1、標準實用函數的單側導數與導函數的左右極限摘要：本文通過例子討論函數的單側導數與導函數的單側極限的區別，給出相應的結論，并引用一個重要 的定理一一導數極限定理介紹了兩者的關系，在此定理的證明過程中簡單的解釋了用羅比達法則求極限時 失效的原因，并在此基礎上，以定理的形式給出了函數的單側導數與導函數的單側極限相等的充分條件。關鍵詞：右(左)導數 導數的右(左)極限 關系 區別Unilateral Derivate of Function and the UnilateralLimit of Derived FunctionAbstract： This paper discussed the diff

2、erences between the unilateral derivate and the unilateral limit of derived function by some examples.And put forward the corresponding conclusion .By citing an important theory-the limit of derivative , introduced the relationship between them, and give a brief explanation whyL'Hospital loses i

3、ts value on solving the problem of the limit of function in theprocess of proving the theorem. After this,We find a sufficient condition about the unilateral derivate is equalled to the unilateral limit of derived function .Key words: The Right(Left) Derivative the Right(Left) Limit of Derived Funct

4、ion Relationship Difference0.引言在很多實際問題中，人們不僅要研究變量的變化規律，而且要研究變量變化的快慢程度。如研究物體運動的速度、研究工農業總產值的增長速度等等。導數 正是研究變量變化快慢的有效工具。導數反應了函數相對于自變量變化而變化的 快慢程度，即函數的變化率。它使得人們能夠使用數學工具描述事物變化的快慢 及解決一系列與之相關的問題，所以在各領域有著極其廣泛的應用。為了更好的應用導數去解決實際問題，我們需要進一步的研究導數的一些性質和特點， 而單 側導數和導數的單側極限是研究導數的一個重要方面。單側導數和導數的單側極 限是微積分中兩個重要的概念，在求分段函數

5、的導數、函數在端點處的導數、傅 里葉級數中都有其廣泛的應用。本文就來討論一下單側導數與導數的單側極限的區別與聯系，并介紹分段函數的導數、函數在端點處的導數的一種求解方法。文 中引用了相關的參考文獻，其中文獻1、2介紹了單側導數與導函數的單側極 限的定義，3-6介紹了兩者的區別與聯系及相等的充分條件，7 -10介紹 了分段函數的導數、函數在端點處的導數的求解方法，并舉例運用了此方法。1 .單側導數與導函數的單側極限的定義定義1：由于f(x)=imf(x'qf(x)，由極限存在的定義，函數f(x)在x 處可導的充分必要條件是相應的左右極限f'(x)= lim f(x)f(x)和 .

6、x Ri . xf式刈=2m+f(x+q-f(x)存在且相等,我們把他們分別稱為f (刈在x處的左 導數和右導數。定義22:符號f'(。+0)(%-0»表示函數f(x)在點兒處導函數的右(左)極限，即 f x0 0 = lim f x f xo - 0 = lim f x . x_xox >xq-2 .單側導數與導函數的單側極限的區別函數的單側導數與導函數的單側極限是兩個完全不同的概念，微積分的初學者往往認為 f4x0) = lim+f(x )= f'(x。+ 0，f Ax。)= lim f'(x )= f(x。- 0 )因此 x M0x 的一在求分段函

7、數在分段點處的導數、傅里葉級數或函數在區間端點處的導數時往往 不能得到正確的結果，在一般的情況下，兩者并沒有必然的聯系(方便起見下面 以函數的右導數與導函數的右極限為代表說明)。我們知道，如果函數f(x)在點x0處可導,則f (x)在點選處的右導數 仁(比)肯 定存在。這一點是毫無疑問的，而函數f(x)在點x0處的導函數的右極限f'(x0+0) 存在，則說明函數f(x)在點小處的某右鄰域(x0,x0+6)內的每一點都可導， 但需要注意的是函數f(x)在點x0處卻未必可導。這一個小小的細節往往被一些 學生甚至資歷較高的老師所忽視。我們先看一個例題。-2x-0,判斷f(x)在x=0是否可導

8、。X :二 0(x+1)例1 設函數f(x)=2x 1錯誤解法：當x>0時，(x) = x+1當 x<0時，f'(x)=1當 x = 0時，f；(0) = limj 卜)=lim4x+1) = 1 x_0 ,x_0 f_(0) = lim f (x) =lim 1 =1一 x W x )0 -即 f0) = f二(0)=1.故 f'(0)=12(.x 1)21正確：f.(0) = lim- .x0f(0 . x) - f(0)二 lim 22 ; lim.x0，'=x:J"lx2 x-2=1x文案大全1x -:lim 2不存在i.x-0 -: x八

