1、統計學統計學第第七七章章 參數估計參數估計編輯ppt2 參數估計的一般問題 一個總體參數的區間估計 兩個總體參數的區間估計 樣本量的確定學習目標學習目標本章學習目標本章學習目標3參數估計的一般問題 4參數估計參數估計的一般問題的一般問題 估計量與估計值估計量與估計值評價估計量的標準評價估計量的標準點估計與區間估計點估計與區間估計12351.估計量：用于估計總體參數的隨機變量如樣本均值，樣本比例, 樣本方差等例如: 樣本均值就是總體均值 的一個估計量2.參數用 表示，估計量用 表示3.估計值：估計參數時計算出來的統計量的具體值如果樣本均值 x =80，則80就是的估計值估計量與估計量與估計值估計

2、值(estimator & estimated value)6估計量與估計值估計量與估計值評價估計量的標準評價估計量的標準點估計與區間估計點估計與區間估計123參數估計參數估計的一般問題的一般問題 71.用樣本的估計量的某個取值直接作為總用樣本的估計量的某個取值直接作為總體參數的估計值體參數的估計值例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計；用兩個樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計2.無法給出估計值接近總體參數程度的信無法給出估計值接近總體參數程度的信息息點估計點估計(point estimate)81.在點估計的基礎上，給出總體參數估計的一個區間范圍，該區間由樣本統計量加減估計誤差而

3、得到2.根據樣本統計量的抽樣分布能夠對樣本統計量與總體參數的接近程度給出一個概率度量比如，某班級平均分數在7585之間，置信水平是95% 樣本統計量 (點估計)置信區間置信下限置信上限區間估計區間估計 (interval estimate)9x95% 的樣本-1.96 x +1.96 x99% 的樣本 - 2.58 x +2.58 x90%的樣本 -1.65 x +1.65 x區間估計區間估計 (interval estimate)101.將構造置信區間的步驟重復很多次，置信區間包含總體參數真值的次數所占的比例稱為置信水平 2.表示為 (1 a）%a為是總體參數未在區間內的比例3.常用的置信水

4、平值有 99%, 95%, 90%相應的相應的 a為，置信水平置信水平(confidence level) 11由樣本統計量所構造的總體參數的估計區間稱為置信區間統計學家在某種程度上確信這個區間會包含真正的總體參數，所以給它取名為置信區間 用一個具體的樣本所構造的區間是一個特定的區間，我們無法知道這個樣本所產生的區間是否包含總體參數的真值置信區間置信區間 (confidence interval)12重復構造出重復構造出 的的20個個置信區間置信區間 點估計值點估計值置信區間置信區間 (95%的置信區間的置信區間)13估計量與估計值估計量與估計值評價估計量的標準評價估計量的標準點估計與區間估計

5、點估計與區間估計123參數估計參數估計的一般問題的一般問題 14無偏性：無偏性：估計量抽樣分布的數學期望等于被估計的總體參數無偏無偏性性(unbiasedness)15有效性：有效性：對同一總體參數的兩個無偏點估計量，有更小標準差的估計量更有效 有效性有效性(efficiency)16一致性一致性(consistency)一致性：一致性：隨著樣本量的增大，估計量的值越來越接近被估計的總體參數17一個總體參數的區間估計18總體均值的區間估總體均值的區間估計計總體方差的區間估總體方差的區間估計計總體比例的區間估總體比例的區間估計計12319一個總體參數的區間估計一個總體參數的區間估計總體參數符號表

6、示樣本統計量均值比例方差20總體均值的區間估計總體均值的區間估計1. 假定假定條件條件l總體服從正態分布,且方差() 已知l如果不是正態分布，可由正態分布來近似 (n 30)2.使用正態分布統計量 z3.總體均值 在1- 置信水平下的置信區間為21總體均值的總體均值的區間估計區間估計(例題分析例題分析)【 例 】一家食品生產企業以生產袋裝食品為主，為對食品質量進行監測，企業質檢部門經常要進行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求?，F從某天生產的一批食品中隨機抽取了25袋，測得每袋重量如下表所示。已知產品重量的分布服從正態分布，且總體標準差為10g。試估計該批產品平均重量的置信區間，置信水平為95%1

