1、3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)第三章第三章 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 晶格振動的研究晶格振動的研究 晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶體的熱學(xué)性質(zhì) 固體熱容量固體熱容量 熱運(yùn)動是晶體宏觀性質(zhì)的表現(xiàn)熱運(yùn)動是晶體宏觀性質(zhì)的表現(xiàn) 杜隆珀替經(jīng)驗規(guī)律杜隆珀替經(jīng)驗規(guī)律 一摩爾固體有一摩爾固體有N個原子，有個原子，有3N個振動自由度，按能個振動自由度，按能 量均分定律，每個自由度平均熱能為量均分定律，每個自由度平均熱能為kT摩爾熱容量摩爾熱容量()VTECT3ENkT總的內(nèi)能總的內(nèi)能3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正

2、坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動晶格振動 研究固體宏觀性質(zhì)和微觀過程的重要基礎(chǔ)研究固體宏觀性質(zhì)和微觀過程的重要基礎(chǔ)晶格振動晶格振動 晶體的熱學(xué)性質(zhì)、電學(xué)性質(zhì)、光學(xué)性質(zhì)、超晶體的熱學(xué)性質(zhì)、電學(xué)性質(zhì)、光學(xué)性質(zhì)、超 導(dǎo)電性、磁性、結(jié)構(gòu)相變有密切關(guān)系導(dǎo)電性、磁性、結(jié)構(gòu)相變有密切關(guān)系 實驗表明較低溫度下，熱容量隨著溫度的降低而下降實驗表明較低溫度下，熱容量隨著溫度的降低而下降摩爾熱容量摩爾熱容量 與溫度無關(guān)與溫度無關(guān)33VCNkR 杜隆珀替經(jīng)驗規(guī)律杜隆珀替經(jīng)驗規(guī)律3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-1 簡

3、諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 簡諧近似簡諧近似 只考慮最近鄰原子之間的相互作用只考慮最近鄰原子之間的相互作用)(tn研究對象研究對象 由由N個質(zhì)量為個質(zhì)量為m的原子組成的晶體的原子組成的晶體偏離平衡位置的位移矢量偏離平衡位置的位移矢量原子的位置原子的位置( )nnnRRt(1, 2, 3)niinR第第n個原子的平衡位置個原子的平衡位置3個方向上的分量個方向上的分量原子位移宗量原子位移宗量3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)( )itN個原子的位移矢量個原子的位移矢量)3, 43, 2, 1(Nii 體系的勢能函數(shù)在平衡位

4、置按泰勒級數(shù)展開體系的勢能函數(shù)在平衡位置按泰勒級數(shù)展開NjijijiNiiiitemsHighVVVV31,023100)(21)(取取00V平衡位置平衡位置0)(0iV 不計高階項不計高階項系統(tǒng)的勢能函數(shù)系統(tǒng)的勢能函數(shù)230,11()2Niji jijVV 3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)系統(tǒng)的哈密頓量系統(tǒng)的哈密頓量NjijijiNiiiVmH31,02312)(2121系統(tǒng)的勢能函數(shù)系統(tǒng)的勢能函數(shù)NjijijiVV31,02)(21系統(tǒng)的動能函數(shù)系統(tǒng)的動能函數(shù)NiiimT31221 含有坐標(biāo)的交叉項含有坐標(biāo)的交叉項3-1

5、 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)引入簡正坐標(biāo)引入簡正坐標(biāo)NQQQQ3321, 原子的坐標(biāo)和簡正坐標(biāo)通過正交變換聯(lián)系起來原子的坐標(biāo)和簡正坐標(biāo)通過正交變換聯(lián)系起來31Niiijjjma Q 假設(shè)存在線性變換假設(shè)存在線性變換系統(tǒng)的哈密頓量系統(tǒng)的哈密頓量NiiiNiiQQH31223122121拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù)NiiiNiiQQVTL31223122121正則動量正則動量iiiQQLp32112NiiTQ 322112NiiiVQ 3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性

6、質(zhì)系統(tǒng)的哈密頓量系統(tǒng)的哈密頓量NiiiNiiQpH31223122121正則方程正則方程iiHpQ 3N個獨立無關(guān)的方程個獨立無關(guān)的方程20,1, 2, 3,3iiiQQiN簡正坐標(biāo)方程解簡正坐標(biāo)方程解sin()iiQAt簡正振動簡正振動 所有原子參與的振動，振動頻率相同所有原子參與的振動，振動頻率相同 振動模振動模 簡正坐標(biāo)代表所有原子共同參與的一個振動簡正坐標(biāo)代表所有原子共同參與的一個振動iiiQQLp正則動量正則動量3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)只考察某一個振動模只考察某一個振動模)sin(tAmaQmajiijji

