1、數學建模在醫藥衛生領域中的研究與應用         【摘要】  介紹數學模型及其重要性，討論了數學建模的一般步驟，包括模型的準備、假設、建立、求解、檢驗、分析及其應用的全過程；并結合醫藥衛生領域中不允許缺貨的存儲模型、機械化傳送系統的效率模型、流行病學以及腫瘤生長的數學模型等幾個實際問題，探析了數學建模的技巧、分析了模型應用的局限性，對實際工作具有一定的指導意義和較好的借鑒作用。 【關鍵詞】  數學建模 創新思維 醫藥衛生 應用Abstract  This paper introdu

2、ced the mathematical modeling and its importance, discussed the general steps of this modeling ,including its preparation，Supposition， establishment，solution，test，analysis and the whole applying process. Combining with the storage modeling which not allow to be out of stock in medicine 、the efficien

3、cy modeling of mechanization transmission system、the mathematical modeling in epidemiology and tumor growth, it also dicussed the skill of establishing mathematical modeling , analysed the limitations of this modeling in application. This has a good guide and reference to the practical work. &#

4、160; Key words   mathematical modeling ; innovative thinking;  medicine ; application1  引言   數學是一切科學和技術的基礎，是研究現實世界數量關系、空間形式的科學。隨著社會的發展，電子計算機的出現和不斷完善，數學不但運用于自然科學各學科、各領域，而且滲透到經濟、管理以至于社會科學和社會活動的各領域。    眾所周知，利用數學解決實際問題，首先要建立數學模型，然后才能在該模型的基礎上對實際問題進行分析、計算和研究。 &

5、#160; 數學建模(Mathematical  Modeling)活動是討論建立數學模型和解決實際問題的全過程，是一種數學思維方式。2  數學建模的過程   數學建模的過程是通過對現實問題的簡化、假設、抽象，提煉出數學模型；然后運用數學方法和計算機工具等，得到數學上的解答；再把它反饋到現實問題，給出解釋、分析，并進行檢驗。若檢驗結果符合實際或基本符合，就可以用來指導實踐；否則再假設、再抽象、再修改、再求解、再應用。其過程如圖1所示。   構造數學模型不是一件容易的事，其建模過程和技巧具體主要包括以下步驟2.1  模型準備&

6、#160;  在建模前要了解實際問題的背景，明確建模的目的和要求；深入調研，去粗取精，去偽存真，找出主要矛盾；并按要求收集必要的數據。2.2  模型假設   在明確目的、掌握資料的基礎上，抓住復雜問題的主要矛盾，舍去一些次要因素；對實際問題作出幾個適當的假設，使復雜的實際問題得到必要的簡化。2.3  建立模型   首先根據主要矛盾確定主要變量；然后利用適當的數學工具刻劃變量間的關系，從而形成數學模型。模型要盡量簡化、不必復雜，以能獲得實際問題的滿意解為標準。2.4  模型檢驗   建模后要對模型

7、進行分析，用各種方法(主要是數學方法，包括解方程、邏輯推理、穩定性討論等；同時利用計算機技術、計算技巧)求得數學結果；將所求得的答案返回到實際問題中去，檢驗其合理性；并反復修改模型的有關內容，使其更切合實際，從而更具有實用性。2.5  模型應用   用建立的模型分析、解釋已有的現象，并預測未來的發展趨勢，以便給人們的決策提供參考。   總之，數學建模是一種創造性勞動，成功的模型往往是科學與藝術的結晶。一個“好”的數學模型應該具有以下特點：考慮全面，抓住本質；新穎獨特，大膽創新；善于檢驗，結果合理。而模型檢驗一般包括下列幾個方面：穩定性和敏感性分

8、析；統計檢驗和誤差分析；新舊模型的比較；實際可行性檢驗。   因此，數學建模的分析方法和操作途徑不可能用一些條條框框規定得十分死板，下面通過實例探析建模過程與技巧。3  模型：藥廠不允許缺貨的存儲模型3.1  模型準備(背景介紹)   企業或商品流動部門需要存儲原料或貨物。若存量過多（供過于求），會導致資金占用過多、存儲費用過高等問題；但存量過少（供不應求），會導致訂貨批次增多而增加訂貨費用，有時造成的缺貨也會發生經營的損失。因此，如何選擇庫存量、訂貨量和訂貨時間是一個需要研究的現實問題。   實例1：某藥廠平均每

9、天需要某種原料0.2噸，已知每噸原料每天的保管費為0.75元，每次的訂貨費用為75元。如果藥廠不允許缺貨并且每次訂貨均可立即補充，請為該藥廠做出最佳決策：即多長時間訂一次貨，每次訂多少貨才能使每天所花費的總費用最少。3.2  模型假設(分析問題)   在求解時需要考慮的費用問題有以下兩項：   進貨費用：包括固定費用(每次訂貨費用c1 元)和可變費用(貨物的成本費用 元噸，與訂貨數量有關)。   單位時間內的存儲費用：c2 元噸。   由于題設“藥廠不允許缺貨并且每次訂貨均可立即補充”，即缺貨費用為零，因