7、12.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.322例題例題答案答案已知N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2。根據樣本數據計算得： 。由于是正態總體，且方差已知?？傮w均值在1-置信水平下的置信區間為總體均值的總體均值的區間估計區間估計(例題分析例題分析)23【例】一家保險公司收集到由36個投保人組成的隨機樣本，得到每個投保人的年齡(單位：周歲)數據如下表。試建立投保人年齡90%的置

8、信區間 233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532總體均值的總體均值的區間估計區間估計(例題分析例題分析)例題例題24總體均值的總體均值的區間估計區間估計(例題分析例題分析)答案答案解：已知n=36, 1- = 90%，。根據樣本數據計算得： ， 總體均值在1- 置信水平下的置信區間為投保人平均年齡的置信區間為歲歲25總體均值的區間估總體均值的區間估計計總體方差的區間估總體方差的區間估計計總體比例的區間估總體比例的區間估計計12326總體均值的總體均值的區間估計區間估計(小樣本小樣本)1.假定

9、條件總體服從正態分布,但方差() 未知小樣本 (n 30)2.使用 t 分布統計量3.總體均值 在1-置信水平下的置信區間為277.2 t分布分布t 分布是類似正態分布的一種對稱分布，它通常要比正態分布平坦和分散。一個特定的分布依賴于稱之為自由度的參數。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態分布 28總體均值的總體均值的區間估計區間估計(例題分析例題分析)【例】已知某種燈泡的壽命服從正態分布，現從一批燈泡中隨機抽取16只，測得其使用壽命(單位：h)如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區間1510152014801500145014801510152014801490153015101460

10、14601470147029解：已知N(，2)，n=16, 1- = 95%，t/2 根據樣本數據計算得： ， 總體均值在1-置信水平下的置信區間為該種燈泡平均使用壽命的置信區間為hh總體均值的總體均值的區間估計區間估計(例題分析例題分析)答案答案30總體均值的區間估總體均值的區間估計計總體方差的區間估總體方差的區間估計計總體比例的區間估總體比例的區間估計計123311. 假定條件總體服從二項分布可以由正態分布來近似2. 使用正態分布統計量 z3. 總體比例在1-置信水平下的置信區間為總體比例的區間估計總體比例的區間估計32【例】某城市想要估計下崗職工中女性所占的比例，隨機地抽取了100名下崗

11、職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計該城市下崗職工中女性比例的置信區間該城市下崗職工中女性比例的置信區間為55.65%74.35% 例題例題答案答案總體比例的總體比例的區間估計區間估計(例題分析例題分析)33總體均值的區間估總體均值的區間估計計總體方差的區間估總體方差的區間估計計總體比例的區間估總體比例的區間估計計123341. 估計一個總體的方差或標準差2.假設總體服從正態分布3.總體方差 2 的點估計量為s2,且4. 總體方差在1- 置信水平下的置信區間為總體方差的區間估計總體方差的區間估計35總體方差的總體方差的區間估計區間估計(圖示圖示)36總體方差的總體方差的區間估計

12、區間估計(圖示圖示)例題例題【例】一家食品生產企業以生產袋裝食品為主，現從某天生產的一批食品中隨機抽取了25袋，測得每袋重量如下表所示。已知產品重量的分布服從正態分布。以95%的置信水平建立該種食品重量方差的置信區間 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.337已知n25，1-95% ,根據樣本數據計算得s2 2置信度為95%的置信區間為 3641.39)24() 1(2025. 022

