1、微積分初步形成性考核作業（一）解答函數，極限和連續一、填空題（每小題2 分，共20 分）1函數 f (x)1的定義域是ln( x2)ln( x2)0，x3所以函數f ( x)1的定義域是 ( 2,3) (3,)解： 202ln( xxx2)2函數 f (x)1的定義域是5x解： 5 x0 ， x5所以函數 f ( x)1的定義域是 (,5)5 x3函數 f (x)12)4x 2 的定義域是ln( xln( x2)0x11解：x20，x2所以函數 f ( x)4 x2的定義域是 (2,1) ( 1,24x202x2ln( x 2)4函數 f (x 1)x 22 x7 ，則 f (x)解： f (

2、x1)x22x7x22x 1 6( x1) 26所以 f (x)x 265函數 f ( x)x 22x0 ，則 f (0)解： f (0)022 2exx06函數 f ( x 1)x 22x，則 f (x)解： f (x 1)x22xx22x 1 1 ( x 1) 21 ， f ( x)x217函數 yx22x3x1的間斷點是解：因為當 x10 ，即 x1時函數無意義所以函數 yx22x3x1x 1的間斷點是11sin 18lim x sinlimx1x解： lim xsin1xxxxsin 4xx9若2 ，則 klimx0 sin kx1sin 4x4sin 4x4解： 因為 lim4x2所

3、以 k2sin kxlimsin kxkx0k x010若 lim sin 3xkx2，則 kx 0kx解：因為 lim sim3x3 lim sim3x32所以 k3x 0kxk x03xk2二、單項選擇題（每小題2 分，共24 分）1設函數 ye x2ex，則該函數是（）A 奇函數B偶函數C非奇非偶函數D 既奇又偶函數解：因為 y(x)e ( x)e xexe xy所以函數 ye xex是偶函數。故應選B2222設函數 yx 2 sin x ，則該函數是（）A 奇函數B偶函數C非奇非偶函數D 既奇又偶函數解：因為 y(x)(x)2 sin(x)x2 sin xy所以函數 yx 2 sin

4、x 是奇函數。故應選 A3函數 f ( x)2 x2 x的圖形是關于（）對稱x2Ay xB x 軸Cy軸D坐標原點解：因為 f (x)(x)2 x2( x)x 2x2xf ( x)所以函數 f (x) x 2x2x是奇函數222從而函數 f ( x)x 2x2 x的圖形是關于坐標原點對稱的因此應選 D24下列函數中為奇函數是（）A xsin xB ln xC ln( x1x 2 )D xx2解：應選 C5函數 y1ln( x5) 的定義域為（）x4A 解：x5B x40，x50x4 C x 5 且 x 0D x5 且 x 4x4x，所以應選 D56函數 f (x)1）的定義域是（ln( x 1

5、)A (1, )B (0,1) (1, )C (0,2) ( 2, ) D (1,2) (2, )2ln( x1)0x2，函數 f ( x)1的定義域是 (1,2)(2,) ，故應選 D解：x10，1xln( x 1)7設 f ( x 1)x 21，則 f ( x)（）A x( x 1)B x 2C x(x 2)D ( x 2)( x 1)解： f (x1)x21 (x 1)( x1)( x1)( x1)2f (x)x( x2) ，故應選 C8下列各函數對中， （）中的兩個函數相等A f (x) ( x )2 ， g ( x)xB f ( x)x 2， g( x)xC f ( x) ln x2

6、 ， g( x) 2 ln xD f ( x) ln x3 ， g( x) 3ln x解：兩個函數相等必須滿足定義域相同函數表達式相同，所以應選D9當 x0 時，下列變量中為無窮小量的是（） .1Bsin xC ln(1 x)xA xD xlim ln(1x0x2解：因為) 0，所以當時， ln(1 x) 為無窮小量，所以應選 Cx0x10當 k（）時，函數 f (x)x 21,x0k,x，在 x 0 處連續 .0A 0B 1C 2D 1解：因為 limf ( x)lim ( x21)1， f (0)kx0x 0若函數 f (x)x 21,x00 處連續，則 f (0)lim f (x) ，因

