1、第 六 章 線 性 空 間一線性空間的判定線性空間中兩種運算的8條運算規律缺一不可，要 證明一個集合是線性空間必須逐條驗證.若要證明某個集合對于所定義的兩種運算不構成線性空間，只需說明在兩個封閉性和8條運算規律中有一 條不滿足即可。例：檢驗以下集合對于所指的線性運算是否構成實數域上的線性空間：1) 次數等于n (n1)的實系數多項式的全體，對于多 項式的加法和數量乘法；2) 全體n階反對稱矩陣，對于矩陣的加法和數量乘 法；解：1)否。因兩個n次多項式相加不一定是n次多項式， 例如(xn + 5)+ (- Xn- 2) = 3。2) n階矩陣的加法和和數量乘法滿足線性空間定義的 18條性質，即全

2、體n階矩陣對矩陣的加法和和數量乘法 是構成線性空間的。“全體n階反對稱矩陣”是“ n階矩 陣”的子集，故只需驗證反對稱矩陣對加法與數量乘法 是否封閉即可。當A, B為反對稱矩陣，k為任意一實數時，有(A+B) =A-B=-A-B=-(A+B),即 A+B 仍是反對稱矩陣。(kA)-kA=k(-A) = -(kA),所以kA是反對稱矩陣。 故反對稱矩陣的全體構成線性空間。例：齊次線性方程組AX=。的全體解向量的集合，對于向 量的加法和數乘向量構成一個線性空間，通常稱為解空 問。而非齊次線性方程組 A X= b的全體解向量的集合，在 上述運算下則不是線性空間，因為它們的兩個解向量的 和已經不是它的

3、解向量。二、基維數坐標定義:在線性空間V中，如果存在n個線性無關的向 量“ 1/2,山n使得：V 中任一向量。都可由 %，& 2JI ，啜性表示，那么,口 1/2,111n就稱為線 性空間V的一個基，n稱為線性空間 V的維數。記作 dimV =n。維數為n的線性空間稱為n維線性空間。定義(向量的坐標)：設0 1,8 2,111, n是線性空間Vn的一 個基。對于任一元素 a Vn ,總有且僅有一組有序數 Xi,X2，Xn,使則x”X2，Xn這組有序數就稱為元素a在基底 :2,川J n下的坐標，并記作X=(Xi,X2,lll,Xn)T例：在線性空間R2M2中，就是R0的一個基。R2M2的維數為4

4、.任一 2階矩陣因此A在A1, A2, A3, A4這個基下的坐標為(a,b,c,d T。若另取一個基1 01 01 11 1B, = I I Be = I I Be = I I B = I I =(a b)B1 十(b- c)B2 十(c- d)B3 十 dB4 因此A在B1, B2, B3, B4這個基下的坐標為(a - b,b - c,c - d,d)T。例：考慮全體n階對稱矩陣構成的線性空間的基底 和維數。3)解：n階矩陣的加法和和數量乘法滿足線性空間定 義的18條性質，即全體n階矩陣對矩陣的加法和和數量 乘法是構成線性空間的。“全體n階對稱矩陣”是“ n階 矩陣”的子集，故只需驗證對

5、稱矩陣對加法與數量乘法 是否封閉即可。從而全體n階對稱矩陣構成的線性空間。旦j E( j好i v j即訥它的一組基。共1十2川|十。=皿產個，維數是*、幾；1二(1,1,1,1)，2二(1,1,-1,-1),4列：以 3 =(1,-1,1-1), 4 =(1,-1,-1,1), =(1,2,1,1)在P4中，求向量在基產2產3,、下的坐標。設有線性關系巴=a% + b2+c，3 + du ,a b c d v 1a + b- c-d = 2貝 U a-b + c- d=1,a - b - c d = 1可得在基巴產2，飛產4下的坐標為5入1一,b =44c,d44例：在P4中，由齊次方程組確定

6、的解空間的基與維數。解：對系數矩陣作行初等變換，有所以解空間的維數是2,它的一組基為a二!T3,1,0),a22 72,3，0，1例：設V1與V2分別是齊次方程組X1 + X2 + + Xn = 0,X1 = X2 = . = XnT = Xn 的解空間，證明：Pn = V1 份 V2.證：由于X1 + X2 + .+ Xn =。的解空間是n-1維的，其基 為= 1 二(-1,1,0,.,0),二 2 二(-1，。，1，0)，1 n_1 =(-1。0，1)而由X1 = X2 =二Xn=Xn知其解空間是1維的，令Xn = 1,則 其基為P =(1,1,.,1).且叼嚴2,.嚴n-1,P即為Pn的