13、n該企業生產的食品總體重量標準差的的置信區間為總體方差的總體方差的區間估計區間估計(例題分析例題分析)答案答案38一個總體參數的一個總體參數的區間估計區間估計(小結小結)均值均值大樣本大樣本 2 2已知已知Z Z分布分布 2 2未知未知Z Z分布分布小樣本小樣本 2 2已知已知Z Z分布分布 2 2未知未知t t分布分布比例比例大樣本大樣本Z Z分布分布方差方差 2 2分布分布39兩個總體參數的區間估計40兩個總體參數的區間估計兩個總體參數的區間估計41兩個總體均值之差兩個總體均值之差的區間估計的區間估計兩個總體方差比的兩個總體方差比的區間估計區間估計兩個總體比例之差兩個總體比例之差的區間估計

14、的區間估計123兩個總體參數的區間估計兩個總體參數的區間估計42兩個總體均值之差的兩個總體均值之差的區間估計區間估計(獨立大樣本獨立大樣本)1.假定條件兩個總體都服從正態分布，1、 2已知若不是正態分布, 可以用正態分布來近似(n130和n230)兩個樣本是獨立的隨機樣本2.使用正態分布統計量 z431、1， 2已知時，兩個總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區間為2、1、 2未知時，兩個總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區間為兩個總體均值之差的兩個總體均值之差的區間估計區間估計(獨立大樣本獨立大樣本)44例題例題【例】某地區教育管理部門想估計兩所中學的學生高考時的英語平均分數之

15、差，為此在兩所中學獨立抽取兩個隨機樣本，有關數據如右表 。建立兩所中學高考英語平均分數之差95%的置信區間 中學中學1中學中學2n1=46n1=33S1=5.8 S2=7.2兩個總體均值之差的兩個總體均值之差的估計估計(例題分析例題分析)861x782x45兩個總體均值之差的兩個總體均值之差的估計估計(例題分析例題分析)解: 兩個總體均值之差在1-置信水平下的置信區間為 兩所中學高考英語平均分數之差的置信區間為分分答案答案46兩個總體均值之差的兩個總體均值之差的估計估計(例題分析例題分析)某地區教育管理部門想估計兩所中學的學生高考時的英語平均分數之差，為此在兩所中學獨立抽取兩個隨機樣本，有關數

16、據如右表 。建立兩所中學高考英語平均分數之差95%的置信區間 中學中學1中學中學2n1=46n1=33S1=5.8 S2=7.2861x782x例題例題47解: 兩個總體均值之差在1-置信水平下的置信區間為 兩所中學高考英語平均分數之差的置信區間為分分兩個總體均值之差的兩個總體均值之差的估計估計(例題分析例題分析)答案答案481.假定條件兩個總體都服從正態分布兩個總體方差未知但相等：1=2兩個獨立的小樣本(n130和n230)2. 總體方差的合并估計量3.估計量x1-x2的抽樣標準差兩個總體均值之差的兩個總體均值之差的估計估計(小樣本小樣本: 12= 22 )49兩個總體均值之差的兩個總體均值

17、之差的估計估計(例題分析例題分析)【例】為估計兩種方法組裝產品所需時間的差異，分別對兩種不同的組裝方法各隨機安排12名工人，每個工人組裝一件產品所需的時間(單位：min)下如表。假定兩種方法組裝產品的時間服從正態分布，且方差相等。試以95%的置信水平建立兩種方法組裝產品所需平均時間差值的置信區間方法方法1方法方法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.5例題例題50答案答案解: 根據樣本數據計算得 合并估計量為兩種方法組裝產品所需平均時間之差的

18、置信區間為兩個總體均值之差的兩個總體均值之差的估計估計(例題分析例題分析)51兩個總體均值之差的估計兩個總體均值之差的估計(小樣本小樣本: 12 22 )1.假定條件兩個總體都服從正態分布兩個總體方差未知且不相等：12兩個獨立的小樣本(n130和n230)2.使用統計量52兩個總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區間為兩個總體均值之差的估計兩個總體均值之差的估計(小樣本小樣本: 12 22 )53例題例題沿用前例。假定第一種方法隨機安排12名工人，第二種方法隨機安排8名工人，即n1=12，n2=8 ，所得的有關數據如表。假定兩種方法組裝產品的時間服從正態分布，且方差不相等。以95%的置信

