1、專題 30圓錐曲線中的最值問題【考情分析】與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問題，因其考查的知識(shí)容量大、分析能力要求高、區(qū)分度高而成為高考命題者青睞的一個(gè)熱點(diǎn)。江蘇高考試題結(jié)構(gòu)平穩(wěn)，題量均勻每份試卷解析幾何基本上是1 道小題和 1 道大題，平均分值 19 分，實(shí)際情況與理論權(quán)重基本吻合；涉及知識(shí)點(diǎn)廣雖然解析幾何的題量不多，分值僅占總分的 13%，但涉及到的知識(shí)點(diǎn)分布較廣，覆蓋面較大；注重與其他內(nèi)容的交匯。圓錐曲線中的最值問題，范圍問題都是考查學(xué)生綜合能力的載體俗話說：他山之石可以攻玉在研究這幾年外省新課程卷解析幾何試題時(shí)，就很有啟發(fā)性比如 2010 年安徽卷理科 19 題，該題入題口寬，既可用傳統(tǒng)的聯(lián)

2、立直線與曲線，從方程的角度解決，也可利用點(diǎn)在曲線上的本質(zhì)，用整體運(yùn)算、對(duì)稱運(yùn)算的方法求解再比如 2011 年上海卷理科 23 題，主要涉及到中學(xué)最常見的幾個(gè)軌跡，通過定義點(diǎn)到線段的距離這一新概念設(shè)置了三個(gè)問題，特別是第三問，呈現(xiàn)給學(xué)生三個(gè)選擇，學(xué)生可根據(jù)自已的實(shí)際情況選擇答題，當(dāng)然不同層次的問題，評(píng)分也不一樣，體現(xiàn)讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展【備考策略】與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問題的討論常用以下方法解決：（ 1）結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系；（ 2）不等式（組）求解法：利用題意結(jié)合圖形（如點(diǎn)在曲線內(nèi)等）列出所討論的參數(shù)適合的不等式（組），通過解不等式組得出參數(shù)的變化范圍；（

3、3）函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個(gè)函數(shù)、一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個(gè)函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍。（ 4）利用代數(shù)基本不等式。代數(shù)基本不等式的應(yīng)用，往往需要?jiǎng)?chuàng)造條件，并進(jìn)行巧妙的構(gòu)思；【激活思維】1已知雙曲線x 2y 21( a>0, b>0) 的右焦點(diǎn)為 F，若過點(diǎn) F 且傾斜角為 60°的直線與雙曲a 2b22,)線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是2 P 是雙曲線x2y22222上9161 的右支上一點(diǎn)， M、N分別是圓 ( x 5) y 4和 ( x 5) y 1的點(diǎn)，則 |PM| |PN| 的最大值為 73拋物線 y

4、=-x 2 上的點(diǎn)到直線4x+3y-8=0 距離的最小值是434已知拋物線y2=4, 過點(diǎn)(4,0)的直線與拋物線相交于1122)兩點(diǎn)，則y12+22xPA(x,y ),B(x,yy的最小值是32.5已知點(diǎn) M(-2， 0) ， N(2,0)，動(dòng)點(diǎn) P滿足條件 |PM | |PN | 22 . 記動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡為 W.（）求的方程；Wuuuruuur（）若A B是WO是坐標(biāo)原點(diǎn)，求OA OB的最小值 .，上的不同兩點(diǎn)，解：（）依題意，點(diǎn)P的軌跡是以 M， N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，所求方程為： x2y2 （ x 0）221（）當(dāng)直線 AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為 x x0，x022

5、）， B（x0，uuuruuur此時(shí) A（ x0，x022 ）， OA OB 2當(dāng)直線 AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為 ykx b，代入雙曲線方程x 2y2222221 中，得： (1 k) x 2kbx b 2 0依題意可知方程A( x, y), B( x , y ) ，則1 有兩個(gè)不相等的正數(shù)根，設(shè)11224k 2b24(1x1x22kb1k 2x1x2b22k20uuur1uuurk 2 ) ? ( b22)00解得 | k|1，又 OA OB x1x2 y1y2 x1 x2（ kx1 b）（ kx2 b）（22 2k 2 2 241 k ）x1x2 kb（ x1x2） b 2uu

