1、電動力學習題解答電動力學答案2.設 u 是空間坐標x, y, z 的函數，證明：第一章電磁現象的普遍規律f (u)dfu，A(u)u dA，dudAduA(u)udu1.根據算符的微分性與向量性，推導下列公式：證明：(AB) B (A)(B )AA(B)(A) BA(A)1A2(A )A2第1頁電動力學習題解答3.設 r( xx') 2( yy') 2(zz') 2 為源點 x ' 到場點 x的距離， r 的方向規定為從源點指向場點。（ 1）證明下列結果，并體會對源變量求微商與對場變量求微商的關系：r'rr / r ；(1/ r )' (1/ r

2、 )r / r 3 ；(r / r 3 )0 ；( r / r 3 )' (r / r 3 )0 ，( r0) 。（ 2 ） 求r，r， (a)r，(a r )， E 0 sin( k r ) 及 E 0 sin( k r ) ，其中 a 、 k 及 E 0 均為常向量。4. 應用高斯定理證明dVfdS f ，應用斯托克斯VS（Stokes）定理證明dSdlSL第2頁電動力學習題解答5. 已知一個電荷系統的偶極矩定義為p(t )( x ', t)x' dV ' ，6. 若 m 是常向量， 證明除 R0 點以外，向量 A （ m R ）/ R3V的旋度等于標量m

3、R / R3 的 梯 度 的 負 值 ， 即利用電荷守恒定律J0 證明p 的變化率為：A，其中 R 為坐標原點到場點的距離，方向由原t點指向場點。dpJ ( x ' ,t )dVdtV第3頁電動力學習題解答7.有一內外半徑分別為r1 和 r2 的空心介質球，介質的電容率為，使介質球內均勻帶靜止自由電荷f ，求：（1）空間各點的電場；（ 2）極化體電荷和極化面電荷分布。9. 證明均勻介質內部的體極化電荷密度p 總是等于體自由電荷密度f 的 (10/ )倍。8. 內外半徑分別為 r1 和 r2 的無窮長中空導體圓柱，沿軸向流有恒定均勻自由電流J f ，導體的磁導率為，求磁感應強度和磁化電流

4、。第4頁電動力學習題解答10. 證明兩個閉合的恒定電流圈之間的相互作用力大小相等方向11. 平行板電容器內有兩層介質，它們的厚度分別為l1 和 l 2 ，電相反 ( 但兩個電流元之間容率為 1和 2 ，今在兩板接上電動勢為E的電池，求： （ 1）的相互作用力一般并不服從牛頓第三定律)電容器兩極板上的自由電荷面密度f 1和f 2 ；（ 2）介質分界面上的自由電荷面密度f 3 。 ( 若介質是漏電的，電導率分別為1 和 2 當電流達到恒定時，上述兩物體的結果如何？ )第5頁電動力學習題解答12.證明：13.試用邊值關系證明：在絕緣介質與導體的分界面上，在靜電情（1）當兩種絕緣介質的分界面上不帶面自

5、由電荷時，電場線的況下，導體外的電場線總是垂直于導體表面；在恒定電流情況曲折滿足下，導體內電場線總是平行于導體表面。tantan2 21 1其中1 和 2 分別為兩種介質的介電常數，1和2 分別為界面兩側電場線與法線的夾角。（ 2）當兩種導電介質內流有恒定電流時， 分界面上電場線的曲折滿足tantan2 21 1其中1 和2 分別為兩種介質的電導率。第6頁電動力學習題解答14.內外半徑分別為 a 和 b 的無限長圓柱形電容器，單位長度荷電第二章靜電場為 f ，板間填充電導率為的非磁性物質。1.一個半徑為 R 的電介質球，極化強度為 PKr / r2，電容率（1）證明在介質中任何一點傳導電流與位

6、移電流嚴格抵消，因為。此內部無磁場。（1）計算束縛電荷的體密度和面密度：（2）求 f 隨時間的衰減規律。（2）計算自由電荷體密度；（3）求與軸相距為 r 的地方的能量耗散功率密度。（3）計算球外和球內的電勢；（4）求長度 l 的一段介質總的能量耗散功率，并證明它等于這（4）求該帶電介質球產生的靜電場總能量。段的靜電能減少率。第7頁電動力學習題解答2. 在均勻外電場中置入半徑為 R0 的導體球，試用分離變量法求下列兩種情況的電勢： （ 1）導體球上接有電池，使球與地保持電勢差0 ；（ 2）導體球上帶總電荷Q4. 均勻介質球 （電容率為1）的中心置一自由電偶極子p f ，球外充滿了另一種介質（電容