9、 1f (0：x)-f(0).( x 1)一2但是 lim - = lim £J0-x二 J0 -x故f0)不存在，即f (x)在x = 0處不可導。從這個例題中可以看出，f；(x0)與f'(x0 +0)并沒有必然的聯系。為了更深 入的探討兩者之間的關系，我們來看幾個具體的例子，從這些例題中摸索其中的 內涵。. x + 2 x>0.例2 設函數f(x)=求 "0)與f'(0 + 0).、xx <0.解：當 x>0時，f '(x) =1故 f (0 0) = lim f (x) -1x0 ,而f；(0) = limp3 = lim產不

10、存在x0 -xx0 x故f玄0)不存在,f '(0+0) =1例3設函數f (x) = ,x2sin-11斛：當 x#0 時，f <x) = 2xsin cos xx11故 f (0+0)= lim/ (x) = lim工2xsin - cos)不存在 x0 .x-.0 -x x而 f (0) = lim - x-.0 -=limx0f(x)-f(0)x21x sin - -01xi x.1c=lim xsin- = 0x )0 x因此(0 +0)不存在,f (0) =0%，例4設函數f(x)=<10=0：0解：f.(0) = lim- x-0 'f(x)- f(0

11、)-lim 1x_0x-ex xex-e=lim x x0 e xexf _(0)lim (x) 一() = lim e = lim ex =1x0 -xx Q - xx0 -故f (x)在x =0處不可導。-e x 0-xe x：二 0故 f (0 0) ulim f (x) u1 x0 所以f«0) = f'(0+0)，但f(x)在x = 0處不可導。例5設函數f (x)=e01"2x x = 0x = 0解：當 x #0時，f(x) = _2re型 x3故 f (0 0) = lim f (x) = lim 2rx10 -x J0 -e京=lim-64 x1x

12、2x2=lim -x :0 2x12r-exx=0一二 lim 普x x w ,二 ex=lim ; x 0 . _ 2e#=lim -x 0 -xr =。2exf(x) - f (0) e而 f (0); lim - = lim 一x_0，卜xx_0 二同理匚(0)=0,故f(x)在x=0處可導。所以 f0+0)= f；(0)=0,且 f(x)在 x = 0處可導由上面5個例子，我們很容易發現，函數的右導數與函數的導函數的右極 限沒有必然的聯系，即f'(x0+0)與f4(x0)可能一個存在，另一個不存在，如上 面的例2和例3;也可能兩者都存在但不相等，如例4;也可能兩者都存在且相等

13、如例5.3,單側導數與導函數的單側極限的聯系對于例5中這樣的題目，有些讀者不加驗證誤把 f«0)與f'(0+0)認為相 等的計算方法也能奏效，但前提是函數必須滿足一些特定的條件。下面我們來 看一個重要的定理，這個定理和其證明過程表現了單側導數與導函數的單側極 限的聯系，即求單側導數的導數極限法。定理13:設函數f(x)在點X0的某鄰域U(Xo)內連續，在U0(Xo)內可導，且極限lim f(x)存在,則“*)在點乂0處可導,且f'(x0) = lim f1r(x)x_X0x 兇證明：分別按左右導數來證明上式。(1) VxW U ；(%), f (x)在4,x 上滿足拉

14、格朗日定理的條件,則(x0,x),S.t f(x)-f(x0) = f ( )(*)x - xo由于 x0 < t < x,故當 xt x”時，x T x.對上式兩邊同時取極限，得f (x0) = lim -f-()-f(x - lim f ( ) - f (x0 0)x x x -x0x >x0(2 )同理可得 f：(x0) = f'(x。-0)由于 lim f(x)存在,故 f'(x0+0)= f'(x0-0) x曲' 因此 f；(x°)= flx°)即 f'(x0)存在，且 f'(x0) = lim f

15、'(x) X本定理闡明了函數在某點的導數與其導函數在該點處的極限的關系，對于一般的函數而言，若在某點處極限存在時，并不能保證它在該點是連續的，而 導函數則具有這個特點，即只要導函數的極限存在，那么其導函數就一定是連 續的。在此定理的證明過程中，需要我們特別注意的是，當lim+f'(x)不存在時， x四并不能由此判定f式x0)不存在，因為當lim+f'(x)不存在時，lim+f'(有可能存 x >x0x >x0在，這是因為，對于某些特殊的函數而言，(*)式中的U可能有一個，也可能有很多個，當x連續的變化而從右側逼近x0時，對應的上并不一定能夠連續的變化