7、ijiNjjijiiQam31系統(tǒng)能量本征值計算系統(tǒng)能量本征值計算正則動量算符正則動量算符iiQip系統(tǒng)薛定諤方程系統(tǒng)薛定諤方程),(),()2121(31313122312NNNiiiNiiQQEQQQpsin()jjQAt3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)),(),()(213131312231222NNNiiiNiiQQEQQQQ任意一個簡正坐標(biāo)任意一個簡正坐標(biāo))()(2122222iiiiiiQQQQ 諧振子方程諧振子方程能量本征值能量本征值iiin)21(本征態(tài)函數(shù)本征態(tài)函數(shù))()2exp()(2iiniinHQ/i

8、iQ)(inH 厄密多項式厄密多項式3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)NiiiNiinE3131)21(NiinNQQQQQi313321)(),(系統(tǒng)能量本征值系統(tǒng)能量本征值系統(tǒng)本征態(tài)函數(shù)系統(tǒng)本征態(tài)函數(shù))()2exp()(2iiniinHQN個原子組成的晶體個原子組成的晶體),(),()(213131312231222NNNiiiNiiQQEQQQQ系統(tǒng)薛定諤方程系統(tǒng)薛定諤方程3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱

9、學(xué)性質(zhì)3-2 一維單原子鏈一維單原子鏈 絕熱近似絕熱近似 用一個均勻分布的負(fù)電荷產(chǎn)生的常量勢場來用一個均勻分布的負(fù)電荷產(chǎn)生的常量勢場來 描述電子對離子運(yùn)動的影響描述電子對離子運(yùn)動的影響晶格具有周期性，晶格的振動具有波的形式晶格具有周期性，晶格的振動具有波的形式 格波格波格波的研究格波的研究 先計算原子之間的相互作用力先計算原子之間的相互作用力 根據(jù)牛頓定律寫出原子運(yùn)動方程，最后求解方程根據(jù)牛頓定律寫出原子運(yùn)動方程，最后求解方程 將電子的運(yùn)動和離子的運(yùn)動分開將電子的運(yùn)動和離子的運(yùn)動分開 3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶

10、格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)一維無限原子鏈一維無限原子鏈 每個原子質(zhì)量每個原子質(zhì)量m，平衡時原子間距，平衡時原子間距a 原子之間的作用力原子之間的作用力 第第n個原子離開平個原子離開平 衡位置的位移衡位置的位移n 第第n個原子和第個原子和第n1個個 原子間的相對位移原子間的相對位移nn1第第n個原子和第個原子和第n1個原子間的距離個原子間的距離nna13-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)2221()( )()()2aadvd vv av aHigh item

11、sdrdr平衡位置時，兩個原子間的互作用勢能平衡位置時，兩個原子間的互作用勢能)(av)(av發(fā)生相對位移發(fā)生相對位移 后，相互作用勢能后，相互作用勢能nn1 常數(shù)常數(shù))(av0)(adrdv 平衡條件平衡條件3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)簡諧近似簡諧近似 振動很微弱，勢能展式中只保留到二階項振動很微弱，勢能展式中只保留到二階項dvfd adrvd)(22相鄰原子間的作用力相鄰原子間的作用力 恢復(fù)力常數(shù)恢復(fù)力常數(shù)2221()( )()()2aadvd vv av aHi

12、gh itemsdrdr3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)原子的運(yùn)動方程原子的運(yùn)動方程 只考慮相鄰原子的作用，第只考慮相鄰原子的作用，第n個原子受到的作用力個原子受到的作用力)2()()(1111nnnnnnn第第n個原子的運(yùn)動方程個原子的運(yùn)動方程2112(2)(1, 2, 3,)nnnndmdtnN 每一個原子運(yùn)動方程類似每一個原子運(yùn)動方程類似 方程的數(shù)目和原子數(shù)相同方程的數(shù)目和原子數(shù)相同3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-1 3-1 簡諧近似和簡正

13、坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)方程解和振動頻率方程解和振動頻率 )2(1122nnnndtdm設(shè)方程組的解設(shè)方程組的解)(naqtinAenaq 第第n個原子振動相位因子個原子振動相位因子(1)1(1)1itnaqnitnaqnAeAe)2(2iaqiaqeem得到得到224sin ()2aqm應(yīng)用三角公式應(yīng)用三角公式3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)()it naqnAe 連續(xù)介質(zhì)中的機(jī)械波連續(xù)介質(zhì)中的機(jī)械波(2)()xitit

14、qxyAeAe波數(shù)波數(shù)2q 格波方程格波方程格波的意義格波的意義晶體中的格波晶體中的格波2(2/ )naitqnAe2q 格波和連續(xù)介質(zhì)波具有完全類似的形式格波和連續(xù)介質(zhì)波具有完全類似的形式 一個格波表示的是所有原子同時做頻率為一個格波表示的是所有原子同時做頻率為 的振動的振動波長波長3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 格波的波形圖格波的波形圖 簡諧近似下，格波是簡諧平面波簡諧近似下，格波是簡諧平面波()it naqnAe 向上的箭頭代表向上的箭頭代表原子沿原子沿X軸向右振