7、一組基，從 而 Pn = V1 . V2.又dim(Pn) = dim(VJ + dimW),(也可由交為零向量知)故 Pn = M 二 V2.三、基變換與坐標變換n是線性空間基變換：設1產Vn中的兩個基，若 或簡記為Ct ot1， 2，a11a21a12a22a1nan2annot ot1 , 2 ,則矩陣A稱為由基A ()L n到基PP n的過渡矩陣()式稱為基變換公式.坐標變換：設Vn中的元素a ,在基01產2,a n下的坐標為(x1, x2，xn)T ,在基口 1, P 2J J n下的坐標為（y1,y2，yn）T。若兩個基滿足關系式（6-2）,則有坐 標變換公式%yiyixiX2.y

8、2TV2A-1X2I - - A，或I ： l = A I -XnnnX。第七章線性變換一、線性變換的定義線性空間V到自身的映射稱為V的一個變換. 定義：線性空間V的一個變換A稱為線性變換，如果對 于V中任意的元素。，0和數域P中任意數k ,都有A（:）= A（： ）+A（：）；A（ k ）=Ak（：）.一般用花體拉丁字母 A, B,表示V的線性變換，Ad ） 或A代表元素“在變換A下的像.例?判別下面所定義的變換那些是線性的，那些不是：1）?在線性空間V中，Aia ,其中a w V是一固定 的向量；2）?在線性空間V中，A其中e V是一固定的向量；22、3) ?在 P3 中,A (xi，x2

9、，x3 ) = (xi , x2 x3, x3 ) ；4) ?在 P3 中,A(Xi,X2,X3)= (2x1 - X2,X2 +X3,Xi).解：1)當a = 0時，是;當口書0時,不是。2)當” =0時，是;當口豐0時,不是。3)不是.例 如 當 值=(1,0,0), k = 2時,k A ( ) = (2,0,0) ,A (k )= (4,0,0),A(ka ), k AY A4)是.因取 =(“X2,X3), P =區心小),有A (二) =A (Xi yi,X2 Y2,X3 y3)=(2Xi 2yi - X2 - y2,X2 y2 X3 y3,Xi y1)=(2xi - X2,X2

10、X3,Xi) (2yi - N2N2 y3,yi)=A +AP,A(k：)= A(kxi,kx2,kxs)=ka(),故A是P3上的線性變換。:、線性變換關于基的矩陣定義：設&12,n是數域P上n維線性空間V 的一組基，A是V中的一個線性變換.基向量的像可以被 基線性表出： 用矩陣表示就是A ( i2,n) = (Adi), AQ),，A n )=(1, 2 , n )A其中矩陣A稱為線性變換A在基2， J n下的矩陣. 定理：設線性變換A在基1/2,/n下的矩陣是A,向量上在基*12，/n下的坐標是(Xi, X2，Xn),則A 在基1/2Jn下的坐標(yi，y2,，yn)可以按公式計算.例：

11、在空間PMn中，線性變換D”X)= f (X)2n 1X X在基ix，不，一，ynri!下的矩陣是三、同一個線性變換在不同基下的矩陣的關系.線性變換的矩陣是與空間中一組基聯系在一起的.一般說來，隨著基的改變，同一個線性變換就有不同的矩 陣.為了利用矩陣來研究線性變換，有必要弄清楚線性變 換的矩陣是如何隨著基的改變而改變的.定理：設線性空間V中線性變換A在兩組1， 2， n (6)n n - n1 , 2,， n （7）下的矩陣分別為 A和B ,從基（6）到（7）的過渡矩陣是X ,于是B= X 1AX.定理告訴我們，同一個線性變換A在不同基下的矩陣 之間的關系為相似.定義：設A, B為數域P上兩

12、個n級方陣，如果 可以找到數域P上的n級可逆方陣X ,使得 B = X T AX ,就說A相似于B ,記作A B .相似是矩陣之間的一種關系，這種關系具有下面三個性質：1 .反身性：A A2 .對稱性：如果A B ,那么B A.3 .傳遞性：如果A B , B C，那么AC.線性變換在不同基下所對應的矩陣是相似的；反過 來，如果兩個矩陣相似，那么它們可以看作同一個線性 變換在兩組基下所對應的矩陣.矩陣的相似對于運算有下面的性質.如果 Bi n X 1AiX,1B2 = XA2X ,那么B1 + B2 = X 1(A1 + A2)X ,由此可知，如果B = X 1AX，且f (x)是數域P上一多