7、率為2 ），求空間各點的電勢和極化電荷分布。3.均勻介質球的中心置一點電荷Q f ，球的電容率為，球外為真空，試用分離變量法求空間電勢，把結果與使用高斯定理所得結果比較。提示：空間各點的電勢是點電荷Q f 的電勢 Q f / 4R 與球面上的極化電荷所產生的電勢的迭加，后者滿足拉普拉斯方程。第8頁電動力學習題解答5. 空心導體球殼的內外半徑為 R1 和 R2 ，球中心置一偶極子 p 球殼上帶電 Q ，求空間各點的電勢和電荷分布。7. 在一很大的電解槽中充滿電導率為2 的液體，使其中流著均勻的電流 Jf0。今在液體中置入一個電導率為1 的小球， 求穩恒時電流分布和面電荷分布， 討論12 及21兩

8、種情況的電流分布的特點。6.在均勻外電場E 0 中置入一帶均勻自由電荷f 的絕緣介質球（電容率為），求空間各點的電勢。第9頁電動力學習題解答8. 半徑為 R0 的導體球外充滿均勻絕緣介質，導體球接地，離9.R1 和 R2 ，在球內離球心為a 處 (a球心為 a 處（ a > R0 ）置一點電荷 Q f ，試用分離變量法求空接地的空心導體球的內外半徑為< R1 )置一點電荷Q 。用鏡像法求電勢。導體球上的感應電荷有多間各點電勢，證明所得結果與電象法結果相同。(RR0)少？分布在內表面還是外表面？PR'R1ROQQ'第10頁電動力學習題解答10. 上題的導體球殼不接地，

9、而是帶總電荷Q0 ，或使具有確定電勢 0 ，試求這兩種情況的電勢。 又問 0 與 Q0 是何種關系時，兩情況的解是相等的？11. 在接地的導體平面上有一半徑為 a的半球凸部（如圖），半球的球心在導體平面上， 點電荷 Q位于系統的對稱軸上， 并與平面相距為 b（ b>a），試用電象法求空間電勢。zQaQ( x0,a,b)(x0 , a, b)byQQ(x0, a, b)( x0 , a, b)第11頁電動力學習題解答12. 有一點電荷 Q位于兩個互相垂直的接地導體平面所充滿電導率為 的液體。取該兩平面為xz面和 yz面在圍成的直角空間內， 它到兩個平面的距離為a和 b，求空間( x0 ,

10、y0 , z0 ) 和 ( x0 , y0 ,z0 ) 兩點分別置正負電極并通以電流電勢。I，求導電液體中的電勢。Q ( x 0 , y0 , z0 ) zQ ( x0 , y0 , z0 )Q ( x0 , y 0 , z0 )Q( x0 , y 0 , z0 )oyxQ( x0 , y0 , z0 )Q( x0 , y0 , z0 )Q (x 0 , y0 , z0 )Q( x0 , y0 , z0 )zA(x0 , y0 , z0 )oyxB( x0 , y0 , z0 )13. 設有兩平面圍成的直角形無窮容器，其內第12頁電動力學習題解答14. 畫出函數 d( x) / dx 的圖，說

11、明( p) ( x ) 是一個位15. 證明：（ 1）(ax)( x) / a(a0) ，（若 a0 ，結果于原點的偶極子的電荷密度。如何？）（ 2） x(x)0d ( x) dxox第13頁電動力學習題解答16. 一塊極化介質的極化矢量為 P( x ' ) ，根據偶極子靜電勢的公式，極化介質所產生的靜電勢為P( x ' ) rdV '，另外4 0 r 3V根據極化電荷公式' P( x ' ) 及nP ，極化介17. 證明下述結果，并熟悉面電荷和面偶極層兩側電勢和電場的變化。（ 1）在面電荷兩側，電勢法向微商有躍變，而電勢是連續的。（ 2）在面偶極層兩側

12、，電勢有躍變21nP /0 ，而電pp質所產生的電勢又可表為' P( x' ) dV 'P ( x ') dS' ，試證明以上兩表達V 4 0 rS 4 0r式是等同的。勢的法向微商是連續的。（各帶等量正負面電荷密度zE±而靠的很近的兩個面， 形成面偶極層，而偶極矩密度Pliml ）l01x2SE第14頁電動力學習題解答18. 一個半徑為 R0 的球面，在球坐標0/ 2 的半球面上電勢為0在 /2的半球面上電勢為0，求空間各點電勢。提示：Pn ( x)dxPn 1 (x)Pn 1 ( x)11， Pn (1)102n100 , （ n 奇數）P

