幾何模型：條件：如下圖，A、B是直線l同旁的兩個定點.

9、問題：在直線l上確定一點P,使PA+PB的值最小.P,則PA+PB=A B的值最小（不必證明）P是AC上一動點.連接 BD ,由正方形對稱性方法：作點A關于直線l的對稱點A',連接AB交l于點 模型應用：（1）如圖1,正方形ABCD的邊長為2, E為AB的中點,可知，B與D關于直線AC對稱.連接ED交AC于P,則PB+PE的最小值是 ;（2）如圖2,。的半徑為2,點A、B、C在。上，OAOB, /AOC=60 °, P是OB上一動點，求PA+PC 的最小值；（3）如圖3, /AOB=45°, P是/AOB內一點，PO=10, Q、R分別是 OA、OB上的動點，求 4

10、PQR周 長的最小值.2013年12月1066077065的初中數學組卷參考答案與試題解析一.選擇題（共7小題）J5），點C的坐標為（0）,點P為斜邊OB上的一個動點，則 PA+PC的最小值為（）2考點：軸對稱-最短路線問題；坐標與圖形性質.專題：壓軸題.分析：1. （2013?蘇州）如圖，在平面直角坐標系中，RtAOAB的頂點A在x軸的正半軸上.頂點B的坐標為（3,作A關于OB的對稱點 D,連接CD交OB于P,連接AP,過D作DN，OA于N,則此時PA+PC 的值最小，求出 AM，求出AD ,求出DN、CN,根據勾股定理求出 CD,即可得出答案.解答:解：作 A關于OB的對稱點 D,連接 C

11、D交OB于P,連接 AP,過D作DN，OA于N, 則此時PA+PC的值最小， DP=PA,PA+PC=PD+PC=CD , - B (3, V3),AB=如，OA=3, /B=60°,由勾股定理得： OB=2*，由三角形面積公式得：->OA >AB= ->OB>AM ,223 . AM=匕2AD=2 出=3,2 . / AMB=90 °, / B=60°, ./ BAM=30 °, . / BAO=90 °, ./ OAM=60 °, DN LOA, ./ NDA=30 °,-.AN= AD=|,由勾

12、股定理得： DN=d,- C (點 0),CN=3 -1-1=1 ,2 2在RtADNC中，由勾股定理得：DC二+ （熬）2=等,即PA+PC的最小值是退!，2故選B.30度角的直角三角形性點評：本題考查了三角形的內角和定理，軸對稱-最短路線問題，勾股定理，含 質的應用，關鍵是求出 P點的位置，題目比較好，難度適中.2. （2011?本溪）如圖，正方形 ABCD的邊長是4, / DAC的平分線交DC于點E,若點P、Q分別是AD和AE上的動點，則 DQ+PQ的最小值（）BC考點：軸對稱-最短路線問題；正方形的性質.專題：壓軸題；探究型.分析：A. 2B. 4C. 2&|D. 4&

13、過D作AE的垂線交AE于F,交AC于D 再過D作DP。AD ,由角平分線的性質可得出D是D關于AE的對稱點，進而可知 DP'即為DQ+PQ的最小值.解答:解：作D關于AE的對稱點D',再過D作DP'AD于P； DD 工 AE,/ AFD= / AFD AF=AF , / DAE= / CAE , . DAFA D AF ,D是D關于AE的對稱點，AD =AD=4 , .DP即為DQ+PQ的最小值， 四邊形ABCD是正方形， ./ DAD =45 °, . AP'=P'D', 在 RtAAP D'中，.222 一 2PD +AP

14、=AD , AD =16, , AP=P'D', ,222PD =AD ,即 ，PD=2&,即 故選C.22PD2=16,_DQ+PQ的最/、值為2血.QDA P Pf點評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題，根據題意作出輔助線是解答此題的關鍵.3. (2013?宛城區一模)點A, B均在由邊長為1的相同小正方形組成的網格的格點上，建立平面直角坐標系如圖所示，若P是x軸上使得|PA-PB|的值最大的點，Q是y軸上使得QA+QB的值最小的點，則OP+OQ=D.B.考點：軸對稱-最短路線問題；坐標與圖形性質.分析：連接AB并延長交x軸于點P,作A點關于y軸的對稱點A連接A B