15、動軸向右振動 向下的箭頭代表向下的箭頭代表原子沿原子沿X軸向左振動軸向左振動3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)格波波長格波波長)(naqtinAe2q格波波矢格波波矢2qn格波相速度格波相速度qvp不同原子間相位差不同原子間相位差aqnnnaqaqn)(格波方程格波方程相鄰原子的相位差相鄰原子的相位差aqnaqaqn ) 1(3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱

16、學(xué)性質(zhì)波矢的取值波矢的取值和和布里淵區(qū)布里淵區(qū))(naqtinAe格波格波相鄰原子相位差相鄰原子相位差aqaq2 原子的振動狀態(tài)相同原子的振動狀態(tài)相同格波格波1的波矢的波矢aaq2421相鄰原子相位差相鄰原子相位差12aq3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì))(naqtinAe格波格波格波格波2的波矢的波矢aaq255/422222aq相鄰原子的位相差相鄰原子的位相差1/2aq 兩種波矢兩種波矢q1和和q2的格波中，原子的振動完全相同的格波中，原子的振動完全相同3-2 3-2

17、 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)aqqaa21aq222aq波矢的取值波矢的取值 相鄰原子的相位差取值相鄰原子的相位差取值 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū) 只研究清楚第一布里淵區(qū)的晶格振動問題只研究清楚第一布里淵區(qū)的晶格振動問題 其它區(qū)域不能提供新的物理內(nèi)容其它區(qū)域不能提供新的物理內(nèi)容3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)玻恩卡門（玻恩卡門（Born-Karman）周期性邊界

18、條件）周期性邊界條件 一維單原子晶格看作無限長，所有原子是等價的，每一維單原子晶格看作無限長，所有原子是等價的，每 個原子的振動形式都一樣個原子的振動形式都一樣 實際的晶體為有限，形成的鏈不是無窮長，鏈兩頭實際的晶體為有限，形成的鏈不是無窮長，鏈兩頭 的原子不能用中間原子的運(yùn)動方程來描述的原子不能用中間原子的運(yùn)動方程來描述3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì) N個原子頭尾相接形成環(huán)鏈，保持所有原子等價特點個原子頭尾相接形成環(huán)鏈，保持所有原子等價特點 處理問題時考慮處理問題時考

19、慮 到環(huán)鏈的循環(huán)性到環(huán)鏈的循環(huán)性 N很大，原子運(yùn)動近似為直線運(yùn)動很大，原子運(yùn)動近似為直線運(yùn)動設(shè)第設(shè)第n個原子的位移個原子的位移n再增加再增加N個原子之后個原子之后第第N+n個原子的位移個原子的位移nN3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)則有則有nnN)(naqtiaqnNtiAeAe要求要求1iNaqehNaq22, 12, 22, 0, 32, 22, 12NNNNNNh2qhNa h為整數(shù)為整數(shù)波矢的取值范圍波矢的取值范圍aqa3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體

20、的熱學(xué)性質(zhì)3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)22NNh2a 2/2/aNNa h N個整數(shù)值，波矢個整數(shù)值，波矢q 取取N個不同的分立值個不同的分立值 第一布里淵區(qū)包含第一布里淵區(qū)包含N個狀態(tài)個狀態(tài)每個波矢在第一布里淵區(qū)占的線度每個波矢在第一布里淵區(qū)占的線度2qNa 第一布里淵區(qū)的線度第一布里淵區(qū)的線度第一布里淵區(qū)狀態(tài)數(shù)第一布里淵區(qū)狀態(tài)數(shù)2qhNa 波矢波矢3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)格波的色散關(guān)系格

21、波的色散關(guān)系)2(sin422aqm2sin()2aqm 頻率是波數(shù)的偶函數(shù)頻率是波數(shù)的偶函數(shù)格波相速度格波相速度qvp 不同波長的格波傳播速度不同不同波長的格波傳播速度不同 色散關(guān)系色散關(guān)系 q3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì) q空間的周期空間的周期頻率極小值頻率極小值min0 頻率極大值頻率極大值max2/ m 0qa02/m只有頻率在只有頻率在 之間的格波才能在晶體中傳播，之間的格波才能在晶體中傳播，其它頻率的格波被強(qiáng)烈衰減其它頻率的格波被強(qiáng)烈衰減02/m)2sin

22、(2aqm色散關(guān)系色散關(guān)系2a3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)格波格波 長波極限長波極限情況情況 0,qa0q當(dāng)當(dāng))2sin(2aqm/am q 格波的色散關(guān)系與連續(xù)介質(zhì)中彈性波的一致格波的色散關(guān)系與連續(xù)介質(zhì)中彈性波的一致2)2sin(qaqaElasticVq /ElasticVam 3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)格波格波 短波極限短波極限情情況