6、uruuurk 21k 21綜上可知 OA OB 的最小值為 2【典型示例】求拋物線 yx2 上的點(diǎn)到直線4x3y 80 距離的最小值 ?2分析一：設(shè)拋物線上任一點(diǎn)坐標(biāo)為P( x0 ,-x0 ) ，28 | = 3( x0由點(diǎn)到直線的距離公式得P 到直線的距離 d( x0 )= | 4x03 x02 時(shí)， d(4 ,5當(dāng) x0 =x0 ) 取得最大值332分析二：設(shè)拋物線上點(diǎn)P( x0 ,-x0 ) 到直線 4x+3y-8=0 距離最小，則過 P 且與拋物線相切的直線與4x+3y-8=0平行，故 y ' ( x0 )=-2x0 =-4 , x0 = 2 , P( 2 ,- 4 ),33

7、39| 423 （4） 8|此時(shí) d=394， .5=3分析三：設(shè)直線方程為4x+3y+C=0則當(dāng) l與拋物線相切時(shí)l 與 4x+3y-8=0 間的距離為所求最小，由 y2 c=- 4 , 此時(shí)x得 4x-3x 2+C=0， =16+12C=0,4x3 yC03| 8 （4）|4d=5332 ) 2204335，3【分類解析】例 1: 已知橢圓 x2y21 ， A（ 4， 0）， B（ 2， 2）是橢圓內(nèi)的兩點(diǎn)，P 是橢圓上任一點(diǎn)，求： （ 1）259求 5 | PA | | PB |的最小值；（ 2）求 | PA | | PB |的最小值和最大值4分析：（1） A 為橢圓的右焦點(diǎn)。作 PQ右

8、準(zhǔn)線于點(diǎn) Q，| PA|4則由橢圓的第二定義e，|PQ |55 |PA| |PB| |PQ| |PB|，4顯然點(diǎn) P 應(yīng)是過 B 向右準(zhǔn)線作垂線與橢圓的交點(diǎn)，最小值 為17 。4（ 2）由橢圓的第一定義，設(shè)C 為橢圓的左焦點(diǎn)，則 | PA | 2a | PC | | PA |PB| PA | 2a | PC | 10 (| PB |PC |)，根據(jù)三角形中兩邊之差小于第三邊，當(dāng)P 運(yùn)動(dòng)到與B、 C 成一條直線時(shí)，便可取得最大和最小值。當(dāng) P到 P"位置時(shí)， |PB | PC | |BC |，|PA | PB |有最大值，最大值為 10|BC | 102 10 ；當(dāng)P到P'位置

9、時(shí)，|PB|PC|BC|， |PA|PB|有最小值，最小值為10|BC| 102 10.（數(shù)形結(jié)合思想、橢圓定義、最值問題的結(jié)合）變式 :yA點(diǎn) A（ 3，2）為定點(diǎn)，點(diǎn)F 是拋物線 y2=4x 的焦點(diǎn)，點(diǎn) P在拋物線y2=4 上移動(dòng)，若|PA|+|PF|x取得最小值，求點(diǎn)P 的坐標(biāo)。dP解：拋物線y2=4x 的準(zhǔn)線方程為x=- 1，設(shè) P 到準(zhǔn)線的距離為 d，則 |PA|+|PF| =| PA|+ d。要使 |PA|+|PF| 取得最小值，由圖3 可知過A 點(diǎn)的直線與準(zhǔn)線垂直時(shí)，|PA|+|PF|取得最小值，把2y=OFX=1x代入 y2=4x，得 P（1， 2）。例 2: 已知橢圓的中心在