15、交y軸于點Q,求出點Q與y 軸的交點坐標即可得出結論.解答：解：連接AB并延長交x軸于點P,由三角形的三邊關系可知，點P即為x軸上使得|PA-PB|的值最大的點，點B是正方形的中點，點P即為AB延長線上的點，此時 P (3, 0)即OP=3;作A點關于y軸的對稱點 A連接A B交y軸于點Q,則A B即為QA+QB的最小值， A ' ( - 1, 2) , B (2, 1),設過A B的直線為：y=kx+b ,則，2= - k+bJ=2k+b_55.Q (0,予，即 OQ=1, _ E 14OP+OQ=3+ -=.3 3故選：C.A*AQ工且ta0p自評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題

16、，根據題意得出P、Q兩點的坐標是解答此題的關鍵.4 .如圖，A是半圓上的一個二等分點，B是半圓上的一個六等分點，P是直徑MN上的一個動點，O O半徑r=1 ,則PA+PB的最小值是()B.考點：分析：軸對稱-最短路線問題；勾股定理；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關系.本題是要在 MN上找一點P,使PA+PB的值最小，設 A是A關于MN的對稱點，連接 A'B,與 MN的交點即為點P.此時PA+PB=A B是最小值，可證 AOAB是等腰三角形，從而得出結果.解答:解：作點 A關于MN的對稱點 A ；連接AB,交MN于點P,連接OA； AA OQXAB , 點A與A'關于MN對稱，點A是

17、半圓上的一個二等分點，.A'ON=/AON=90 °, PA=PA', B是半圓上的一個六等分點， ./ BON=30 °,.A'OB=/A ON+ /BON=120 °,又 OA=OA =1, / A =30 °,A Q=OA Cos30 =立2A B=VS.PA+PB=PA +PB=A B=V3.故選：C.點評:此題考查了軸對稱-最短路線問題，正確確定P點的位置是解題的關鍵， 確定點P的位置這類題在課本中有原題，因此加強課本題目的訓練至關重要.5 .如圖，在平面直角坐標系中，點A ( - 2, 4), B (4, 2),在x軸

18、上取一點P,使點P到點A和點B的距離之和最小，則點 P的坐標是()V A( 2, 0)B. (4, 0)C. (2, 0)D. (0, 0)考點：軸對稱-最短路線問題；坐標與圖形性質.分析：作A關于x軸的對稱點C,連接AC交x軸于D,連接BC交交x軸于P,連接AP,此時點P到 點A和點B的距離之和最小，求出 C (的坐標，設直線 CB的解析式是y=kx+b，把C、B的坐標 代入求出解析式是 y=x - 2,把y=0代入求出x即可.解答:解：作A關于x軸的對稱點C,連接AC交x軸于D,連接BC交交x軸于P,連接AP, 則此時AP+PB最小，即此時點P到點A和點B的距離之和最小，- A (- 2,

19、 4),.C (- 2, - 4),設直線CB的解析式是y=kx+b ,把C、B的坐標代入得:-一，-4=- 2k+b解得：k=1 , b= - 2,y=x -2,把y=0代入得：0=x - 2,x=2 ,即P的坐標是(2, 0), 故選C.I ri，t 1 11 曲 I ri ri m I J s si' i j,i sir jg si- ii點評:本題考查了軸對稱-最短路線問題，一次函數的解析式，坐標與圖形性質等知識點，關鍵是能畫出 P的位置，題目比較典型，是一道比較好的題目.6.如圖，MN是。O的直徑，點A是半圓上的三等分點，點 B是劣弧AN的中點，點P是直徑MN上一動點.若 M

