1、勻變速直線運動的速度與位移的關系【學習目標】1、會推導公式v2-v(2=2ax2、掌握公式vt2-v2=2ax,并能靈活應用【要點梳理】要點一、勻變速直線運動的位移與速度的關系根據勻變速運動的基本公式Vt=v+at112.x=vo廿一at2消去時間t,得VV：=2ax.即為勻變速直線運動的速度一位移關系.要點詮釋：式是由勻變速運動的兩個基本關系式推導出來的，因為不含時間，所以若所研究的問題中不涉及時間這個物理量時利用該公式可以很方便，應優先采用.公式中四個矢量vt、v0、a、x也要規定統一的正方向.要點二、勻變速直線運動的四個基本公式(1)速度隨時間變化規律：vt=v0+at.12(2)位移隨

2、時間變化規律：x=v0t+at.2(3)速度與位移的關系：v2-v2=2ax.(4)平均速度公式：v=xv,x=v0一vt.22要點詮釋：運用基本公式求解時注意四個公式均為矢量式，應用時，要選取正方向.公式(1)中不涉及x,公式(2)中不涉及vt,公式(3)中不涉及t,公式(4)中不涉及a,抓住各公式特點，靈活選取公式求解.共涉及五個量，若知道三個量，可選取兩個公式求出另兩個量.要點三、勻變速直線運動的三個推論要點詮釋：(1)在連續相鄰的相等的時間(T)內的位移之差為一恒定值，即*=aT2(又稱勻變速直線運動的判別式).推證：設物體以初速vo、加速度a做勻加速直線運動，自計時起時間T內的位移_

3、1_2x1=v0T+-aT.2在第2個時間T內的位移I一1一2x2=v02T-a(2T)2-x1232=v0TaT.2即x=aT2.進一步推證可得xa 二:T2xn 1 - xnT2xn 2 -'xnxn .3 -xn2T23T2即vt2推證:vt= vo+at,知經上時間的瞬時速度2vt = v02aL2-X2-X1=X3-X2=-=Xn-Xn-1,據此可補上紙帶上缺少的長度數據.(2)某段時間內中間時刻的瞬時速度等于這段時間內的平均速度VoVt2由得at=5Vo,代入中，得1VtVoVoVtVt/2=Vo(Vt-Vo)=Vo一一二2222VoVt2(3)某段位移內中間位置的瞬時速度

4、Vx與這段位移的初、末速度Vo與Vt的關系為2Vx=J1(V2+Vt2).2'222推證：由速度位移公式mVo=2ax,.22知 Vx -Vo= 2aH.222將代入可得Vx2-V2="二的，即Vx222要點四、初速度為零的勻加速直線運動的幾個比例式要點詮釋：初速度為零的勻加速直線運動是一種特殊的勻變速直線運動，它自己有著特殊的規律，熟知這些規律對我們解決很多運動學問題很有幫助.設以t=o開始計時，以T為時間單位，則(1)1T末、2T末、3T末、瞬時速度之比為Vi：V2：V3：=1:2:3:可由Vt=at,直接導出(2)第一個T內，第二個T內，第三個T內，第n個T內的位移之比

5、為：X1：X2：X3：Xn=1：3：5：(2n1).1 2r12推證：由位移公式x=at得x1=aT,2 21 2123、x2=a(2T)aT=-a丁2 221 212x3a(3T)2-a(2T)22 252=aT2可見，X1:X2:X3:x=1:3:5:：-(2n即初速為零的勻加速直線運動，在連續相等的時間內位移的比等于連續奇數的比.222（3）1T內、2T內、3T內、位移之比為：X1：X2：x3:=1：2：3:，一一12可由公式x=at直接導出.2通過連續相同的位移所用時間之比tl：t2：t3：LL：nt=1C-1)式3r2*Wnn-.1)推證：由x=；at2知t1=J2x,通過第二段相同

6、位移所用時間2-1,）3=符一吁則t1：t2：t3：:tn=1：（夜-1）:（向-72）：，：（赤-Tn71）.要點五、紙帶問題的分析方法（1）位移差法”判斷運動情況，設時間間隔相等的相鄰點之間的位移分別為x1、x2、x3.若x2-x1=x3-x2="=xnxn/=0,則物體做勻速直線運動.若x2-x1=x3-x2=xn-xnJ=AxQ則物體做勻變速直線運動.（2）逐差法”求加速度，根據x4-x1=x5-x2=x6-x3=3aT2（T為相鄰兩計數點的時間間隔），有a1=2-'a2=2->a3=23T23T23T2然后取平均值，即aa2a3a二3_(x6,x5,x4)-(