10、 O,右焦點(diǎn)為 F，右準(zhǔn)線為 L，若在 L 上存在點(diǎn) M，使線段 OM的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn) F，求橢圓的離心率 e 的取值范圍 ?解：如果注意到形助數(shù)的特點(diǎn)，借助平面幾何知識(shí)的最值構(gòu)建使問題簡(jiǎn)單化，由于線段OM的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)F，則 MFOFc, 利用平面幾何折線段大于或等于直線段（中心到準(zhǔn)線之間的距2離），則有 2 c ae 2 ，c2橢圓的離心率 e 的取值范圍橢圓的離心率e 的取值范圍為2,12變式 1:已知雙曲線x2y21,( a0, b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F、F ，點(diǎn) P在雙曲線的右支上，a2b212且 | PF|=4| PF|, 求此雙曲線的離心率e 的最大值 ?12解：雙曲線的

11、離心率e 的最大值為 53變式 2:已知橢圓方程為x 2y 21，（0ab）的左、右焦點(diǎn)分別為1、 2，點(diǎn)P在為橢圓a 2b2F F上的任意一點(diǎn)，且 | PF1|=4|PF2|,求此橢圓的離心率e 的最小值 ?解：橢圓的離心率e 的最小值為 3522x2y21上移動(dòng) , 試求 |PQ|的最大值。例 3: 已知 P 點(diǎn)在圓 x+( y-2) =1 上移動(dòng)， Q點(diǎn)在橢圓9解：故先讓 Q點(diǎn)在橢圓上固定，顯然當(dāng)PQ通過圓心 O1 時(shí) |PQ|最大，因此要求 | PQ|的最大值，11222只要求 | OQ| 的最大值 . 設(shè) Q( x， y) ，則 | OQ| = x+( y-4)因 Q在橢圓上 , 則

12、 x2=9(1- y2)2將代入得 | O1Q| 2=9(1-y2)+(y-4) 28y1272因?yàn)?Q在橢圓上移動(dòng)，所以- 1y 1，故當(dāng)y1時(shí)，13 32OQ max此時(shí) PQ max3 31【點(diǎn)晴 】 1. 與圓有關(guān)的最值問題往往與圓心有關(guān)；2. 函數(shù)法是我們探求解析幾何最值問題的首選方法，其中所涉及到的函數(shù)最常見的有二次函數(shù)等，值得注意的是函數(shù)自變量取值范圍的考察不能被忽視。變式1:設(shè) P是橢圓x2a2+ y 2 = 1 (a > 1 )短軸的一個(gè)端點(diǎn),Q為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求|PQ|的最大值.解法1:依題意可設(shè)P(0, 1 ),Q(x , y),則|PQ| =x2( y1)2.

13、又因?yàn)镼在橢圓上,所以x2= a2(1y2) .|PQ |2=a2(1y2) +y2 2y+ 1= (1a 2 )y 2 2y+ 1 +a2= (1a2 )( y1 2)2112+1+a2 .y | 1,a > 1,1aa因?yàn)?|若 a 2 ,則1 1,當(dāng) y =1時(shí) , |PQ|取最大值a2a 21;1a21a2a21若 1<a <2,則當(dāng) y = 1時(shí) , |PQ|取最大值 2 .解法 2:設(shè) P(0, 1 ),Q (a cos,sin),則|PQ |2=a2cos2+(sin1)2= (1a 2 ) sin 2 2sin+ a2 + 1= (1a2 )(sin1121+

14、a2+ 1.a 2 )1a2注意到 |sin| 1,a > 1.以下的討論與解法1相同.變式 2: 已知 OFQ的面積為 26uuuruuurm， OFFQ（1）設(shè)6m 46 ，求OFQ正切值的取值范圍；（2）設(shè)以為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（如圖），uuur62當(dāng)uuurOQ| OF | c, m (41)c|OQ|取得最小值時(shí)，求此雙曲線的方程。解析：（ 1）設(shè) OFQ=uuuruuur)m| OF | | FQ | cos(461uuuruuurtan26m2|OF | | FQ |sinQ 6m 464tan1（ 2）設(shè)所求的雙曲線方程為x2y2uuurc, y1 )a2b21