20、N=2加,貝U PA+PB的最小值是(A. 272B.詆C. 1D- 2考點： 分析：解答:軸對稱-最短路線問題；勾股定理；圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理.本題是要在 MN上找一點P,使PA+PB的值最小，設 A是A關于MN的對稱點，連接 A'B,與 MN的交點即為點P.此時PA+PB=A B是最小值，可證OA'B是等腰直角三角形， 從而得出結果. 解：作點 A關于MN的對稱點 A ；連接AB,交MN于點P,連接OA； OA , OB , PA, AA : 點A與A'關于MN對稱，點A是半圓上的一個三等分點，A'ON=/AON=60 °, PA=PA

21、',點B是弧AN的中點，BON=30 °, . / A OB= / A ON+ / BON=90 °,又 OA=OA =&, A B=2 .PA+PB=PA +PB=A B=2 .故選D.點評：本題結合圖形的性質，考查軸對稱-最短路線問題.其中求出/BOC的度數是解題的關鍵.7.如圖，正方形 ABCD的面積為16, AABE是等邊三角形，點 E在正方形ABCD內，在對角線 BD上有一點P,使PC+PE的和最小，則這個最小值為（）C. 2遍|D. 2考點：軸對稱-最短路線問題；等邊三角形的性質；正方形的性質.專題：計算題.分析：根據正方形的性質，推出C、A關于

22、BD對稱，推出CP=AP,推出EP+CP=AE ,根據等邊三角形性質推出AE=AB=EP+CP ,根據正方形面積公式求出AB即可.，解答：口c解：盤B 正方形ABCD ,AC ± BD , OA=OC , C、A關于BD對稱，即C關于BD的對稱點是A ,連接AE交BD于P,則此時EP+CP的值最小，.C、A關于BD對稱，CP=AP ,EP+CP=AE ,.等邊三角形 ABE, . EP+CP=AE=AB , 正方形 ABCD的面積為16,AB=4 ,EP+CP=4,故選A.點評：本題考查了正方形的性質，軸對稱-最短問題，等邊三角形的性質等知識點的應用，解此題的關鍵是確定P的位置和求出

23、EP+CP的最小值是AE,題目比較典型，但有一定的難度，主要培養學生分 析問題和解決問題的能力.二.填空題（共1小題）8. （2013?資陽）如圖，在 RtAABC 中，/ C=90°, / B=60°,點 D 是 BC 邊上的點，CD=1 ,將 4ABC 沿 直線AD翻折，使點C落在AB邊上的點E處，若點P是直線AD上的動點，則 PEB的周長的最小值是 1+Vs.考點： 專題： 分析：軸對稱-最短路線問題；含 30度角的直角三角形；翻折變換（折疊問題）壓軸題.連接CE,交AD于M ,根據折疊和等腰三角形性質得出當 P和D重合時，PE+BP的值最小，即可 此時4BPE的周長

24、最/、， 最/、值是 BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE ,先求出BC和BE長，代入求 出即可.實用標準文案解答:解：連接CE,交AD于M ,沿AD折疊C和E重合，/ ACD= / AED=90 °, AC=AE , / CAD= / EAD , AD垂直平分 CE,即C和E關于AD對稱，CD=DE=1 , 當P和D重合時，PE+BP的值最小，即此時 4BPE的周長最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE . / DEA=90 °, ./ DEB=90 °, . / B=60 °, DE=1 , BE= BD=3即 BC=

25、1+. PEB的周長的最小值是故答案為：1 + V5.bc+be=i + 1V3+-V3=i+V3 ,30度角的直角三點評：本題考查了折疊性質，等腰三角形性質，軸對稱-最短路線問題，勾股定理，含 角形性質的應用，關鍵是求出 P點的位置，題目比較好，難度適中.三.解答題(共6小題)9. (2012?青島)已知：如圖，在 RtAABC 中，/ C=90°, AC=6cm , BC=8cm , D、E 分別是 AC、AB 的 中點，連接DE,點P從點D出發，沿DE方向勻速運動，速度為 1cm/s；同時，點Q從點B出發，沿BA 方向勻速運動，速度為 2cm/s,當點P停止運動時，點 Q也停止