19、水平建立兩種方法組裝產品所需平均時間差值的置信區間 兩個總體均值之差的兩個總體均值之差的估計估計(例題分析例題分析)方法方法1方法方法228.336.027.631.730.137.222.226.529.038.531.037.634.433.832.128.020.028.830.030.254答案答案兩個總體均值之差的兩個總體均值之差的估計估計(例題分析例題分析)解: 根據樣本數據計算得 自由度為兩種方法組裝產品所需平均時間之差的置信區間為55兩個總體均值之差的兩個總體均值之差的估計估計(例題分析例題分析)1.假定條件兩個匹配的大樣本(n1 30和n2 30)兩個總體各觀察值的配對差服從

20、正態分布2.兩個總體均值之差d =1-2在1- 置信水平下的置信區間為56兩個總體均值之差的兩個總體均值之差的估計估計(匹配小樣本匹配小樣本)1.假定條件兩個匹配的小樣本(n1 30和n2 30)兩個總體各觀察值的配對差服從正態分布 2.兩個總體均值之差d=1-2在1- 置信水平下的置信區間為57例題例題兩個總體均值之差的估計兩個總體均值之差的估計(例題分析例題分析)【例】由10名學生組成一個隨機樣本，讓他們分別采用A和B兩套試卷進行測試，結果如下表 。試建立兩種試卷分數之差d=1-2 95%的置信區間學生編號學生編號試卷試卷A試卷試卷B差值差值d17871726344193726111489

21、845691741754951-2768551387660169857781055391658答案答案解: 根據樣本數據計算得兩種試卷所產生的分數之差的置信區間為分分兩個總體均值之差的估計兩個總體均值之差的估計(例題分析例題分析)59兩個總體比例之差的區間估計兩個總體比例之差的區間估計1.假定條件兩個總體服從二項分布可以用正態分布來近似兩個樣本是獨立的2.兩個總體比例之差1- 2在1- 置信水平下的置信區間為60兩個總體比例之差的兩個總體比例之差的估計估計(例題分析例題分析)例題例題【例】在某個電視節目的收視率調查中，農村隨機調查了400人，有32%的人收看了該節目；城市隨機調查了500人，有

22、45%的人收看了該節目。試以95%的置信水平估計城市與農村收視率差別的置信區間 61兩個總體比例之差的兩個總體比例之差的估計估計(例題分析例題分析)解: 已知 n1=500 ，n2=400， p1=45%， p2=32%， 1- =95%， z/2 1- 2置信度為95%的置信區間為城市與農村收視率差值的置信區間為6.68%19.32%答案答案621. 比較兩個總體的方差比2.用兩個樣本的方差比來判斷如果S12/ S22接近于1,說明兩個總體方差很接近如果S12/ S22遠離1,說明兩個總體方差之間存在差異3.總體方差比在1-置信水平下的置信區間為兩個總體方差比的區間估計兩個總體方差比的區間估

23、計63兩個總體方差比的兩個總體方差比的區間估計區間估計(圖示圖示)64兩個總體方差比的兩個總體方差比的區間估計區間估計(例題分析例題分析)【例】為了研究男女學生在生活費支出(單位：元)上的差異，在某大學各隨機抽取25名男學生和25名女學生，得到下面的結果男學生：女學生：試以90%置信水平估計男女學生生活費支出方差比的置信區間 65解:根據自由度 n1=25-1=24 ，n2=25-1=24，查得 F/2， F1-/2 12 /22置信度為90%的置信區間為男女學生生活費支出方差比的置信區間為 兩個總體方差比的兩個總體方差比的區間估計區間估計 (例題分析例題分析)66均值差均值差獨立大樣本獨立大樣本 1 12 2、 2 22 2已已Z Z分布分布 1 12 2、 2 22 2未未Z Z分布