7、x3,x2.x-29T2這樣使所給數據全部得到利用，以提高準確性.x值之差計算加速度，再求平均值可得:要點詮釋：如果不用逐差法”求，而用相鄰的-1a二一5X2-XiX3-X2X5-X4X6-X5I2'2'2'2T2T2T2T2比較可知，逐差法將紙帶上Xi到X6各實驗數據都利用了，而后一種方法只用上了Xi和X6兩個實驗數據，實驗結果只受Xi和X6兩個數據影響，算出a的偶然誤差較大.其實從上式可以看出，逐差法求平均加速度的實質是用(X6+X5+X4)這一大段位移減去(X3+X2+X1)這一大段位移，那么在處理紙帶時，可以測量出這兩大段位移代入上式計算加速度，但要注意分母(3

8、T)2而不是3T2.(3)瞬間速度的求法在勻變速直線運動中，物體在某段時間t內的平均速度與物體在這段時間的中間時刻工時的瞬時速度2相同，即vt=V.所以，第n個計數點的瞬時速度為:2VnXn.Xni2T(4)圖象法”求加速度，即由Vn=Xn求出多個點的速度，畫出2Tv-t圖象，直線的斜率即為加速度.【典型例題】類型一、公式Vt272=2ax的應用例1、一列從車站開出的火車，在平直軌道上做勻加速直線運動，已知這列火車的長度為某路標時的速度為Vi,而車尾經過這個路標時的速度為V2,求：(1)列車的加速度a;(2)列車中點經過此路標時的速度v;(3)整列火車通過此路標所用的時間t.2222【答案】(

9、i)a=R心(3)t=321-2v1V2【解析】火車的運動情況可以等效成一個質點做勻加速直線運動，某一時刻速度為變為V2,所求的V是經過-處的速度.其運動簡圖如圖所示.2l,當火車頭經過Vi,前進位移I,速度22(1)由勻變速直線運動的規律得V2-V2=2al,則火車的加速度為a=2-pL(2)火車的前一半通過此路標時，有V2-V2=2al_-,222I火車的后一半通過此路標時，有V2-V=2aL,2一.,2222所以有V-Vi=V2-V,2v1v2、l2l(3)火車的平均速度v=一2,故所用時間t=.2vv1v2【總結升華】對于不涉及運動時間的勻變速直線運動問題的求解，使用vt2-V2=2a

10、x可大大簡化解題過程.舉一反三【變式1】在風平浪靜的海面上，有一戰斗機要去執行一項緊急飛行任務，而航空母艦的彈射系統出了故障，無法在短時間內修復.已知飛機在跑道上加速時，可能產生的最大加速度為5m/s2,起飛速度為50m/s,跑道長為100m.經過計算發現在這些條件下飛機根本無法安全起飛.航空母艦不得不在海面上沿起飛方向運動，從而使飛機獲得初速度，達到安全起飛的目的，那么航空母艦行駛的速度至少為多大？【答案】18.4m/s【解析】若飛機從靜止起飛，經過跑道100m后，速度為v.由v2=2ax.知v=，2x5M100m/s=10/0m/s<50m/s.故航空母艦要沿起飛方向運動.取航空母艦

11、為參考系，vt=J2ax=10J10m/s=31.6m/s,故航空母艦行駛的速度至少為v'=(50-31.6)m/s=18.4m/s.【高清課程：勻變速直線運動中速度與位移的關系第5頁】【變式2】某飛機著陸時的速度是216km/h,隨后勻減速滑行，加速度的大小是2m/s2。機場的跑道至少要多長才能使飛機安全地停下來？【答案】900m類型二、勻變速直線運動公式的靈活運用例2、一個做勻加速直線運動的質點，在連續相等的兩個時間間隔內，通過的位移分別是24m和64m,每一個時間間隔為4s,求質點的初速度和加速度.【答案】a=2.5m/s2,vA=1m/s【解析】勻變速直線運動的規律可用多個公式

12、描述，因而選擇不同的公式，所對應的解決方法也不相同.解法一：(基本公式法)畫出運動過程示意圖，如圖所示，因題目中只涉及位移與時間，故選擇位移公式：,12,x1=4什金at1 /X2=Va(2產2a(t22)(vAt+).將x=24m、X2=64m、t=4s代入上式解得：a=2.5m/s2,Va=1m/s.解法二：(用平均速度公式)連續的兩段時間t內的平均速度分別為：vi=江="m/s=6m/s,V2=至=%m/s=16m/s.t4t4vAvB-vBVCB點是AC段的中間時刻，則V1=-A一B,V2=工一C,2 2_ Va . VcVb -2V1V226 162m/s =11m/s .