26、運動.連接 PQ,設運動時間為t (s) (0 <t<4).解答下列問題：(1)當t為何值時，PQXAB ?(2)當點Q在BE之間運動時，設五邊形 PQBCD的面積為y (cm2),求y與t之間的函數關系式；(3)在(2)的情況下，是否存在某一時刻t,使PQ分四邊形BCDE兩部分的面積之比為 S/xpqe： S五邊形PQBCD=1： 29?若存在，求出此時 t的值以及點E到PQ的距離h;若不存在，請說明理由.考點：相似三角形的判定與性質；一元二次方程的應用；勾股定理；三角形中位線定理.精彩文檔實用標準文案專題：分析：解答:解得t=里;14代數幾何綜合題；壓軸題；動點型.(1)如圖

27、所示，當PQLAB時，4PQE是直角三角形.解決問題的要點是將4PQE的三邊長PE、QE、PQ用時間t表示，這需要利用相似三角形(PQEsACB)比例線段關系(或三角函數)；(2)本問關鍵是利用等式 五邊形PQBCD的面積二四邊形DCBE的面積-4PQE的面積”，如圖 所示.為求4PQE的面積，需要求出 QE邊上的高，因此過 P點作QE邊上的高，利用相似關 系(aPMEsABC)求出高的表達式，從而問題解決；(3)本問要點是根據題意，列出一元二次方程并求解.假設存在時刻t,使 $ PQE： S 五邊形 PQBCD=1 :29,則此時SzPQE='S梯形DCBE,由此可列出一元二次方程，

28、解方程即求得時刻t;點E到PQ的rso距離h利用 PQE的面積公式得到.解：(1)如圖，在Rk ABC中，AC=6 , BC=8AB=+ D、E分別是AC、AB的中點.AD=DC=3 , AE=EB=5 , DE / BC 且DE=BC=42 PQXAB , ./ PQB=Z C=90° 又 DE / BC/ AED= / B . PQEA ACBFE QB由題意得：PE=4- t, QE=2t - 5,(2)如圖，過點P作PMXAB于M ,由pmesacb,得AC ABpm 4 - t _ a=,得 PM=2 (4-t).61052Sapqe=EQ?PM= (5-2t) ? (4-

29、t)=t1+6,2255 IQcc1S 梯形 DCBE=-X (4+8) >3=18,. .y=18 (Jt2 第 t+6) =-。2+岑 t+12.5105 10(3)假設存在時刻"使$4PQE: S 五邊形 PQBCD=1 ： 29,則此時SAPQE=S 梯形 DCBE,30.Tt2-空t+6=_l_M8, 51030即 2t2- 13t+18=0 ,解得ti=2, t2=-（舍去）.2當t=2時，PM= -X （42） =-, ME=-X （4-2）=-,5555Q 1 QEQ=5 - 2 >2=1 , MQ=ME+EQ= -+1=,55- pq=tw=J得）一罕.

30、PQ?h=W25，h=E?一=W2口5 （或_匚）.5 V2O5 205 V2O5A匣圖點評：本題是動點型綜合題，解題關鍵是掌握動點運動過程中的圖形形狀、圖形面積的表示方法.所考查 的知識點涉及到勾股定理、相似三角形的判定與性質、三角形中位線定理、解方程（包括一元一次 方程和一元二次方程）等，有一定的難度.注意題中求時刻t的方法：最終都是轉化為一元一次方程或一元二次方程求解.10. （2013?南充）如圖，公路 AB為東西走向，在點 A北偏東36.5°方向上，距離 5千米處是村莊 M;在 點A北偏東535方向上，距離10千米處時村莊 N （參考數據；sin36.5 =0.6, cos

31、36.5 =0.8, tan36.5 =0.75）.（1）求M, N兩村之間的距離；（2）要在公路 AB旁修建一個土特產收購站P,使得M, N兩村到P的距離之和最短，求這個最短距離.考點： 專題： 分析：解答:解直角三角形的應用-方向角問題；軸對稱-最短路線問題.應用題；壓軸題.(1)過點 M 作 CD /AB , NE LAB ,在 RtAACM 中求出 CM , AC ,在 RtAANE 中求出 NE, AE , 繼而得出MD, ND的長度，在 RtAMND中利用勾股定理可得出 MN的長度.(2)作點N關于AB的對稱點G,連接MG交AB于點巳點P即為站點，求出 MG的長度即可.G解：(1)

