1、高等數(shù)學(xué)教案第一章函數(shù)與極限第一章函數(shù)與極限教學(xué)目的：1、 理解函數(shù)的概念， 掌握函數(shù)的表示方法， 并會建立簡單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系式。2、 了解函數(shù)的奇偶性、 單調(diào)性、周期性和有界性。3、 理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。4、 掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。5、 理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。6、 掌握極限的性質(zhì)及四則運算法則。7、 了解極限存在的兩個準(zhǔn)則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。8、 理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限。9、 理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含

2、左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型。10、了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理） ，并會應(yīng)用這些性質(zhì)。教學(xué)重點：1、復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念；2、基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形；3、極限的概念極限的性質(zhì)及四則運算法則；4、兩個重要極限；5、無窮小及無窮小的比較；6、函數(shù)連續(xù)性及初等函數(shù)的連續(xù)性；7、區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。教學(xué)難點：1、分段函數(shù)的建立與性質(zhì)；2、左極限與右極限概念及應(yīng)用；3、極限存在的兩個準(zhǔn)則的應(yīng)用；4、間斷點及其分類；高等數(shù)學(xué)課1程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第一章函數(shù)與極限5、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。1. 1映射與

3、函數(shù)一、集合1. 集合概念集合 (簡稱集 ):集合是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體. 用 A,B,C .等表示 .元素 : 組成集合的事物稱為集合的元素. a 是集合 M 的元素表示為 a M.集合的表示 :列舉法 : 把集合的全體元素一一列舉出來 .例如 A a, b, c, d, e, f, g.描述法 : 若集合 M 是由元素具有某種性質(zhì)P 的元素 x 的全體所組成 , 則 M 可表示為A a , a , a ,12nM x | x 具有性質(zhì) P .例如 M ( x, y)| x, y 為實數(shù) , x2y2 1.幾個數(shù)集 :N 表示所有自然數(shù)構(gòu)成的集合,稱為自然數(shù)集 .N 0, 1, 2

4、, n,. N1, 2, n,.R 表示所有實數(shù)構(gòu)成的集合,稱為實數(shù)集 .Z 表示所有整數(shù)構(gòu)成的集合,稱為整數(shù)集 .Z ,n, 2,1, 0, 1, 2, n,.Q 表示所有有理數(shù)構(gòu)成的集合,稱為有理數(shù)集 .Q p | p Z , q N 且 p與 q互質(zhì) q子集 : 若 x A, 則必有 xB, 則稱 A是B的子集 , 記為 AB(讀作 A 包含于 B)或 B A .如果集合 A與集合 B互為子集 ,A B且 BA, 則稱集合A與集合 B相等, 記作 A B.若AB且A B, 則稱 A是B的真子集 , 記作AB. 例如,NZQR.不含任何元素的集合稱為空集, 記作. 規(guī)定空集是任何集合的子集

5、.2. 集合的運算設(shè) A、 B 是兩個集合 , 由所有屬于A 或者屬于B 的元素組成的集合稱為A 與 B 的并集(簡稱并 ), 記作 AB, 即AB x|xA 或 xB.高等數(shù)學(xué)課2程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第一章函數(shù)與極限設(shè) A、 B 是兩個集合 , 由所有既屬于A 又屬于 B 的元素組成的集合稱為A與B的交集(簡稱交 ), 記作 AB, 即A B x|x A 且 x B.設(shè) A、 B 是兩個集合 , 由所有屬于 A 而不屬于 B 的元素組成的集合稱為A與B的差集(簡稱差 ), 記作 A B, 即A B x|xA 且 xB.如果我們研究某個問題限定在一個大的集合I中進(jìn)行 , 所研究的其他集合A都是

6、I的子集 . 此時 , 我們稱集合I 為全集或基本集 .稱 IA為 A 的余集或補(bǔ)集 , 記作 AC.集合運算的法則 :設(shè) A、 B、 C 為任意三個集合 , 則(1)交換律 AB BA, ABB A;(2)結(jié)合律 (AB)CA(BC), (AB)C A(BC);(3)分配律 (AB)C(AC)(B C), (AB)C(AC) (BC);(4)對偶律 (AB)CACBC, (A B)CACBC.(AB)C ACBC 的證明 :x ( A B)Cx A B x A 且 x Bx A C 且 x BCx ACBC, 所以 (A B)C ACBC.直積 (笛卡兒乘積 ):設(shè) A、B 是任意兩個集合,