10、此，總費用 T=T1+T2，其中T1 為進貨費用，T2 為存儲費用。3.3  模型建立   設每隔 t天訂一次貨，每次訂貨數量為x ，每次訂貨費為c1 ，每天（單位時間）每單位貨物存儲費為c2 ，每天內對貨物的需求量為r 。   經分析，在上述假定條件下有x=rt ，每次的進貨費為：c1+cx=c1+crt ，則平均每天的進貨費為：T1=c1t+cr ；   又每天的平均庫存量為x2 ，則每天的平均庫存費為T2=c2·x2=12c2rt ；   則每天總費用為：T(t)=c1t+rc+c2rt2

11、3.4  模型求解   制定最優存儲方案，可歸結為確定訂貨周期t ，使T(t) 達到最小值。根據“微分法”   因 dT(t)dt=-c1t+12c2r，令 dT(t)dt=0，   得駐點： t=2c1rc2，（1）   而 T2c1rc2=c32r32c10，   故t=2c1rc2 時，T（t）取得最小值；代入x=rt ，求得每批最佳訂貨量為   x*=r2c1rc2=2c1rc2 （2）   式（2）是經濟學中著名的經濟訂貨批量公式，它表

12、明：訂貨費越高，需求量越大，則每次訂貨批量應越大；存儲費越高，則每次訂貨批量應越小。這種分析與實際意義相符合。3.5  模型應用   在（1）、（2）式中，代入實例1中的已知數值:  c1=75,  c2=0.75,  r=0.2，得最佳訂貨時間間隔和每批最佳訂貨量分別為   t0=2×750.75×0.2=31.623 （天）；   x0=6.3246 （噸）。   實證研究表明，存儲模型能提供科學、合理、經濟的管理思路，從而有效地提高管理效益。4

13、60; 模型：機械化傳送系統的效率模型   實例2：假設在某藥廠機械化生產車間里，排列整齊的工作臺旁工人們緊張地生產同一種藥品；工作臺上方一條設置若干鉤子的傳送帶在運轉，工人們將藥品掛在經過他上方的鉤子上帶走；當生產進入穩定狀態后，每個工人生產出一件藥品所需時間是不變的，而他要掛藥品的時刻卻是隨機的。衡量這種傳送系統的效率可以看它能否及時把工人們生產的藥品帶走。顯然，在工人數目不變的情況下傳送帶速度越快，帶上鉤子越多，效率會越高。要求構造一個衡量傳送系統效率的指標，并且在一些簡化假設下建立一個模型來描述這個指標與工人數目、鉤子數量等參數的關系。4.1  模型分析&

14、#160;  為了用傳送帶及時帶走的藥品數量來表示傳送系統的效率，在工人們生產周期(即生產一件藥品的時間)相同的情況下，需要假設工人在生產出一件藥品后，要么恰好有空鉤子經過他的工作臺，使他可以將藥品掛上帶走；要么沒有空鉤子經過，迫使他將藥品放下并立即投入下一件藥品的生產，以保持整個系統周期性地運轉。   工人們的生產周期雖然相同，但是由于各種隨機因素的干擾，經過相當長時間后，他們生產完一件藥品的時刻就會不一樣，可以認為是隨機的，并且在一個生產周期內任一時刻的可能性是一樣的。   由上述分析可知，傳送系統長期運轉的效率等價于一周期的效率，而一周期

15、的效率可以用它在一周期內能帶走的藥品數與一周期內生產的全部藥品數之比來描述。   為了將問題簡單化到用簡單的概率方法來解決，我們做出如下的假設。4.2  模型假設   有n個工人，其生產是相互獨立的；生產周期是常數；n個工作臺均勻排列。   生產已進入穩定狀態，即每個工人生產出一件藥品的時刻在-周期內是等可能的。   在一周期內有m個均勻排列的鉤子通過每一工作臺上方，到達第一個工作臺上方的鉤子都是空的。   每個工人在任何時刻都能且只能觸到一只鉤子。于是在他生產出一件藥品的瞬間，若他能

16、觸到空鉤子，則可將藥品掛在鉤子上帶走；否則他只能將這件藥品放在地上，而將它永遠退出這個傳送系統。4.3  模型建立與求解   將傳送系統效率定義為一周期內帶走的藥品數（設為s ）與生產的全部藥品數（顯然為 n）之比，記作D=sn 。于是，只需求出s 就行了。   若從工人角度考慮，每個工人能將自己的藥品掛上鉤子的概率顯然與工人所在的位置有關，這樣就使問題復雜化了。若從鉤子的角度考慮，在穩定狀態下，鉤子沒有次序，處于同等的地位，若能對一周期內的m只鉤子求出每只非空的概率p ，則 s=mp 。   求解p 的步驟如下(均對一周期