32、過點 M 作 CD/AB , NELAB ,如圖：在 RtAACM 中，/ CAM=36.5 °, AM=5km , .sin36.5o=0.6,5 CM=3 , AC= J蟠2 一 CM=4km，在 RtAANE 中，/ NAE=90 ° - 53.5 =36.5 °, AN=10km ,NE .sin36.5°=業=0.6,10 NE=6 , AE=癡訝典 Z=8km，MD=CD - CM=AE - CM=5km , ND=NE - DE=NE - AC=2km ,在 RtAMND 中，MN= 4小十皿 2=，km .(2)作點N關于AB的對稱點G,

33、連接MG交AB于點P,點P即為站點， 此時 PM+PN=PM+PG=MG ,在 RtMDG 中，MG= J5， 0 2=Vi=5而km .答：最短距離為 5瀉km.點評：本題考查了解直角三角形的知識，解答本題的關鍵是構造直角三角形，利用三角函數值求解相關線段的長度，難度較大.11. (2013?日照)問題背景：如圖(a),點A、B在直線l的同側，要在直線l上找一點C,使AC與BC的距離之和最小，我們可以作 出點B關于l的對稱點B；連接A B與直線l交于點C,則點C即為所求.BA.: ：I :, I%(1)實踐運用：如圖(b),已知，O O的直徑CD為4,點A 在OO上，/ ACD=30

34、76;, B為弧AD的中點，P為直徑 CD 上一動點，則BP+AP的最小值為 2訴 .(2)知識拓展：考點：軸對稱-最短路線問題. 分析：如圖(c),在RtAABC中，AB=10, / BAC=45 °, / BAC的平分線交 BC于點D, E、F分別是線段 AD 和AB上的動點，求BE+EF的最小值，并寫出解答過程.(1)找點A或點B關于CD的對稱點，再連接其中一點的對稱點和另一點，和 MN的交點P就是 所求作的位置.根據題意先求出/C'AE,再根據勾股定理求出 AE,即可得出PA+PB的最小值；(2)首先在斜邊 AC上截取 AB=AB ,連結BB',再過點B作B

35、F± AB,垂足為F,交AD于E, 連結BE,則線段BF的長即為所求.解答:解：(1)作點B關于CD的對稱點E,連接AE交CD于點P此時PA+PB最小，且等于 AE.作直徑AC ；連接CE.根據垂徑定理得弧 BD=弧DE. . / ACD=30 °, ./ AOD=60 °, / DOE=30 °, ./ AOE=90 °, ./ C AE=45 °,又AC為圓的直彳AEC =90 °, / C'=/C AE=45 °, .CE=AE=AC=2&,2即AP+BP的最小值是2&.故答案為：2%

36、；(2)如圖，在斜邊 AC上截取 AB =AB ,連結BB AD 平分/ BAC , 點B與點B'關于直線AD對稱.過點B彳乍BFXAB ,垂足為F,交AD于E,連結BE, 則線段BF的長即為所求.(點到直線的距離最短)在 RtAFB '中，. / BAC=45 °, AB =AB=10 ,B F=AB ' Sin45 =AB ?$所45。=10 旌=5近，2BE+EF的最小值為W次.C力(b)點評：此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題以及銳角三角函數關系等知識,根據已知得出對應點P位置是解題關鍵.12. (2010?天津)在平面直角坐標系中，矩形OACB的