7、 在集合 A 中任意取一個元素x, 在集合 B 中任意取一個元素y, 組成一個有序?qū)?x, y), 把這樣的有序?qū)ψ鳛樾略? 它們?nèi)w組成的集合稱為集合A 與集合B的直積, 記為A B, 即A B ( x, y)|xA 且 yB.例如 , R R( x, y)| xR 且 yR 即為 xOy 面上全體點的集合, R R 常記作 R 2.3. 區(qū)間和鄰域有限區(qū)間 :設(shè) ab, 稱數(shù)集 x|axb 為開區(qū)間 , 記為 (a, b), 即(a, b) x|axb.類似地有a, b x | ax b 稱為閉區(qū)間 ,a, b) x | a xb 、 (a, b x | ax b 稱為半開區(qū)間.其中 a

8、 和 b 稱為區(qū)間 (a, b)、a, b 、a, b)、(a, b的端點 , b a 稱為區(qū)間的長度.無限區(qū)間 :高等數(shù)學(xué)課3程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第一章函數(shù)與極限a,) x | a x , (, bx | x b , (,) x | | x | .區(qū)間在數(shù)軸上的表示:鄰域 : 以點 a 為中心的任何開區(qū)間稱為點a 的鄰域 , 記作 U (a).設(shè) 是一正數(shù) , 則稱開區(qū)間 (a, a)為點 a 的 鄰域 , 記作 U (a,), 即U( a,) x | a x a x | | x a| .其中點 a 稱為鄰域的中心,稱為鄰域的半徑.去心鄰域 U (a,):U (a,) x |0| x a |

9、1 時 , y 1 x.112 ; f (1) 2 1 2 ; f(3) 1 3 4.例如 f ( ) 22 22. 函數(shù)的幾種特性(1)函數(shù)的有界性設(shè)函數(shù) f(x)的定義域為 D, 數(shù)集 X D . 如果存在數(shù) K1 , 使對任一 x X, 有 f(x) K 1, 則稱函數(shù) f(x) 在 X 上有上界 , 而稱 K1 為函數(shù) f(x)在 X 上的一個上界 . 圖形特點是 y f(x) 的圖形在直線 y K1 的下方 .如果存在數(shù) K2, 使對任一 x X, 有 f(x) K 2, 則稱函數(shù) f(x)在 X 上有下界 , 而稱 K2 為函數(shù) f(x)在 X 上的一個下界 . 圖形特點是 , 函

10、數(shù) y f(x)的圖形在直線 y K 2 的上方 .如果存在正數(shù) M, 使對任一 x X, 有 | f(x) | M, 則稱函數(shù) f(x) 在 X 上有界 ; 如果這樣的 M 不存在 , 則稱函數(shù) f(x)在 X 上無界 . 圖形特點是 , 函數(shù) y f(x) 的圖形在直線 y M 和 y M 的之間 .函數(shù) f(x)無界 , 就是說對任何M, 總存在 x1X, 使 | f( x) | M.例如(1) f(x) sin x 在 (,)上是有界的 : |sin x| 1.高等數(shù)學(xué)課8程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第一章函數(shù)與極限(2) 函數(shù) f (x)1 在開區(qū)間 (0, 1) 內(nèi)是無上界的 . 或者說它

11、在 (0, 1) 內(nèi)有下界 , 無上界 .x這是因為 ,對于任一 M 1, 總有 x1:0 x111 , 使Mf (x1)1M ,x1所以函數(shù)無上界 .函數(shù)1在 (1, 2)內(nèi)是有界的 .xf ( x)(2)函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù) yf(x)的定義域為 D,區(qū)間 ID . 如果對于區(qū)間I 上任意兩點 x及 x ,當(dāng) xx2121時, 恒有f(x1) f(x2),則稱函數(shù) f(x)在區(qū)間 I上是單調(diào)增加的 .如果對于區(qū)間I 上任意兩點 x及 x ,當(dāng) x f(x2),則稱函數(shù) f(x)在區(qū)間 I上是單調(diào)減少的 .單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).函數(shù)單調(diào)性舉例 :函數(shù) yx2 在區(qū)間 ( ,

12、0 上是單調(diào)增加的 ,在區(qū)間 0,)上是單調(diào)減少的 , 在（,）上不是單調(diào)的 .(3)函數(shù)的奇偶性設(shè)函數(shù) f(x)的定義域 D 關(guān)于原點對稱 ( 即若 xD , 則 xD). 如果對于任一 xD , 有f( x)f(x),則稱 f(x)為偶函數(shù) .如果對于任一xD, 有f( x)f(x),則稱 f(x)為奇函數(shù) .偶函數(shù)的圖形關(guān)于y 軸對稱 , 奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱,奇偶函數(shù)舉例:y x2, y cos x 都是偶函數(shù) . y x3, y sin x 都是奇函數(shù) , y sin x cos x 是非奇非偶函數(shù).(4)函數(shù)的周期性高等數(shù)學(xué)課9程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第一章函數(shù)與極限設(shè)函數(shù) f(x