13、得-a=1m/s,-c=21m/s,2t1 . 2據 x =V0t +at 公式,212有 L=V"1a(2t)Vc_Va21-122a=m/s=2.5m/s-2t24解法三：（用xnaT2法）2衿x4022由xnaT，佝a=rm/s=2.5m/s.T24212再由x1=vAt+at,解得vA=1m/s.2【總結升華】（1）運動學問題的求解一般均有多種解法，進行一題多解訓練可以熟練地掌握運動學規律，提高靈活運用知識的能力.從多種解法的對比中進一步明確解題的基本思路和方法，從而提高解題能力.（2）對一般的勻變速直線運動問題，若出現相等的時間間隔問題，應優先考慮用判別式*=aT2求解，這

14、種解法往往更簡捷.舉一反三【變式1】一個冰球在冰面上滑行，依次通過長度都是L的兩段距離，并繼續向前運動，它通過第一段距離的時間為t,通過第二段距離的時間為2t,如果冰球在冰面上的運動可看做勻變速直線運動，求冰球在第一段距離末時的速度.5L【答案】v1=5L6tA點為起始時刻、起【解析】方法一：由題意可得，冰球做勻減速運動，其運動簡圖如圖所示.以冰球過始點，設A、B、C三點的速度分別為V0、vV2,由x="+v1t得2產。.L巧L中AtB2tCv0-Vi從A到B:L=一1t,2,v1»v2從B到C:L=v一2M2t,2v0V2從A到C：2L=-M3t,25L聯立式解得必=5L

15、.6t方法二：根據Vt=Vt知:2AB段中間時刻速度V3=5L,6tBC段中間時刻速度V4=，這兩個時刻相隔時間為-t,則勻減速運動加速度2L3t2將a代入得V1=5L.6t【高清課程：勻變速直線運動中速度與位移的關系第13頁】【變式2】例題、跳傘運動員做低空跳傘表演，他從224m的高空離開飛機開始下落，最初未打開降落傘，自由下落一段距離打開降落傘，運動員以12.5m/s2的加速度勻減速下降，為了運動員的安全，要求運動員落地的速度不得超過5m/s(g=10m/s2).求：運動員打開降落傘時，離地面的高度至少為多少？【答案】99m【高清課程：勻變速直線運動中速度與位移的關系第15頁】【變式3】火

16、車以速度vi勻速行駛，司機發現前方同軌道上相距s處有另一火車沿同方向以速度V2(相對于地面，且V1>V2)做勻速運動，司機立即以加速度a緊急剎車，要使兩車不相撞，a應滿足什么條件？【答案】a>(v1-V2)22s類型三、初速度為零的勻加速直線運動的幾個比例式的應用例3、一滑塊自靜止開始從斜面頂端勻加速下滑，第5s末的速度是6m/s,試求：(1)第4s末的速度；(2)運動后7s內的位移；(3)第5s內的位移.【答案】(1)4.8m/s(2)29.4m(3)5.4m【解析】物體的初速度V0=0,且加速度恒定，可用推論求解.(1)因為vo=0,所以vt=at,即vt0ct,故v4：v5=

17、4:5.第4s末的速度v4=4v5=4M6m/s=4.8m/s.55(2)因為vo=0,v5=6m/s,則加速度a=v5-=-一-m/s2=1.2m/s2,t5121，-2一-所以7s內的位移x7=at；=一父1.2父72m=29.4m.22,.1.21.2(3)由Ax=-at5-at4221八1”“=1.225m1.216m22=5.4m.第5秒內的位移是5.4m.舉一反三【變式1】一物體沿斜面頂端由靜止開始做勻加速直線運動，最初3s內的位移為Xi,最后3s內的位移為x2,已知x2-x1=6m；x1:x2=3:7,求斜面的總長.【答案】12.5m【解析】由題意知，物體做初速度等于零的勻加速直

18、線運動，相等的時間間隔為3s.由題意知±=3,x2-X1=6m,解得X1=4.5m,x?=10.5m.x27由于連續相等時間內位移的比為1:3:5:(2n),5故Xn=(2n-1)X1,可知10.5=4.5(2n-1),解得n=一.325"2又因為x總=n%,所以斜面總長：x總=|一:M4.5m=12.5m.13J【總結升華】切忌認為物體沿斜面運動了6s,本題中前3s的后一段時間與后3s的前一段時間是重合的.類型四、紙帶問題的處理例4、在測定勻變速直線運動的加速度的實驗中，用打點計時器記錄紙帶運動的時間，計時器所用電源的頻率為50Hz.如圖所示為小車帶動的紙帶上記錄的一些點

19、，在每相鄰的兩點之間都有四個點未畫出.按時間順序取0、1、2、3、4、5六個點，用刻度尺量出1、2、3、4、5點至U0點的距離如圖所示.&7”16冷821.8726.16狄04e012345(1)小車做什么運動？(2)若小車做勻變速直線運動，那么當打第3個計數點時小車的速度為多少？小車的加速度為多少？【答案】(1)小車做勻減速直線運動(2)50.4cm/s-1.502m2/s【解析】(1)T=0.02S,相鄰計數點的時間間隔t=5T=0.1S,設相鄰計數點間的位移分別為XX2、X3、X4、X5,可得：x1=8.78cm,X2=7.30cm,X3=5.79cm,xd=4.29cm,X5=2.78cm,X2-x1=-1.48cm,X3-X2=-1.51cm,x4-