7、此 k 1 。故應選 B，在 xk,x0x 011當 k（）時，函數 f ( x)ex2,x0在 x 0 處連續 .k,x0A 0B 1C 2D 3解： kf (0)limf (x)lim (ex2)3 ，所以應選 Dx0x012函數 f ( x)x 3的間斷點是（）x23x2A x 1, x2B x3C x1, x2, x3D無間斷點解：當 x1, x2 時分母為零，因此x1, x2 是間斷點，故應選A三、解答題（每小題7 分，共56 分）計算極限 limx 223x2 x2x43解： limx 2x 23x2lim( x1)( x2)lim x11x 24x 2 ( x 2)( x 2)x

8、 2 x 2 42計算極限 lim x 225x6x1x1解： limx25x 6lim( x 1)( x 6)x 67x21lim2x 1x 1 ( x 1)( x 1)x 1 x 13 limx292 x3x 3 x 2解： limx 29lim ( x3)( x3)lim x363x 3 x 22x 3x 3 ( x 1)( x 3)x 3 x 1 4 24計算極限 lim x 26x8x4 x 25x4解： limx 26x8lim ( x2)( x4)lim x22x 4 x25x 4x 4 ( x 1)( x 4)x 4 x 135計算極限 limx 26x8 x2x 25x6解：

9、 limx 26x8lim ( x2)( x4)lim x42x 2 x 25x 6x 2 ( x 2)( x 3)x 2 x36計算極限 lim1x1 x0x解： lim1 x 1lim( 1 x 1)( 1 x 1)limxxx 0x 0x( 1 x 1)x 0 x( 1 x 1)lim111x12x07計算極限 lim1x1sin 4xx0解： lim1x1lim (1x1)(1x 1)x 0sin 4xx 0sin 4x(1x1)limxx1)1 limsin 4x11x0 sin 4x(14 x 01 x1)8(4x48計算極限 limsin 4xx 0x 42解： limsin 4

10、xsin 4x(x42)x 4 2lim42)(x4 2)x 0x 0 ( xlim sin 4x(x42)4 lim sin 4x ( x 4 2) 16x0xx 04x微積分初步形成性考核作業（二）解答（除選擇題）導數、微分及應用一、填空題（每小題2 分，共 20 分）1曲線 f (x)x 1在 (1,2)點的斜率是1，斜率 k1解： f ( x)xf (1)222曲線 f ( x)ex 在 (0,1) 點的切線方程是解： f ( x) ex，斜率 k f(0) e01所以曲線 f ( x) ex 在 (0,1) 點的切線方程是： yx 113曲線 yx 2 在點 (1, 1)處的切線方程

11、是3解： y1 x 2，斜率 ky x 11 x2232x 1121所以曲線 yx 2在點 (1, 1) 處的切線方程是：y11 ( x 1) ，即： x 2 y 3 024 (2x) 解：(2x)2x12 xln 22ln 22xx5若 y = x (x 1)(x 2)( x 3)，則 y(0) =解： y (0)( 1)( 2)(3)66已知 f (x)x33x ，則 f (3) =解： f ( x)3x23x ln 3 ， f (3)2727 ln 37已知 f ( x)ln x ，則 f(x) =解： f ( x)1( x)1， fx 2x8若 f ( x)xe x ，則 f(0)解：

12、 f( x) e xxe x ， f ( x)e x( e xxe x )2e xxe x ，f (0)259函數 y3( x 1) 2 的單調增加區間是解： y6( x1)0， x1，所以函數 y3( x 1)2的單調增加區間是 1,)10函數 f ( x)ax21在區間 (0,) 內單調增加，則a 應滿足解： f( x)2ax0 ，而 x0，所以 a0二、單項選擇題（每小題2 分，共24 分）1函數 y(x1)2在區間 (2,2)是（ D）A 單調增加B單調減少C先增后減D先減后增2滿足方程f( x)0的點一定是函數yf ( x) 的（C） .A 極值點B 最值點C駐點D 間斷點3若 f

