1、解析幾何綜合題解題方法總結富源縣第一中學 解析幾何綜合題是高考命題的熱點內容之一. 這類試題往往以解析幾何知識為載體，綜合函數、不等式、三角、數列等知識，所涉及到的知識點較多，對解題能力考查的層次要求較高，考生在解答時，常常表現為無從下手，或者半途而廢。據此筆者認為：解決這一類問題的關鍵在于：通觀全局，局部入手，整體思維. 即在掌握通性通法的同時，不應只形成一個一個的解題套路，解題時不加分析，跟著感覺走，做到那兒算那兒. 而應當從宏觀上去把握，從微觀上去突破，在審題和解題思路的整體設計上下功夫，不斷克服解題征途中的道道運算難關.一、判別式案例1已知雙曲線，直線過點，斜率為，當時，雙曲線的上支上

2、有且僅有一點B到直線的距離為，試求的值及此時點B的坐標。分析1：解析幾何是用代數方法來研究幾何圖形的一門學科，因此，數形結合必然是研究解析幾何問題的重要手段. 從“有且僅有”這個微觀入手，對照草圖，不難想到：過點B作與平行的直線，必與雙曲線C相切. 而相切的代數表現形式是所構造方程的判別式. 由此出發，可設計如下解題思路：解題過程略.分析2：如果從代數推理的角度去思考，就應當把距離用代數式表達，即所謂“有且僅有一點B到直線的距離為”，相當于化歸的方程有唯一解. 據此設計出如下解題思路：轉化為一元二次方程根的問題求解問題關于x的方程有唯一解簡解：設點為雙曲線C上支上任一點，則點M到直線的距離為：

3、 于是，問題即可轉化為如上關于的方程.由于，所以，從而有于是關于的方程 由可知： 方程的二根同正，故恒成立，于是等價于.由如上關于的方程有唯一解，得其判別式，就可解得 .點評：上述解法緊扣解題目標，不斷進行問題轉換，充分體現了全局觀念與整體思維的優越性.2 判別式與韋達定理例2.已知橢圓C:和點P（4，1），過P作直線交橢圓于A、B兩點，在線段AB上取點Q，使，求動點Q的軌跡所在曲線的方程.分析：這是一個軌跡問題，解題困難在于多動點的困擾，學生往往不知從何入手。其實，應該想到軌跡問題可以通過參數法求解. 因此，首先是選定參數，然后想方設法將點Q的橫、縱坐標用參數表達，最后通過消參可達到解題的目

4、的.由于點的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直線AB的斜率作為參數，如何將與聯系起來？一方面利用點Q在直線AB上；另一方面就是運用題目條件：來轉化.由A、B、P、Q四點共線，不難得到，要建立與的關系，只需將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達定理即可.通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對于如何解決本題，已經做到心中有數.將直線方程代入橢圓方程，消去y，利用韋達定理利用點Q滿足直線AB的方程：y = k (x4)+1，消去參數k點Q的軌跡方程在得到之后，如果能夠從整體上把握，認識到：所謂消參，目的不過是得到關于的方程（不含k），則可由解得，直接代入即可得到軌跡方程。

5、從而簡化消去參的過程。簡解：設，則由可得：，解之得： （1）設直線AB的方程為：，代入橢圓C的方程，消去得出關于 x的一元二次方程： （2） 代入（1），化簡得： (3)與聯立，消去得：在（2）中，由，解得 ，結合（3）可求得 故知點Q的軌跡方程為： （）.點評：由方程組實施消元，產生一個標準的關于一個變量的一元二次方程，其判別式、韋達定理模塊思維易于想到. 這當中，難點在引出參，活點在應用參，重點在消去參.，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道.3求根公式例3.設直線過點P（0，3），和橢圓順次交于A、B兩點，試求的取值范圍.分析：本題中，絕大多數同學不難得到

6、：=，但從此后卻一籌莫展, 問題的根源在于對題目的整體把握不夠. 事實上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構造所求變量關于某個（或某幾個）參數的函數關系式（或方程），這只需利用對應的思想實施；其二則是構造關于所求量的一個不等關系.分析1:從第一條想法入手，=已經是一個關系式，但由于有兩個變量，同時這兩個變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個變量直線AB的斜率k. 問題就轉化為如何將轉化為關于k的表達式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.所求量的取值范圍把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關于x的一元二次方程xA= f（

7、k），xB = g（k）得到所求量關于k的函數關系式求根公式AP/PB = （xA / xB）由判別式得出k的取值范圍簡解1：當直線垂直于x軸時，可求得;當與x軸不垂直時，設，直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得，解之得 因為橢圓關于y軸對稱，點P在y軸上，所以只需考慮的情形.當時，所以 =.由 , 解得 ，所以 ，綜上 .分析2: 如果想構造關于所求量的不等式，則應該考慮到：判別式往往是產生不等的根源. 由判別式值的非負性可以很快確定的取值范圍，于是問題轉化為如何將所求量與聯系起來. 一般來說，韋達定理總是充當這種問題的橋梁，但本題無法直接應用韋達定理，原因在于不是關于的對稱關系式. 原因找到后，解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構造關于的對稱關系式.把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關于x的一元二次方程xA+ xB = f（k），xA xB = g（k）構造所求量與k的關系式關于所求量的不等式韋達定理AP/PB = （xA / xB）由判別式得出k的取值范圍簡解2：設直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得 （*）則，令，則，在（*）中，由判別式可得 ，從而有 ，所以 ，解得 .結合得. 綜上，.點評：范圍問題不等關系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數的性質