16、，例如可能構成一個以x0為極限的數列&,并且其對應的導數值數列*'()可能會有極限，而lim . f V) = lim f Vn) 0所以lim+f'(：)可能存在。例 x.x0nr-x >x0中如例2中的函數就是符合上述情況的一個例子，對于其中具體的細節這里就 不討論了。大家很容易發現，當用羅比達法則求一些函數的極限時有時會失效，其中的原因就與上述所討論的情況類似。我們知道在羅比達法則的證明過程有，、':, ., . .* I a之間) 故lim 工兇 =lim f9g(x) g(x) g(a) g ( )x，a g(x) x，a g ()同理當lim

17、f(x)不存在時，lim f'(?有可能存在，所以lim f(x)可能存在，x a g (x)x，a g ( )x a g(x)但我們需要用別的方法求解了 40定理1說明了函數的導數與函數的導函數的極限的聯系，若函數的導函數 在一點x0處存在極限，則該函數的導函數在點x0處必連續。在此定理的證明過 程中我們得到了函數的單側導數與導函數的單側極限相等的結論，并成功的運用了此結論，對于例5中的函數，此結論也成立，那么，函數的單側導數與函 數的導函數的左右極限到底有什么樣的聯系，在什么樣的情況下可以相等呢？4.函數的單側導數與函數的導函數的左右極限相等的充分條件定理25:若函數f(x)在閉區

18、間 Lxo+bklxo -6,x。)上連續，在開區間(x0,x0 +8 ) ( (x0 -6,x° )內可導,且 f'(x0 +0) = l ,則函數 f(x)在點 % 處右(左)可導，且 fXx°)=l(匚(x0)=l)。證明同定理1類似。需要注意的是定理2的條件是充分的，不是必要的。 /ci-V.如例3中的函數f(x)=x sin x x 00 x = 0由于 lim f()-f0)- = lim xsin- = 0 故 f 0)=0xoxx:0x即f (x)在x =0處可導。1.11-c而 f (x)=2xsinx-cosx x#o0x = 0-11 -,但

19、f(0+0)=Cm f'(x) = lim (2xsin- cos)不存在 x 0 x 0 x x所以定理2的條件是充分的，不是必要的。推論6:設函數f(x)在a,b上連續，在(a,b)內存在有限的導數 L(x),若其導函數f (x)在a點存在右極限(有限)，即lim f ,(x)=A ( A為有限數)記為 x af'(a+0),則f(x)在a點存在右導數f1(a),且f“a) = lim J，(x),對于b點左側 x /-有類似的結論。分段函數在分段點處的導數、函數在區間端點處的導數我們一般都是用導數 的定義去求，但這種方法計算繁雜，容易出錯，如果所給的函數滿足定理2及其 推

20、論的條件，我們利用導數的極限法去求解題目就簡單的多了。下面我們來看幾3 3 x例6設函數f (x)=ax + b個例子。x_2 , .、，在x=2處可導，求a、b的值。x 2解：由f(x)在x=2處可導，故f(x)在x=2處連續故嗎 f (x)=呵(ax b) = 2a blim f (x) = lim x3 = 8x-2 一x.2 一即有2a b =8又 x<2 時，f'(x)=3x x>2 時，f'(x)=a故 f_(2) =lim 3x2 =12, f (2) = lim a =a x )2 -x 2 又因 “*)在乂=2處可導故 f*2) = f：(2),即

21、 a =12,解出 b = 16例 7 (1) 設函數 f (x) =cosln(x2+3) , x 0,1 ,求 f40)與 f解：函數f (x) =cosln(x2+3)在b,1】上連續，(0,1)內可導2f (x) = -2xsin21n(x *3) ,且 f <x)在 0,1 上連續。x 3一1 .一故 f (0 0) = f (0) = 0, f (1 一 0) = f =-1sin In 4由定理2,得到f (0)= f (0 0) =01f_(1) = f (1 -0) = -slnln 4x + sin x2 x < 0(2)求分段函數f(x) = J的導數。Jn(1+x)x > 0二，八2-1 +2xcosx x <0解：首先易得r(x)=, x>01 x進一步考慮f(x)在x=0處的導數，在此之前，我們只能用導數的定義來處理，現在則可以利用導數極限定理。由于lim f (x) = lim 1n(1 x) = 0 = f (0)x 0 -x 0 -一2 一 一 一lim f