13、)的定義域為 D. 如果存在一個正數(shù)l , 使得對于任一 x D 有 (x l) D, 且f(x l) f(x)則稱 f(x)為周期函數(shù) , l 稱為 f(x)的周期 .周期函數(shù)的圖形特點 : 在函數(shù)的定義域內(nèi),每個長度為l 的區(qū)間上 , 函數(shù)的圖形有相同的形狀 .3反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù) :設(shè)函數(shù) f : D f(D) 是單射 , 則它存在逆映射f1: f(D)D, 稱此映射 f 1 為函數(shù) f 的反函數(shù) .按此定義 , 對每個 y f(D ), 有唯一的 xD,使得 f(x) y, 于是有f 1 (y) x.這就是說 , 反函數(shù) f1 的對應(yīng)法則是完全由函數(shù)f的對應(yīng)法則所確定的 .一般地

14、, y f(x), xD 的反函數(shù)記成 y f 1(x), xf(D ).若 f 是定義在 D 上的單調(diào)函數(shù) , 則 f : D f(D)是單射 , 于是 f 的反函數(shù) f 1 必定存在 , 而且容易證明 f 1 也是 f(D )上的單調(diào)函數(shù) .相對于反函數(shù)y f1(x)來說 , 原來的函數(shù)y f(x)稱為直接函數(shù) . 把函數(shù)y f(x)和它的反函數(shù)y f1(x) 的圖形畫在同一坐標(biāo)平面上, 這兩個圖形關(guān)于直線y x 是對稱的 . 這是因為如果P(a, b)是 y f(x)圖形上的點 , 則有 b f(a). 按反函數(shù)的定義, 有 a f 1(b), 故 Q(b, a)是 y f 1(x)圖形

15、上的點 ; 反之 , 若 Q(b, a)是 y f 1(x)圖形上的點 , 則 P(a, b)是 y f(x)圖形上的點 . 而 P(a,b) 與 Q(b, a)是關(guān)于直線 y x 對稱的 . 復(fù)合函數(shù) :復(fù)合函數(shù)是復(fù)合映射的一種特例, 按照通常函數(shù)的記號 , 復(fù)合函數(shù)的概念可如下表述 .設(shè)函數(shù) y f(u)的定義域為 D 1, 函數(shù) u g(x)在 D 上有定義且 g(D)D 1, 則由下式確定的函數(shù)y fg(x), x D稱為由函數(shù) u g(x)和函數(shù) y f(u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù) , 它的定義域為 D ,變量 u 稱為中間變量 .函數(shù) g 與函數(shù) f 構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)通常記為f g , 即(

16、 f g ) fg(x).與復(fù)合映射一樣 , g 與 f 構(gòu)成的復(fù)合函數(shù) fg 的條件是 : 是函數(shù) g 在 D 上的值域 g(D)必須含在 f 的定義域 D f 內(nèi) , 即 g(D) D f. 否則 ,不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù) .高等數(shù)學(xué)課10程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第一章函數(shù)與極限例如 , y f(u) arcsin u,的定義域為 1, 1, ug(x) 2 1 x2 在 D 1,3 3,122上有定義 , 且 g(D ) 1, 1,則 g 與 f 可構(gòu)成復(fù)合函數(shù)y arcsin21 x 2, xD;但函數(shù) y arcsin u 和函數(shù)u2 x2 不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù), 這是因為對任 xR,u 2x2均

17、不在y arcsin u 的定義域 1, 1 內(nèi) .多個函數(shù)的復(fù)合 :4. 函數(shù)的運算設(shè)函數(shù) f(x), g(x)的定義域依次為 D,D ,DD1D2, 則我們可以定義這兩個函數(shù)的12下列運算 :和 (差 )f g : (fg)( x)f(x) g(x), xD;積 fg :(fg)(x) f(x) g( x), xD;商 f:( f )( x)f (x) , xD x|g(x)0.ggg ( x)例 11 設(shè)函數(shù) f(x)的定義域為 ( l, l),證明必存在 ( l, l)上的偶函數(shù) g(x)及奇函數(shù) h(x), 使得f(x) g(x)h(x).分析 如果 f(x) g( x)h(x),

18、則 f(x)g(x)h( x), 于是g ( x)1h(x)1 f ( x)f (x) . f ( x) f ( x) ,22證 作 g (x)1 f ( x)f ( x) , h( x)1f (x) , 則 f(x) g(x) h(x),2 f ( x)2且g ( x)1 f ( x)f (x) g (x) ,2h( x)1 f ( x)f (x)1 f (x)f (x)h( x) .225. 初等函數(shù)基本初等函數(shù) :冪函數(shù) : y x( R 是常數(shù));指數(shù)函數(shù) : ya x(a 0 且 a 1);對數(shù)函數(shù) : ylog a x (a 0 且 a1, 特別當(dāng) a e 時 , 記為 y ln