23、況qa2/sin()2aqmmax2/m 格波的色散關(guān)系與連續(xù)介質(zhì)中彈性波的不一致格波的色散關(guān)系與連續(xù)介質(zhì)中彈性波的不一致 不同頻率的格波傳播速度不同不同頻率的格波傳播速度不同3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)長波極限下長波極限下0) 1(qaqnaanq短波極限下短波極限下/qa2/2qa0q 相鄰兩個原子振動相位差相鄰兩個原子振動相位差2/q 晶格可看作是連續(xù)介質(zhì)晶格可看作是連續(xù)介質(zhì) 相鄰原子的振動相位相反相鄰原子的振動相位相反3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶

24、體的熱學(xué)性質(zhì)3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)原子位移和簡正坐標(biāo)的關(guān)系原子位移和簡正坐標(biāo)的關(guān)系 第第q個格波引起第個格波引起第n個原子位移個原子位移)(naqtiqnqqeA第第n個原子總的位移個原子總的位移qnaqtiqqnqnqeA)(qinaqqneQNm1令令1inaqnqqmeQNqitqqQNmA e 3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)原子坐標(biāo)和簡正坐標(biāo)的變換原子坐標(biāo)和簡正坐標(biāo)的變換31Nnnj

25、jjma Q 線性變換為么正變換線性變換為么正變換1inaqnqaeN*nqnqaanqnjaaq 有有3N個取值個取值nnqqqma Q1inaqnqqmeQN3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)動能和勢能的形式動能和勢能的形式 )()(*qQqQinaqeN1 N項獨立的模式項獨立的模式動能的正則坐標(biāo)表示動能的正則坐標(biāo)表示nnmT221212qqTQ 勢能的正則坐標(biāo)表示勢能的正則坐標(biāo)表示nnnU21)(211(), 01Nina q qq qneNqinaqqneQNm1

26、原子位移原子位移 為實數(shù)為實數(shù) 正交性正交性3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)勢能勢能qinaqqneQNm1)1(11qaqniqneQNmnnnU21)(211()(), 011()2Nia q qiaqiaqina q qqqq qnUQ QeeeemN 22qiaqiaqqqeeQQmU1cos()qqqQ Qaqm3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)

27、性質(zhì) )cos(1*qqqaqQQmU將將 代入得到代入得到)cos(122aqmqqqqqQQU*2122212qqqUQ 哈密頓量哈密頓量2221()2qqqqHTUQQ 系統(tǒng)復(fù)數(shù)形式的簡正坐標(biāo)系統(tǒng)復(fù)數(shù)形式的簡正坐標(biāo)qitqqQNmA e 系統(tǒng)勢能系統(tǒng)勢能3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì))()(21)(qibqaqQ)()(21)(*qibqaqQqqQT2212221qqqQU2201( )( )2qTaqb q 實數(shù)形式的簡正坐標(biāo)實數(shù)形式的簡正坐標(biāo)令令22201(

28、 )( )2qqUaqb q 哈密頓量哈密頓量222220011( )( )( )( )22qqqHaqb qaqb q 3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)能量本征值能量本征值1()2qnqqn 聲子聲子 晶格振動的能量量子；或格波的能量量子晶格振動的能量量子；或格波的能量量子q當(dāng)這種振動模處于當(dāng)這種振動模處于 時，說明有時，說明有 個聲子個聲子qqn)21(qn2()/exp()( )2qqnqqnQH 本征態(tài)函數(shù)本征態(tài)函數(shù) 一個簡正坐標(biāo)對應(yīng)一個諧振子方程，波函數(shù)是以簡正

29、一個簡正坐標(biāo)對應(yīng)一個諧振子方程，波函數(shù)是以簡正 坐標(biāo)為宗量的諧振子波函數(shù)坐標(biāo)為宗量的諧振子波函數(shù) 3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似和簡正坐標(biāo) 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 聲子是一種元激發(fā)，可與電子或光子發(fā)生作用聲子是一種元激發(fā)，可與電子或光子發(fā)生作用 晶格振動的問題晶格振動的問題 聲子系統(tǒng)問題的研究聲子系統(tǒng)問題的研究 每個振動模式在簡諧近似條件下都是獨立的每個振動模式在簡諧近似條件下都是獨立的 聲子系綜是無相互作用的聲子氣組成的系統(tǒng)聲子系綜是無相互作用的聲子氣組成的系統(tǒng) 聲子具有能量聲子具有能量_動量，看作是

30、準(zhǔn)粒子動量，看作是準(zhǔn)粒子晶格振動晶格振動 聲子體系聲子體系3-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-3 一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波聲學(xué)波和光學(xué)波 一維復(fù)式格子的情形一維復(fù)式格子的情形 一維無限長鏈一維無限長鏈 兩種原子兩種原子m和和M _( M m) _ 構(gòu)成一維復(fù)式格子構(gòu)成一維復(fù)式格子 M原子位于原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 m原子位于原子位于2n， 2n+2， 2n+4 系統(tǒng)有系統(tǒng)有N個原胞個原胞 同種原子間的距同種原子間的距離離2a_晶格常數(shù)晶格常數(shù)3-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈

31、 聲學(xué)波和光學(xué)波聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)2121222(2)nnnnM (2) (21)221itna qitnaqnnAeandBe N個原胞，有個原胞，有2N個獨立的方程個獨立的方程 兩種原子振兩種原子振動的振幅動的振幅A和和B一一般來說是不同的般來說是不同的 第第2n+1個個M原子的方程原子的方程222121(2)nnnnm 第第2n個個m原子的方程原子的方程方程解的形式方程解的形式3-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì))12(12)2(2aqntinqnatinBeAe

32、22(2)(2cos)0(2cos)(2)0mAaq Baq AMB A、B有非零的解，系數(shù)行列式為零有非零的解，系數(shù)行列式為零2121222222121(2)(2)nnnnnnnnMm 第第2n+1個個M原子原子 第第2n個個m原子原子方程的解方程的解3-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)02cos2cos2222Maqaqm221/22()411sin()mMmMaqmMmM 一維復(fù)式晶格中存在一維復(fù)式晶格中存在兩種獨立的格波兩種獨立的格波221/22()411sin()mMmMaqmMmM221/22()41

33、1sin()mMmMaqmMmM3-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)221/22()411sin()mMmMaqmMmM221/22()41 1sin()mMmMaqmMmM 與與q之間存在著兩之間存在著兩 種不同的色散關(guān)系種不同的色散關(guān)系 一維復(fù)式格子存在一維復(fù)式格子存在 兩種獨立的格波兩種獨立的格波 光學(xué)波光學(xué)波 聲學(xué)波聲學(xué)波05/283-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)兩種格波的振幅兩種格波的振幅0)2()cos2(0)cos2(

34、)2(22BMAaqBaqAmaqmABcos22)(2aqmABcos22)(2221/22()411sin()mMmMaqmMmM 光學(xué)波光學(xué)波 聲學(xué)波聲學(xué)波3-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)相鄰原胞相位差相鄰原胞相位差 aq2)12(12)2(2aqntinqnatinBeAeM和和m原子方程原子方程q的取值的取值波矢波矢q的值的值aqa22 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū) 布里淵區(qū)大小布里淵區(qū)大小周期性邊界條件周期性邊界條件nnNhaqN2)2(22aNhq a2aq3-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學(xué)波

35、和光學(xué)波聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)22aNhq Naq h為整數(shù)為整數(shù)每個波矢在第一布里淵區(qū)占的線度每個波矢在第一布里淵區(qū)占的線度第一布里淵區(qū)允許的第一布里淵區(qū)允許的q值的數(shù)目值的數(shù)目NNaa/ 晶體中的原胞數(shù)目晶體中的原胞數(shù)目 對應(yīng)一個對應(yīng)一個q有兩支格波：一支有兩支格波：一支聲學(xué)波聲學(xué)波和一支和一支光學(xué)波光學(xué)波 總的格波數(shù)目為總的格波數(shù)目為2N ： 原子的數(shù)目原子的數(shù)目: 2Nq的取值的取值3-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)色散關(guān)系色散關(guān)系的特點的特點 短波極限短波極限2

36、qa 兩種格波的頻率兩種格波的頻率1/21/21/2max1/21/21/2min2()()()()()2()()()()()mMMmmMMmMMmmMm因為因為 Mmmaxmin)()(3-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)maxmin)()(maxmin)()( 不存在格波不存在格波 頻率間隙頻率間隙10/283-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 兩種格波中兩種格波中m和和M原子振動振幅之比原子振動振幅之比aqmABcos22)(2a

37、qmABcos22)(2 光學(xué)波光學(xué)波 聲學(xué)波聲學(xué)波3-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì) m原子靜止不動，相鄰原子振動的相位相反原子靜止不動，相鄰原子振動的相位相反22()2cosBmAaq cos ()02aa()BA BA2qa 時時m和和M原子振動的振幅原子振動的振幅 聲學(xué)波聲學(xué)波1/2max2()()M 3-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 光學(xué)波光學(xué)波22()2cosBmAaq cos ()02aa1/2min2()()m()

38、0BA M原子靜止不動，相鄰原子振動的相位相反原子靜止不動，相鄰原子振動的相位相反 BA3-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)長波極限長波極限0q聲學(xué)波聲學(xué)波221/22()41 1sin()mMmMaqmMmM0, 0q0, 0qaqmABcos22)(2()1BA 3-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)0, 0qaqmABcos22)(21)(AB 原胞中的兩個原子振動的振幅相同，振動方向一致原胞中的兩個原子振動的振幅相同，振動方向一致

39、 代表代表原胞質(zhì)心的振動原胞質(zhì)心的振動15/283-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)光學(xué)波光學(xué)波 長波極限長波極限0q221/22()411sin()mMmMaqmMmM1)(sin)(422aqMmmM2,mMmM3-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)2,mMmMaqmABcos22)(2MmAB)( 長光學(xué)波同種原子振動相位一致，相鄰原子振動相反長光學(xué)波同種原子振動相位一致，相鄰原子振動相反 原胞質(zhì)心保持不變的振動，原胞中原胞質(zhì)心保持

