1、第2章 牛頓運(yùn)動(dòng)定律及其應(yīng)用 習(xí)題解答1.質(zhì)量為10kg 的質(zhì)點(diǎn)在xOy 平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)規(guī)律為:543x con t =+(m,5sin 45y t =-(m.求t 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)所受的力.解:543 20sin 480cos 4x x x x con t dx v t dt dva tdt=+=-=-5sin 4520cos 480sin 4y y y t v t a t=-=- 12800cos 4(800sin 4(800(x x y y x y F ma t N F ma t N F F F N =-=-=+= 2.質(zhì)量為m 的質(zhì)點(diǎn)沿x 軸正向運(yùn)動(dòng),設(shè)質(zhì)點(diǎn)通過坐標(biāo)x 位置時(shí)其速率為kx

2、(k 為比例系數(shù),求:(1此時(shí)作用于質(zhì)點(diǎn)的力;(2質(zhì)點(diǎn)由1x x =處出發(fā),運(yùn)動(dòng)到2x x =處所需要的時(shí)間。 解:(1 2(dv dx F mmk mk x N dt dt= (2 22112111ln ln xx x x x dxdx v kx t x dtkx k k x = 3.質(zhì)量為m 的質(zhì)點(diǎn)在合力0F F kt(N =-(0F ,k 均為常量的作用下作直線運(yùn)動(dòng),求: (1質(zhì)點(diǎn)的加速度;(2質(zhì)點(diǎn)的速度和位置(設(shè)質(zhì)點(diǎn)開始靜止于坐標(biāo)原點(diǎn)處. 解:由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律20021000232000012111262v t x t F kt dvmF kt a (ms dt mF t kt F

3、kt dv dt v (ms m m F t kt F t kt dx dt x (m m m -=-=-=-=4.質(zhì)量為m 的質(zhì)點(diǎn)最初靜止在0x 處,在力2F k /x =-(N(k 是常量的作用下沿X 軸運(yùn)動(dòng),求質(zhì)點(diǎn)在x 處的速度。解: 由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律 2120vxx dv dv dx dv F k /x mm mv dt dx dt dxk vdv dx v ms mx -=-=-=5.已知一質(zhì)量為m 的質(zhì)點(diǎn)在x 軸上運(yùn)動(dòng),質(zhì)點(diǎn)只受到指向原點(diǎn)的引力的作用,引力大小與質(zhì)點(diǎn)離原點(diǎn)的距離x 的平方成反比,即2/x k f -=(N,k 是比例常數(shù).設(shè)質(zhì)點(diǎn)在 x =A 時(shí)的速度為零,求質(zhì)點(diǎn)在

4、x =A /4處的速度的大小. 解: 由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律 2120vxx dv dv dx dv F k /x mm mv dt dx dt dxk vdv dx v ms mx -=-=-=6.質(zhì)點(diǎn)在流體中作直線運(yùn)動(dòng),受與速度成正比的阻力kv (k 為常數(shù)作用,t =0時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度為0v ,證明(1 t 時(shí)刻的速度為v =t mkev (0-;(2 由0到t 的時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的距離為x =(km v 01-t m ke (-;(3停止運(yùn)動(dòng)前經(jīng)過的距離為(0k m v ; (4當(dāng)k m t =時(shí)速度減至0v 的e1,式中m 為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量.證明: (1 t 時(shí)刻的速度為v =t mk ev (0-0

5、000ln vtk t mv dv F kv mdtdv k v k dt t v v e v m v m -=-=-=-=(2 由0到t 的時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的距離為x =(km v 01-t m ke (-0000(1k t mxtk k t t mmdxv v e dtmv dx v edt x e k-=-(3停止運(yùn)動(dòng)前經(jīng)過的距離為(0km v 在x 的表達(dá)式中令t=0得到: 停止運(yùn)動(dòng)前經(jīng)過的距離為(0km v (4當(dāng)k m t =時(shí)速度減至0v 的e1,式中m 為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量. 在v 的表達(dá)式中令k m t =得到:01v v e= 7.質(zhì)量為m 的子彈以速度v 0水平射入沙土中,設(shè)子彈所受阻

6、力與速度反向,大小與速度成正比,比例系數(shù)為K ,忽略子彈的重力,求:(1 子彈射入沙土后,速度隨時(shí)間變化的函數(shù)式;(2 子彈進(jìn)入沙土的最大深度. 解: 由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律(1 dv dv k mkv dt dt v m=-=- 考慮初始條件,對(duì)上式兩邊積分:000vtkt m v dv kdt v v e v m -=-= (2max00max 0x kt m mv dxv e dt x dt k -=-= 8.質(zhì)量為m 的雨滴下降時(shí),因受空氣阻力,在落地前已是勻速運(yùn)動(dòng),其速率為v = 5.0 m/s .設(shè)空氣阻力大小與雨滴速率的平方成正比,問:當(dāng)雨滴下降速率為v = 4.0 m/s 時(shí),其加速度a 多大?(取29.8/g m s =解: 由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律雨滴下降未達(dá)到極限速度前運(yùn)動(dòng)方程為2mg kv ma -= (1雨滴下降達(dá)到極限速度后運(yùn)動(dòng)方程為20mg kv -= (2將v = 4.0 m/s 代入(2式得2maxmgk v =(3 由(1、(3式22424m a x16(110(1 3.6/25v v v a g m s