15、( a 0, b 0), Q (x1, y1 ), 則 FQ ( x1uuur S146OFQ|OF | | y | 2 6 ， y121cuuuruuuruuuruuur61 c2又 OFFQm ， OFFQ(c,0)( x1c, y1 ) ( x1c)c (uuur46 c,x12y12963c2x1|OQ|12.4uuurc28當(dāng)且僅當(dāng) c=4 時(shí)， | OQ | 最小，此時(shí) Q的坐標(biāo)是 (6,6)或(6,6)661a24x2y21.a2b2b2，所求方程為a221612412b【精要?dú)w納】圓錐曲線的最值問題，常用以下方法解決：（1）當(dāng)題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，可考慮利用

16、數(shù)形結(jié)合法解；（2）范圍實(shí)質(zhì)為一個(gè)不等式關(guān)系，如何構(gòu)建這種不等關(guān)系？例 2 中可以利用方程和垂直平分線性質(zhì)構(gòu)建。 利用題設(shè)和平面幾何知識(shí)的最值構(gòu)建不等式往往使問題簡(jiǎn)單化， 回味本題的探究過程，認(rèn)識(shí)解析幾何中“形助數(shù)”簡(jiǎn)化運(yùn)算的途徑。（3）. 函數(shù)法是我們探求解析幾何最值問題的首選方法，其中所涉及到的函數(shù)最常見的有二次函數(shù)等，值得注意的是函數(shù)自變量取值范圍的考察不能被忽視。（ 4）利用代數(shù)基本不等式，結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性。【課后訓(xùn)練】1已知 P 是橢圓 x2y21在第一象限內(nèi)的點(diǎn)， A（ 2， 0），B（ 0， 1）， O 為原點(diǎn)，求四邊形4OAPB的面積的最大值22給定點(diǎn) A(-

17、2,2) ，已知 B 是橢圓 x2y21 上的動(dòng)點(diǎn)， F 是右焦點(diǎn)，當(dāng) AB5BF 取得25163最小值時(shí)，則 B點(diǎn)的坐標(biāo)為。 (53 ,2)23拋物線 y2=2x 上到直線 x-y +3=0 距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)為_ (1 ，1）4如圖，已知 A、 B是橢圓 x2y221的兩個(gè)頂點(diǎn)，169C、 D是橢圓上兩點(diǎn)，且分別在AB兩側(cè)，則四邊形ABCD面積的最大值是 _ 12 25 如圖所示，設(shè)點(diǎn) F1 ， F2x2y21的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F2 的直線與橢圓相交于A、B 兩點(diǎn)，是23求 F1 AB 的面積的最大值，并求出此時(shí)直線的方程。解：SVF ABSVF F A SVF1F2B，設(shè)A( x1 , y1

18、 )，B( x2 , y2 )，則112SVF1AB1y2 | | y1Q| F1F2 | | y1y2 | ( c 1)2設(shè)直線AB的方程為x ky1代入橢圓方程得(2k 23) y24ky 40y1y24k,y1 y22k 242k233421)43即 | y1y2 |3(k2k2312k21k 21令 tk 211， SVF AB43， 2t1（ t 1）利用均值不等式不能區(qū)取“”12t1tt利用 f (t)1（ t1）的單調(diào)性易得在t1時(shí)取最小值2ttSV F AB 在 t1即 k0 時(shí)取最大值為4 3 ，此時(shí)直線 AB 的方程為 x 11326 P 、Q、M、N 四點(diǎn)都在橢圓x2y1

19、上， F 為橢圓在 y 軸正半軸上的焦點(diǎn)。 已知 PF 與 FQ 共2線， MF 與 FN 共線，且 PF · MF0 。求四邊形 PMQN的面積的最小值和最大值。分析：顯然，我們只要把面積表示為一個(gè)變量的函數(shù)，然后求函數(shù)的最值即可。解：如圖，由條件知MN和 PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點(diǎn)F（ 0，1），且 PQ MN，直線 PQ、MN中至少有一條存在斜率，不妨設(shè)PQ的斜率為 k，又 PQ過點(diǎn) F（0， 1），故 PQ方程為 y kx 1。代入橢圓方程得2k 2x22 kx10設(shè) P、 Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為x1 ， y1， x2 ， y2，則：22 ，x22x1k2kk22k22k 2