13、項式，那么利用矩陣相似的這個性質可以簡化矩陣的計算.例:R3上的線性變換T在基下的矩陣為1A= 021-1(C)1210141-2212 - 13下的矩陣為(A)111(B)(D)1J42-21412I42-3 一101例：已知P中線性變換A在基=(-1,1,1)/ 2=(1,0,-1),“3=(0,1,1)下的矩陣是求A在基 ，二(1,0,0)J 2 =(0,1,0)/3 =(0,0,1)下的矩陣。解：因為（12 J 3）=（,1/2 ,-110、3）101,所以（一/2,-1 1%）=（“1；2,”3）0 110-1-1 =（“1；2：3）X,1U -1 1故A在基，:2 , ,3下的矩陣

14、為-1_1B = X AX = 110-11011101 2 1-10I1-1、（-1 1 -2、-1 = 220 o1 八302 /四、線性變換的特征值和特征向量 定義：設A是數域P上線性空間V的一個線性變換,如果 對于數域P中一數存在一個非零向量:使得（1）那么人稱為A的一個特征值,而上叫做A的屬于特征值九 的一個特征向量.如果是線性變換A的屬于特征值九的特征向量， 那么士的任何一個非零倍數不也是A的屬于特征值人的 特征向量.這說明特征向量不是被特征值所唯一決定的.相反，特征值卻是被特征向量所唯一決定的，因為，一 個特征向量只能屬于一個特征值.特征值與特征向量的求法： 確定一個線性變換 A

15、的一個 特征值與特征向量的方法可以分成以下幾步：1 .在線性空間V中取一組基J2J n,寫出A在這組基下的矩陣A；2 .求出A的特征多項式|E- A在數域P中全部的根，它們也就是線性變換 A的全部特征值；3 .把所求得的特征值逐個地代入方程組Xi I I (E - A) x2 =0：(),對于每一個特征值，解方Xn程組(),求出一組基礎解系，它們就是屬于這個特征值的幾個線性無關的特征向量在基12Jn下的坐標，這樣，也就求出了屬于每個特征征的全部線性無關 的特征向量.矩陣A的特征多項式的根有時也稱為 A的特征值， 而相應的線性方程組()的解也就稱為 A的屬于這個 特征值的特征向量.例設線性變換A

16、在基123下的矩陣是1 2 2A= 2 1 2 , 2 2 V求A的特征值與特征向量 例設矩陣A為1A= 00(1)問A能否相似于對角陣?4 2- 3 44 3/(2)若能，求一個可逆矩陣1 .P ,使得P AP為對角陣.例在空間Pxn中，線性變換D f(x) = f (X)2n 1X X在基1，X，2T，H!下的矩陣是D的特征多項式是九-10 -00人-10n n= 九000 -1000 九因此，D的特征值只有0.通過解相應的齊次線性方程組 知道，屬于特征值0的線性無關的特征向量組只能是任一 非零常數.這表明微商為零的多項式只能是零或非零的常 數.五、線性變換的值域與核定義：設A是線性空間V

17、的一個線性變換，A的全 體像組成的集合稱為A的值域，用AV表示.所有被A變 成零向量的向量組成的集合稱為 A的核，用A“(0)表示.若用集合的記號則AV = A- p V,A(0)=，| A = 0,V：線性變換的值域與核都是V的子空間.-1八AV的維數稱為A的秩，A (0)的維數稱為A的零度.第九章歐氏空間一、歐氏空間舉例例1在線性空間Rn中，對于向量=(a1,a2,an),二(bl,b2,bn),定義內積(,) aqa2b2anbn.(i)則內積(i)適合定義中的條件，這樣 Rn就成為一個歐 幾里得空間.仍用來表示這個歐幾里得空間.例2在Rn里，對于向量=（斗2， ,an）J =3,）定義內積(,)=加。2a2b2+ nanbn.則內積(1)適合定義中的條件，這樣Rn就也成為一個歐幾里 得空間.對同一個線性空間可以引入不同的內積，使得它作成 不同的歐幾里得空間.例3在閉區間a,b上的所有實連續函數所成的空間C(a,b)中，對于函數f (x),g(x)定義內積b(f (x),g(x) = f (x)g(x)dx a .力為功構成一個歐幾里得空間.柯西-布涅柯夫斯基不等式：即對于任意的向量口有當且僅當，B線性相關時