13、( x)ex cos x ，則 f(0)=（C）A . 2B. 1C. -1D. -24設 ylg2 x ，則 d y（B）A 1dxB1dxC ln10 dxD1dx2xx ln10xx5設 yf (x) 是可微函數，則 df (cos 2x)（ D）A 2 f (cos 2x)dxB f (cos 2x)sin 2xd2xC 2 f(cos 2x) sin 2xdxD f (cos 2x) sin 2xd2x6曲線 ye2 x1在 x2 處切線的斜率是（C ）A e4B e2C 2e4D 27若 f ( x)x cos x ，則f ( x)（C）A 8若cosxxsin xB cosx x

14、 sin xC2 sin xx cosx D 2 sin x xcos xf ( x)sin xa3 ，其中 a 是常數，則f ( x)（ C）A cos x 3a2B sin x 6aC sin xD cos x9下列結論中（B ）不正確A f ( x) 在 xx0 處連續，則一定在x0 處可微 .B f ( x) 在 xx0 處不連續，則一定在 x0 處不可導 .C可導函數的極值點一定發生在其駐點上.D 若 f (x) 在 a， b 內恒有 f ( x)0 ，則在 a， b內函數是單調下降的 .10若函數 f (x)在點 x0 處可導，則 ( B)是錯誤的6A 函數 f (x)在點 x0處

15、有定義B lim f ( x)A，但 A f ( x0 )xx0C函數 f (x) 在點 x0處連續D函數 f (x)在點 x0處可微11下列函數在指定區間(,) 上單調增加的是（B）A sinxB e xC x 2D 3 - x12. 下列結論正確的有（A）A x0 是 f (x) 的極值點，且f( x0)存在，則必有f (x0 ) = 0B x0 是 f ( x)的極值點，則x0 必是 f (x)的駐點C若 f( x0) = 0 ，則 x0 必是 f (x) 的極值點D使 f ( x) 不存在的點 x0，一定是 f (x) 的極值點三、解答題（每小題7 分，共56 分）1設 yx2 e x

16、 ，求 y 111解： y 2xe xx 2 ex () 2xex22設 y sin 4 xcos3x，求 y .111xe x( 2x1)e x解： y4 cos4 x 3cos2x sin x3設 ye x 11 ，求 y .x解： y21e x 11x1x 24設 yxxln cos x ，求 y .解： y3xsin x3 x tan x2cosx25設 yy( x) 是由方程 x2y 2xy4 確定的隱函數，求dy .解：兩邊微分：2xdx2ydy ( ydx xdy) 02 ydyxdyydx2xdxdyy 2 x dx2 yx6設 yy( x) 是由方程 x2y 22xy1確定的

17、隱函數，求dy .解：兩邊對 x 2y 22xy1 求導，得：2x 2 yy2( yxy ) 0x yyy xy0 ， ( x y) y(x y) ， y1dyy dxdx77設 y y( x) 是由方程 exxe yx24 確定的隱函數，求 dy .解：兩邊微分，得：ex dxey dxxe ydy 2xdx0xey dy(exe y2x) dx ， dyexey2 x dxxe y8設 cos( xy)ey1，求 dy 解：兩邊對 cos( xy)ey1 求導，得：(1y ) sin( xy)y ey0sin( xy)y sin( xy)y ey0eysin( xy) ysin( xy)y

18、sin( xy)eysin( xy)dyy dxsin( xy)dxeysin( xy)微積分初步形成性考核作業（三）解答（填空題除外）不定積分，極值應用問題一、填空題（每小題2 分，共 20 分）1若f (x) 的一個原函數為ln x 2 ，則 f ( x)x ln x22xc。2若f (x) 的一個原函數為xe 2x ，則 f (x)4e 2x。3若f ( x)dxxexc ，則 f ( x)1x ex4若f ( x)dxsin 2xc ，則 f ( x)2cos2x5若f ( x)dxx ln xc ，則 f ( x)1x6若f ( x)dxcos2 xc ，則 f ( x)4cos2