40、不變的振動，原胞中原子之間相對運(yùn)動原子之間相對運(yùn)動3-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 兩種格波中兩種格波中m和和M原子振動振幅之比原子振動振幅之比3-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)131402()1010 /s 長光學(xué)波與電磁波的作用長光學(xué)波與電磁波的作用 在長波極限下，對于典型的在長波極限下，對于典型的 和和 值值 對應(yīng)于遠(yuǎn)紅外的光波對應(yīng)于遠(yuǎn)紅外的光波 遠(yuǎn)紅外光波激發(fā)離子遠(yuǎn)紅外光波激發(fā)離子 晶體，可引起晶體中晶體，可引起晶體中 長

41、光學(xué)波的共振吸收長光學(xué)波的共振吸收3-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波聲學(xué)波和光學(xué)波 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)光波的頻率光波的頻率0c q 波矢遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于一般格波的波矢，只有波矢遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于一般格波的波矢，只有 的長光學(xué)的長光學(xué) 波可以與遠(yuǎn)紅外的光波發(fā)生共振吸收波可以與遠(yuǎn)紅外的光波發(fā)生共振吸收0q 將可以與光波作將可以與光波作 用的長光學(xué)波聲用的長光學(xué)波聲 子稱為電磁聲子子稱為電磁聲子20/283-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3.4 三維晶格的振動三維晶格的振動 三維復(fù)式格子三維復(fù)式格子各原子偏離格

42、點的位移各原子偏離格點的位移晶體的原胞數(shù)目晶體的原胞數(shù)目321NNNN 原子的質(zhì)量原子的質(zhì)量nmmmm,321第第l個原胞的位置個原胞的位置332211)(alalallR原胞中各原子的位置原胞中各原子的位置nlRlRlRlR,3,2,1nllll,3,2,1 一個原胞中有一個原胞中有n個原子個原子3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)第第k個原子運(yùn)動方程個原子運(yùn)動方程 klklmk23, 2, 1 原子在三個方向上的位移分量原子在三個方向上的位

43、移分量 一個原胞中有一個原胞中有3n個類似的方程個類似的方程原子位移方程的解原子位移方程的解qklRtikeAkl 將方程解代回將方程解代回3n個運(yùn)動方程個運(yùn)動方程3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)2,kkkkAkkqCAm;,;,;,222111nznynxzyxzyxAAAAAAAAA 3n個線性齊次方程個線性齊次方程 系數(shù)行列式為零條件，得到系數(shù)行列式為零條件，得到3n個個)3, 3, 2, 1(njj1, 2,3;1, 2, 3;1, 2,knk3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶

44、體的熱學(xué)性質(zhì)2,kkkkAkkqCAm 3n個線性齊次方程個線性齊次方程長波極限長波極限0q3個個qj 趨于一致趨于一致nAAAA,321 三個頻率對應(yīng)的格波描述不同原胞之間的相對運(yùn)動三個頻率對應(yīng)的格波描述不同原胞之間的相對運(yùn)動 3支聲學(xué)波支聲學(xué)波 3n3支長波極限的格波描述一個原胞中各原子間的相支長波極限的格波描述一個原胞中各原子間的相 對運(yùn)動對運(yùn)動 3n3支光學(xué)波支光學(xué)波3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)結(jié)論結(jié)論 晶體中一個原胞中有晶體中一個原胞中有n個原子組成個原子組成 有有3支聲學(xué)波和支聲學(xué)波和3n3支光學(xué)波支光學(xué)波波矢波矢3

45、32211bxbxbxq 波矢空間的波矢空間的3個基矢個基矢321,bbb三維晶格中的波矢三維晶格中的波矢 倒格子基矢倒格子基矢123,x xx 3個系數(shù)個系數(shù)3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 1 12 23 3xyzlit Rx bkxkxlit Rx bkykylit Rx bkzkzlA eklA eklA ek 采用波恩卡曼邊界條件采用波恩卡曼邊界條件1 1 1 1122222333 332,2,2N a x bhN a x bhN a x bh 1 11 1()xlitN aRx bkkxA e 3 33 3()zlitN

46、 aRx bkkzA e 2 22 2()ylitN aRx bkkyA e3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)11111 1 1122222222333333 33222hhxxN a bNhhxxN a bNhhxxN a bN333222111bNhbNhbNhq波矢波矢波矢空間一個點占據(jù)的體積波矢空間一個點占據(jù)的體積123123*()bbbVNNN*0vN 倒格子原胞體積倒格子原胞體積*0123()vbbb狀態(tài)密度狀態(tài)密度*0123()NNvbbb033(2 )(2 )NvV3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動