17、而言)   任一鉤子被一名工人觸到的概率為1m ；   任一鉤子不被一名工人觸到的概率為 1-1m ；   根據工人生產的獨立性，任一只鉤子不被所有n個工人掛上藥品的概率，即任一鉤子為空鉤的概率為(1-1m) ；   從而任一鉤子為非空鉤的概率為:   p=1-(1-1m)n   故傳送系統效率指標為:   D=mpn=mn1-(1-1m)n（3）4.4  模型簡化   在鉤子數m 遠大于工人數n 時，即nm 較小的情況下，可

18、經簡化，將多項式(1-1m)n 展開后只取前3項，則有:   Dmn1-(1-nm+n(n-1)2m2)=1-n-12m（4）   再假定n永大于1，則此模型可簡化為   D=1-E, En2m（5）4.5  模型應用   當工人數 =10人，鉤子數 =40個時，由簡化模型(5)式給出的結果為 D=87.5；而由(3)式得到的精確結果為D=89.4 。由此可見，數學模型具有的適用性和局限性。5  模型：無移除的簡單流行病學模型   隨著生命科學的發展，數學在醫藥學中的應用，主

19、要是采用各種數學方法建立醫藥學數學模型，即建立表示醫藥學問題中各變量之間關系的數學方程（常見有微分方程）。   實例3：假定感染通過一個群體內成員之間的接觸而傳播，感染者不因死亡、痊愈或隔離而被移除，則所有的易感者最終都將轉變為感染者。顯然，這種假定對實際情況而言是太簡化了，但可近似地適用于下述情況：疾病有高度的傳染力，但尚未嚴重到發生死亡或需要隔離的程度，例如某種上呼吸道感染。也可近似地表示這樣一種疾病的流行：從流行中移除的時間一般要比感染傳遍群體的時間更長。5.1  模型假設   為了建立這類流行病的數學模型，對群體及其流行病學狀態作如下假

20、設   在時間t 時的易感人數和感染人數分別為 S和I ；   群體是封閉性的，總人數為N ，在這 N個人中開始時只有一個感染者；   該群體中各成員之間接觸是均勻的，易感者轉為感染者的變化率與當時的易感人數和感染人數的乘積成正比。         5.2  模型建立與求解   根據上述假設，可建立如下數學模型   dSdt=-SI ，（6）   S+I =N，（7）初始條件是I(0)=

21、1 ，比例系數 稱為感染率。   將式（7）代入（6）式，得   dSdt=-S(N-S)（8）   分離變量后再兩邊積分，得   1NlnSN-S=-t+C（9）   其中C 為積分常數。將初始條件I(0)=1 ，代入上式（9），可得C=ln(N-1)N ，代入（9）式 即得:   1NlnSN-S=-t+ln(N-1)N   整理后得易感人數隨時間變化的動態關系式   S=N(N-1)(N-1)+eNt6  模型：腫瘤生長

22、的數學模型   實例4（模型假設）：設V 表示在時刻t 腫瘤的大小（體積、重量、細胞數等），由經驗知，腫瘤在時刻t 增長的速率與當時的大小V 值成正比，比例系數為k ；但比例系數k 不是常數，它隨時間t 減小，其減小速率與當時k 的大小成正比，此比例系數（0 ）為常數。6.1  模型建立   經分析，并根據已知經驗和微分方程知識，可建立如下數學模型：dVdt=kV   (10)dkdt=-k   (11)6.2  模型求解   現分兩種情況討論上述模型的解 

23、0; 如果=0 ，這時dkdt=0 ，故k 為常數，記為A 。設t=0 時，V=V0 ，則由(10)式，得   V=V0eAt（12）由此可知，在這種情況下，腫瘤完全呈指數生長，生長速率常數為A。   如果0 ，這時由（11）式，得   k=Ae-t ，其中，A 為t=0 時的 k值。   將上式代入方程（10），有   dVdt=AVe-t   分離變量后積分，得   ln V=-Ae-t+lnC （ C為任意常數）   設t=0 時

24、，V=V0 ，于是有C=V0eA ，從而有   V=V0eA(1-et)（13）這就是描述腫瘤生長的數學關系式，稱為高姆帕茨（Gompertz）函數。6.3  模型應用   現在利用高姆帕茨函數來研究腫瘤生長情況：   當t0 時，由于e-t 1-t ，于是式（13）成為：V=V0eAt可見，當 為不等于0的有限值時，只要t 足夠小，即腫瘤生長的初期階段，腫瘤是呈指數生長的。   當t+ 時，e-t0 ，由式（13）得V 的最大漸近值為：Vmax=V0eA   這就是腫瘤生長的理論上限。容易知道，dVdt0 ，故V單調遞增，從而當t+ 時，VVmax 。   通常把腫瘤體積增大一倍所需的時間稱為腫瘤的倍增時間，記