13、n (0)( 1)n / 2 1 35(n 1)偶數）24 6, （nn第三章靜磁場1.試用 A 表示一個沿 z 方向的均勻恒定磁場 B0 ，寫出 A 的兩種不同表示式，證明二者之差為無旋場。2. 均勻無窮長直圓柱形螺線管， 每單位長度線圈匝數為 n，電流強度 I ，試用唯一性定理求管內外磁感應強度B 。第15頁電動力學習題解答3. 設有無限長的線電流 I 沿 z 軸流動，在 z<0 空間充滿磁導率為的均勻介質， z> 0 區域為真空，試用唯一性定理求磁感應強度 B ，然后求出磁化電流分布。4.設 x< 0 半空間充滿磁導率為 的均勻介質， x> 0 空間為真空，今有線

14、電流 I 沿 z 軸流動，求磁感應強度和磁化電流分布。5. 某空間區域內有軸對稱磁場。 在柱坐標原點附近已知Bz B0C ( z22 / 2) ，其中 B0 為常量。試求該處的 B 。提示：用B0 ，并驗證所得結果滿足H 0 。第16頁電動力學習題解答6. 兩個半徑為 a 的同軸圓形線圈，位于 zL 面上。每個線圈7. 半徑為 a 的無限長圓柱導體上有恒定電流J 均勻分布于截面上載有同方向的電流 I。上，試解矢勢A 的微分方程。設導體的磁導率為0 ，導體（1）求軸線上的磁感應強度。外的磁導率為。（2）求在中心區域產生最接近于均勻常常時的L 和 a 的關系。提示：用條件2 Bz / z20第17

15、頁電動力學習題解答8. 假 設 存 在 磁 單 極 子 ， 其 磁 荷 為 Qm ， 它 的 磁 場 強 度 為3HQm r / 40 r 。給出它的矢勢的一個可能的表示式，并10. 有一個內外半徑為R1 和 R2 的空心球，位于均勻外磁場H 0內，球的磁導率為，求空腔內的場 B ，討論0 時的磁屏蔽作用。9.將一磁導率為，半徑為R0 的球體，放入均勻磁場H 0 內，求總磁感應強度B 和誘導磁矩m。(對比 P49 靜電場的例子。 )第18頁電動力學習題解答11. 設理想鐵磁體的磁化規律為BH0 M 0 ，其中 M 0 是恒13. 有一個均勻帶電的薄導體殼其半徑為R0 ，總電荷為 Q ，今使定的

16、與 H 無關的量。 今將一個理想鐵磁體做成的均勻磁化球球殼繞自身某一直徑以角速度轉動，求球內外的磁場B 。（ M 0 為常值）浸入磁導率為' 的無限介質中，求磁感應強提示：本題通過解A 或m 的方程都可以解決，也可以比較度和磁化電流分布。本題與 §5 例 2 的電流分布得到結果。12. 將上題的永磁球置入均勻外磁場H 0 中，結果如何？第19頁電動力學習題解答14. 電荷按體均勻分布的剛性小球，其總電荷為Q ，半徑為 R0 ，它以角速度繞自身某一直徑轉動，求（1）它的磁矩；（ 2）它的磁矩與自轉角動量之比（設質量M 0 是均勻分布的） 。15. 有一塊磁矩為 m 的小永磁體，

17、位于一塊磁導率非常大的實物的平坦界面附近的真空中，求作用在小永磁體上的力F 。第四章電磁波的傳播1.考慮兩列振幅相同、偏振方向相同、頻率分別為d和d的線偏振平面波，它們都沿z 軸方向傳播。（ 1）求合成波，證明波的振幅不是常數，而是一個波。（ 2）求合成波的相位傳播速度和振幅傳播速度。第20頁電動力學習題解答2. 一平面電磁波以45°從真空入射到 r2 的介質， 電場強4. 頻率為的電磁波在各向異性介質中傳播時，若E, D,B,H度垂直于入射面，求反射系數和折射系數。仍按 ei( k x t ) 變化，但 D 不再與 E 平行（即 DE 不成立）。（ 1 ） 證 明 k B k D

18、B D B E0，但一般k E0 。 k 2 E (k E)k /2（2）證明 D。（3）證明能流S 與波矢 k 一般不在同一方向上。3. 有一可見平面光波由水入射到空氣，入射角為 60°，證明這時將會發生全反射，并求折射波沿表面傳播的相速度和透入空氣的深度。設該波在空氣中的波長為0 6.28 10 5cm，水的折射率為 n=1.33。第21頁電動力學習題解答5. 有兩個頻率和振幅都相等的單色平面波沿z 軸傳播，一個波沿8. 平面電磁波由真空傾斜入射到導電介質表面上，入射角為 1 。x 方向偏振，另一個沿 y 方向偏振，但相位比前者超前2 ，求導電介質中電磁波的相速度和衰減長度。若導電介質為金屬，求合成撥的偏振。反之，一個圓偏振可以