19、x7 d e x2 dxe x2 dx8(sin x) dxsin xc9若f ( x)dxF (x)c ，則f (2x3)dx1 F2 x3c21 F10若 f ( x)dxF( x)c ，則 xf (1x 2 )dx1x2c28二、單項選擇題（每小題2 分，共16 分）1下列等式成立的是（）A df ( x)dx f ( x)Bf ( x)dxf (x)C df ( x)dxf (x)Ddf (x)f (x)dx解：應選 A2若f ( x)dx x2 e2 xc ，則 f ( x)（） .A.2xe2 x (1x)B.2x2 e2 xC. 2 xe2 xD.xe2 x解：兩邊同時求導，得：

20、f ( x)2xe2 x2x 2e2 x2xe2 x (1x) ，所以應選 A若 f ( x)xx( x0)，則f ( x)dx（）.3A.xxcB. x2xcC.x 23x 23cD.1 x22 x23c解：應選 A2234以下計算正確的是（）A 3x dxd3xBdxd(1 x 2 )C dxd x D ln xdx d( 1 )ln 31 x2xx解：應選A5xf( x) dx（）A. xf ( x)f ( x)cB.xf(x)cC.1 x 2 f(x)cD.( x1) f ( x) c2解：xf( x)dxxdf( x)xf (x)f (x)dx xf ( x) f ( x)c ，所以

21、應選 A6 da 2 x dx =（）A a 2 xB2a 2 x ln adxC a 2 xdxD a 2x dxc解：應選 C7 da 2 x dx =（）A a 2 xB2a2x ln adxC a 2 x dxD a 2 xdxc解： a2 x 先積分，再微分，導致a 2 x 不變，后面再添上dx 即可，故應選 C118如果等式f ( x)e x dxe xC ，則 f ( x)（）A.1B.11D.1xx2C.x 2x1111解：兩邊求導，得：f ( x)e xe x，所以f ( x)，故應選 Bx2x2三、計算題（每小題7 分，共 35 分）13x3x sin x dxx9解：3x

22、3xsin x dx31dxxdxsin xdxxx33 ln x2 x 2cos xc32解：(2x1)10 dx( 2x1)10dx1( 2x 1)10 d (2x 1)11( 2x 1)10 1c221013解：4解：1 ( 2x 1)11221sinxx 2dx1sinxx 2 dxxsin 2xdxx sin 2xdx1 x cos2x2c111sind()coscxxx11xd cos2x(x cos2x cos2 xdx)221 sin 2 xc45xe x dx解：xe x dxxde x(xe xe xdx)xe x e x c四、極值應用題（每小題12 分，共 24 分）1

23、設矩形的周長為120 厘米，以矩形的一邊為軸旋轉一周得一圓柱體。試求矩形的邊長為多少時，才能使圓柱體的體積最大。解：設矩形的一邊長為x 厘米，則另一邊長為60x 厘米，以 60x 厘米的邊為軸旋轉一周得一圓柱體，則體積V為：Vx2 (60x) ，即： V60 x2x3dV120 x3 x2 ，令 dV0 ，得：dxdxx0 （不合題意，舍去） ， x40 ，這時 60x20由于根據實際問題，有最大體積，故當矩形的一邊長為40 厘米、另一邊長為60 厘米時，才能使圓柱體的體積最大。2欲用圍墻圍成面積為216 平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長和寬選取多大尺寸，才能使所用建筑材料最?。拷猓涸O矩形的長為x 米，則矩形的寬為216 米，從而所用建筑材料為：xL2x3 216 ，即： L2x648xx10dL2648 ，令 dL0 得： x18 （取正值），這時 21612dxx2dxx由于根據實際問題，確實有最小值，故當矩形的長為18米，寬為 12米時，才能使所用建筑材料最省五、證明題