19、x);三角函數(shù) : ysin x, y cos x, ytan x, y cot x, y sec x, y csc x;高等數(shù)學(xué)課11程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第一章函數(shù)與極限反三角函數(shù) : y arcsin x, y arccos x, y arctan x, y arccot x .初等函數(shù) :由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過 有限次 的四則運算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示 的函數(shù) , 稱為初等函數(shù) . 例如y 1x 2, y sin2x,ycot x2等都是初等函數(shù) .雙曲函數(shù) :xx雙曲正弦 :shxee;2xx雙曲余弦 :chxee;2雙曲正切 :thxshxexex.chxe

20、xe x雙曲函數(shù)的性質(zhì):sh(x y) sh x ch y ch x sh y; ch(x y) ch x ch y sh x sh y.ch2x sh2x 1;yy=ch x11y= 1 ex2O-1yy=sh xy= 1 e-x2xy=th xOsh2x 2sh x ch x;ch2x ch2x sh2 x .下面證明 sh(xy)sh x ch ych x sh y:xxyyxxyyshxchy chxshyeeeeeeee2222x高等數(shù)學(xué)課12程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第一章函數(shù)與極限x yy xx y( x y)x yy xx y( x y)eeeeeeee44e xy e ( xy )

21、2sh( x y) .反雙曲函數(shù) :雙曲函數(shù) y sh x, y ch x(x 0), y th x 的反函數(shù)依次為反雙曲正弦 : yarsh x;反雙曲余弦 : yarch x;反雙曲正切 : yarth x .反雙曲函數(shù)的表示達(dá)式:y arsh x 是 xsh y 的反函數(shù) ,因此,從xe y e y2中解出 y 來便是 arsh x . 令 u e y,則由上式有u 22x u10.這是關(guān)于u 的一個二次方程, 它的根為uxx21 .因為 u e y 0, 故上式根號前應(yīng)取正號, 于是uxx21 .由于 y ln u, 故得y arshx ln( xx21) .函數(shù) y arsh x 的

22、定義域為 (,), 它是奇函數(shù) , 在區(qū)間 (,)內(nèi)為單調(diào)增加的.類似地可得y archx ln( x x2 1) , y arthx1ln1x .21x高等數(shù)學(xué)課13程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第一章函數(shù)與極限1 2 數(shù)列的極限一個實際問題如可用漸近的方程法求圓的面積？設(shè)有一圓 首先作內(nèi)接正四邊形它的面積記為 A ；再作內(nèi)接正八邊形它的面積記1為 A2；再作內(nèi)接正十六邊形它的面積記為 A3；如此下去每次邊數(shù)加倍一般把內(nèi)接正8 2n 1 邊形的面積記為 An這樣就得到一系列內(nèi)接正多邊形的面積A1A2A3An設(shè)想 n 無限增大 （記為 n讀作 n 趨于窮大）即內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加在這個過程中內(nèi)接正

23、多邊形無限接近于圓同時 An也無限接近于某一確定的數(shù)值這個確定的數(shù)值就理解為圓的面積這個確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上稱為上面有次序的數(shù)（數(shù)列）A1 A2A3An當(dāng) n時的極限數(shù)列的概念 如果按照某一法則使得對任何一個正整數(shù)n 有一個確定的數(shù)xn則得到一列有次序的數(shù)x1xx3x2n這一列有次序的數(shù)就叫做數(shù)列記為 xn 其中第 n 項 xn 叫做數(shù)列的一般項數(shù)列的例子n123nnn123412 n24 82n111112n2482n(n1111(1)n11)n ( 1)n 1 214n ( 1)n 1n23n高等數(shù)學(xué)課14程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第一章函數(shù)與極限它們的一般項依次為n2n1( 1)n 1 n (

24、1)n 1n 12nn數(shù)列的幾何意義數(shù)列 x 可以看作數(shù)軸上的一個動點它依次取數(shù)軸上的點x x2x3n1xn數(shù)列與函數(shù) 數(shù)列 x 可以看作自變量為正整數(shù)n 的函數(shù)nxn f (n)它的定義域是全體正整數(shù)數(shù)列的極限數(shù)列的極限的通俗定義：對于數(shù)列 x 如果當(dāng) n 無限增大時數(shù)列的一般項x 無限nn地接近于某一確定的數(shù)值a則稱常數(shù)a 是數(shù)列 xn 的極限或稱數(shù)列 xn 收斂 a記為lim xn a如果數(shù)列沒有極限就說數(shù)列是發(fā)散的n例如limn11lim10lim n( 1)n 11nnn2nnnn1)n1是發(fā)散的而2 (對無限接近的刻劃xn 無限接近于 a等價于 |xn a |無限接近于 0極限的精確定義定義如果數(shù)列 x 與常 a 有下列關(guān)系 對于任