47、與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)波矢的取值波矢的取值_ h1h2h3 原子振動波函數(shù)原子振動波函數(shù)qlRie)(波矢改變一個倒格矢波矢改變一個倒格矢332211bnbnbnGnnGqqqlRiqGlRieen)()()(1 12233( )2 ()nR lGl nl nl nqklRtikeAkl 不同原胞之間相位聯(lián)系不同原胞之間相位聯(lián)系 原子振動狀態(tài)一樣原子振動狀態(tài)一樣3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)k的取值限制在一個倒格子原胞中的取值限制在一個倒格子原胞中 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)2211bqbx2222bqby2233

48、bqbz333222111bNhbNhbNhq11122NNh22222NhN22333NhN 個取值個取值321NNNN 111222333xyzhqbNhqbNhqbN3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)對應(yīng)于一個波矢對應(yīng)于一個波矢q 3支聲學(xué)波支聲學(xué)波和和3n3支光學(xué)波支光學(xué)波總的格波數(shù)目總的格波數(shù)目nNnN3) 333( 晶體中原子的坐標(biāo)數(shù)目晶體中原子的坐標(biāo)數(shù)目nNiiiqqnE31)(21)(晶格振動總的能量晶格振動總的能量)(qi 晶格振動能量量子晶格振動能量量子 聲子聲子_Phonon3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格

49、的振動 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)二維布里淵區(qū)二維布里淵區(qū) 正方格子的布里淵區(qū)正方格子的布里淵區(qū) 正方格子的基矢正方格子的基矢12aaiaaj倒格子原胞基矢倒格子原胞基矢jabiab22213-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)倒格子空間離原點最近的四個倒格點倒格子空間離原點最近的四個倒格點1122,bbbb垂直平分線方程垂直平分線方程akakyx 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)大小大小2)2(a3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 第二布

50、里淵區(qū)第二布里淵區(qū)由由4個倒格點個倒格點12121212()()()()bbbbbbbb2)2(a 第二布里淵區(qū)大第二布里淵區(qū)大小小的垂直平分線和第一的垂直平分線和第一布里淵區(qū)邊界所圍成布里淵區(qū)邊界所圍成3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)由由4個倒格點個倒格點12122 ,22 ,2bbbb 第三布里淵區(qū)第三布里淵區(qū)2)2(a第三布里淵區(qū)大小第三布里淵區(qū)大小的垂直平分線和第二布的垂直平分線和第二布里淵區(qū)邊界邊界所圍成里淵區(qū)邊界邊界所圍成3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)第一、

51、第二和第三布里淵區(qū)第一、第二和第三布里淵區(qū)3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 正方格子其它布里淵區(qū)的形成正方格子其它布里淵區(qū)的形成 3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 二維斜格子的第一布里淵區(qū)二維斜格子的第一布里淵區(qū)3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 二維斜格子其它布里淵區(qū)的形成二維斜格子其它布里淵區(qū)的形成 3-5 離子晶體的長光學(xué)波 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶

52、體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-5 離子晶體的長光學(xué)波離子晶體的長光學(xué)波 光學(xué)波中，原胞中不同的原子相對地作振動光學(xué)波中，原胞中不同的原子相對地作振動晶格中的聲學(xué)波中相鄰原子都沿同一方向振動晶格中的聲學(xué)波中相鄰原子都沿同一方向振動 正負(fù)離子組成的晶體，正負(fù)離子組成的晶體，長光學(xué)波使晶格出現(xiàn)宏觀極化長光學(xué)波使晶格出現(xiàn)宏觀極化 波長很長的光學(xué)波：長光學(xué)波波長很長的光學(xué)波：長光學(xué)波 波長很長的聲學(xué)波：長聲學(xué)波波長很長的聲學(xué)波：長聲學(xué)波 聲學(xué)波代表原胞質(zhì)心的振動聲學(xué)波代表原胞質(zhì)心的振動 光學(xué)波表示原胞中相鄰原子做反位相振動光學(xué)波表示原胞中相鄰原子做反位相振動波長波長 原胞的線度原胞的線度a3-

53、5 離子晶體的長光學(xué)波 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)1. 長光學(xué)波的宏觀方程長光學(xué)波的宏觀方程 兩種正負(fù)離子組成的復(fù)式格子兩種正負(fù)離子組成的復(fù)式格子_立方晶體立方晶體 長光學(xué)波長光學(xué)波 極化波極化波 半波長內(nèi)，正離子半波長內(nèi)，正離子組成的布喇菲原胞同向組成的布喇菲原胞同向位移，負(fù)離子組成的布位移，負(fù)離子組成的布喇菲原胞反向位移喇菲原胞反向位移 晶體出現(xiàn)宏觀極化晶體出現(xiàn)宏觀極化3-5 離子晶體的長光學(xué)波 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與