37、頂點O在坐標原點，頂點 A、B分別在x軸、y軸的正半軸上， OA=3, OB=4, D為邊OB的中點.(1)若E為邊OA上的一個動點，當 4CDE的周長最小時，求點 E的坐標；(2)若E、F為邊OA上的兩個動點，且 EF=2,當四邊形 CDEF的周長最小時，求點 E、F的坐標.考點： 專題： 分析：解答:(溫馨提示：可以作點D關于x軸的對稱點D',連接CD'與x軸交于點E,此時4CDE的周長是最小的.這 樣，你只需求出 OE的長，就可以確定點 E的坐標了 .) 軸對稱-最短路線問題；平行四邊形的判定與性質；相似三角形的判定與性質.幾何綜合題；壓軸題.(1)由于C、D是定點，則C

38、D是定值，如果 4CDE的周長最小，即 DE+CE有最小值.為此,作點D關于x軸的對稱點D',當點E在線段 (2)由于DC、EF的長為定值，如果四邊形點D關于x軸的對稱點D',在CB邊上截取 長最小.CD'上時，4CDE的周長最小；CDEF的周長最小，即 DE+FC有最小值.為此，作CG=2,當點E在線段DG上時，四邊形 CDEF的周解：(1)如圖，作點D關于x軸的對稱點D',連接CD'與x軸交于點E,連接DE. 若在邊OA上任取點E與點E不重合，連接 CE'、DE'、D'E' 由 DE'+CE'=D

39、9;E'+CE' > CD'=D'E+CE=DE+CE ,可知4CDE的周長最小. 在矩形 OACB中，OA=3 , OB=4, D為OB的中點，BC=3 , D'O=DO=2 , D'B=6 , OE / BC , RtAD'OERtAD'BC ,有 比 D' Q BC-D? BULB 一 6 T 點E的坐標為（1,0）；（2）如圖，作點 D關于x軸的對稱點 D',在CB邊上截取 CG=2,連接D'G與x軸交于點E,在 EA上截取EF=2,. GC/EF, GC=EF,四邊形GEFC為平行四邊形，有

40、 GE=CF, 又DC、EF的長為定值，丁此時得到的點 E、F使四邊形CDEF的周長最小. OE / BC,RtAD'OERtAD'BG ,有 °E D' 0 BGF' B_D' O,BG_D' （BC-CG） _2X1_1 0E= DZ B =17OF = 0E+EF=k+2已.點E的坐標為（工，0）,點F的坐標為（1, 0） （10分）點評：此題主要考查軸對稱-最短路線問題，解決此類問題，一般都是運用軸對稱的性質，將求折線問 題轉化為求線段問題，其說明最短的依據是三角形兩邊之和大于第三邊.13. （2010?淮安）（1）觀察發現：如

41、（a）圖，若點A, B在直線l同側，在直線l上找一點 巳 使AP+BP的值最小.做法如下：作點 B關于直線l的對稱點B',連接AB',與直線l的交點就是所求的點 P.再如（b）圖，在 等邊三角形 ABC中，AB=2 ,點E是AB的中點，AD是高，在 AD上找一點P,使BP+PE的值最小.做法如下：作點 B關于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接 CE交AD于一點，則這點就是所求的點P", 故BP+PE的最小值為_/j_.(2)實踐運用：如(c)圖，已知。O的直徑CD為4, Z AOD的度數為60°,點B是正的中點，在直徑 CD上找一點P,使BP+AP的值最小，

42、并求 BP+AP的最小值.(3)拓展延伸：如(d)圖，在四邊形 ABCD的對角線AC上找一點P,使/ APB= / APD.保留作圖痕跡，不必寫出作法.D(MW精彩文檔考點：軸對稱-最短路線問題.分析：(1)首先由等邊三角形的性質知，CEXAB ,在直角4BCE中，/ BEC=90 BC=2 , BE=1 ,由勾股定理可求出CE的長度，從而得出結果；(2)要在直徑CD上找一點P,使PA+PB的值最小，設 A是A關于CD的對稱點，連接 AB,與 CD的交點即為點P.此時PA+PB=A B是最小值，可證 SA B是等腰直角三角形， 從而得出結果.解答:(3)畫點B關于AC的對稱點B',延長DB交AC于點P.則點P即為所求.解：(1) BP+PE的最小值二批2 -曉2=如2_ 1(2)作點A關于CD的對稱點 A',連接A'B,交CD于點P,連接OAA