54、晶體的熱學(xué)性質(zhì)原胞中的兩個正負(fù)離子質(zhì)量原胞中的兩個正負(fù)離子質(zhì)量兩個正負(fù)離子的位移兩個正負(fù)離子的位移MandMand描述長光學(xué)波運(yùn)動的宏觀量描述長光學(xué)波運(yùn)動的宏觀量)()(21MWMMMMM黃昆方程黃昆方程Pand E 宏觀極化強(qiáng)度和宏觀電場強(qiáng)度宏觀極化強(qiáng)度和宏觀電場強(qiáng)度11122122Wb Wb EPb Wb E 1221bb 原胞體積原胞體積3-5 離子晶體的長光學(xué)波 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 正負(fù)離子相對運(yùn)動位移產(chǎn)生的極正負(fù)離子相對運(yùn)動位移產(chǎn)生的極 化和宏觀電場產(chǎn)生的附加極化化和宏觀電場產(chǎn)生的附加

55、極化EbWbW 1211EbWbP2221 離子相對運(yùn)動的動力學(xué)方程離子相對運(yùn)動的動力學(xué)方程1) 靜電場下晶體的介電極化靜電場下晶體的介電極化 恒定電場下恒定電場下0W EbbW1112EbbbP)(11212223-5 離子晶體的長光學(xué)波 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)EPE00)0(EP0 1)0(和和 比較比較EbbbP)(112122221202211 (0)1bbb因為因為2) 高頻電場下晶體的介電極化高頻電場下晶體的介電極化 電場的頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于晶格振動的頻率電場的頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于晶格振動的頻率0WE

56、bP22EbWbP2221EP0 1)(022 ( )1b 3-5 離子晶體的長光學(xué)波 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)2011b0220021122011 1)()()0(bbbb在長光學(xué)波下有在長光學(xué)波下有 橫長光學(xué)波的頻率橫長光學(xué)波的頻率11122122Wb Wb EPb Wb E 黃昆方程黃昆方程3-5 離子晶體的長光學(xué)波 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 晶體中存在晶體中存在長光學(xué)縱波長光學(xué)縱波(LO)和和長光學(xué)橫

57、波長光學(xué)橫波(TO) 長光學(xué)縱波聲子稱為極化聲子長光學(xué)縱波聲子稱為極化聲子(LO)，長光學(xué)縱波伴隨，長光學(xué)縱波伴隨 有宏觀的極化電場有宏觀的極化電場 長光學(xué)橫波長光學(xué)橫波伴隨著有旋的宏觀電磁場，伴隨著有旋的宏觀電磁場，電磁聲子電磁聲子(TO) 長光學(xué)橫波具有電磁性，可以和光場發(fā)生耦合長光學(xué)橫波具有電磁性，可以和光場發(fā)生耦合 極化聲子極化聲子 _ 縱光學(xué)聲子縱光學(xué)聲子3-5 離子晶體的長光學(xué)波 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)-+-+-+-+-+EE 3-5 離子晶體的長光學(xué)波 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-4

58、3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)-+-+-+-+-+EE 3-7 3-7 晶體熱容的量子理論晶體熱容的量子理論 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-8 晶體熱容的量子理論晶體熱容的量子理論 固體的定容熱容固體的定容熱容()VVECT E 固體的平均內(nèi)能固體的平均內(nèi)能固體內(nèi)能固體內(nèi)能 晶格振動的能量晶格振動的能量和和電子熱運(yùn)動的能量電子熱運(yùn)動的能量實驗結(jié)果實驗結(jié)果 低溫下金屬的熱容低溫下金屬的熱容3VCTAT 溫度不是太低的情況，忽略

59、電子對比熱的貢獻(xiàn)溫度不是太低的情況，忽略電子對比熱的貢獻(xiàn)T 電子對比熱的貢獻(xiàn)電子對比熱的貢獻(xiàn)3AT 晶格振動對比熱的貢獻(xiàn)晶格振動對比熱的貢獻(xiàn)3-7 3-7 晶體熱容的量子理論晶體熱容的量子理論 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動對熱容的貢獻(xiàn)晶格振動對熱容的貢獻(xiàn) 經(jīng)典理論經(jīng)典理論 一個簡諧振動平均能量一個簡諧振動平均能量TkBN個原子，總的平均能量個原子，總的平均能量TNkEB3摩爾固體熱容摩爾固體熱容VVTEC)(RkNCBAV33 杜隆杜隆 珀替定律珀替定律實驗表明實驗表明 在

60、低溫時在低溫時熱容量隨溫度迅速趨于零熱容量隨溫度迅速趨于零 ! 能量均分定律能量均分定律3-7 3-7 晶體熱容的量子理論晶體熱容的量子理論 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì) 一個頻率為一個頻率為 j的的振動模對熱容的貢獻(xiàn)振動模對熱容的貢獻(xiàn)/jBjBjjnk Tnk TnnPee1()2jjjEn頻率為頻率為 j的的振動模由一系列量子能級振動模由一系列量子能級 組成組成 子體系子體系/jBjEk TnPCe子體系處于量子態(tài)子體系處于量子態(tài) 的概率的概率1()2jjjEn/(1)jjBj