1、數(shù)學(xué)各種公式及性質(zhì)1. 乘法與因式分解1(a + b)(a b) = a2 b2;(ab)2= a22ab + b2;(a + b)(a2 ab + b2) = a3+ b3;223322222(a b)(a + ab + b )= a3 b3; a + b = (a + b) 2ab ; (a b) = (a + b) 4ab。2. 冪的運(yùn)算性質(zhì)4. 三角不等式|a|-|b| |a b| |a|+|b| （定理）；加強(qiáng)條件：|a|-|b|弓 a 3|w也 a|+|b|成立，這個(gè)不等式也可稱為向量的三角不等式（其中 a, b 分別 為向量 a 和向量 b）|a+b| w|a|+|b|; |a-

2、b| w|a|+|b|; |a| b-Wa w；b|a-b| |a|-|b|-|a| o o,b b初)。當(dāng)厶0 時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)厶=0 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；2若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根xi和 X2,則二次三項(xiàng)式 ax2+ bx + c 可分解為 a（x - xi）（x -X2）3以 a 和 b 為根的一元二次方程是x2- （a + b）x + ab = 0。7.次函數(shù)一次函數(shù) y = kx + b（k 工 0）的圖象是一條直線（b 是直線與 y 軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，稱為截距）。1當(dāng) k0 時(shí)，y 隨 x 的增大而增大（直線從左向右上升）;2當(dāng) kv0 時(shí)，y 隨 x 的增大而減

3、小（直線從左向右下降）;3特別地：當(dāng) b = 0 時(shí)，y = kx（k 工 0）又叫做正比例函數(shù)（y 與 x 成正比例），圖象必過原點(diǎn)。 8 反比例函數(shù)反比例函數(shù) y = ?k 工 0）的圖象叫做雙曲線。1當(dāng) k0 時(shí)，雙曲線在一、三象限（在每一象限內(nèi)，從左向右降）;2當(dāng) kv0 時(shí)，雙曲線在二、四象限（在每一象限內(nèi)，從左向右上升）。9.二次函數(shù)（1） .定義：一般地，如果 y _ ax2bx c（a,b, c 是常數(shù)，a - 0），那么y叫做 x 的二次函數(shù)。（2） .拋物線的三要素： 開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)。a 的符號(hào)決定拋物線的開口方向：當(dāng)a 0時(shí)，開口向上；當(dāng)a0時(shí)，開口向下；a ,相

4、等，拋物線的開口大小、形狀相同。 平行于y軸（或重合）的直線記作x - h.特別地，y軸記作直線x - 0（3）.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)y ax2當(dāng)a 0時(shí)x二0(y軸)(0,0)y =ax2 +kx=0(y軸)(0,k)y a x h2x冷(h,0)y a x(h J+kx冷(h,k)y =ax2+bx +c-bx -一2ab 4ac- b2t-，)2a4a（4）.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法公式法:2 y y二ax bx c二a xk 2a .2b4ac b2，二頂點(diǎn)是（4a上4ac b2），對(duì)稱軸是2a 4a直線xb。2a配方法：運(yùn)用配方的方法

5、，將拋物線的解析式化為y -a x h -2k 的形式，得到頂點(diǎn)為（h,k），對(duì)稱軸是直線x = h。運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn)。xiX2若已知拋物線上兩點(diǎn)（Xi, y）、（X2, y）（及 y 值相同），則對(duì)稱軸方程可以表示為：x -2V二+ +（5）.拋物線ax2bXc中，a, b,c的作用1a 決定開口方向及開口大小，這與y ax2中的 a 完全一樣。2b和 a 共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置由于拋物線 y - ax2x二一一，故：b二0時(shí)，對(duì)稱軸為y軸；0（即2a左側(cè)；一 0（即a3c 的大小決定拋物線ab異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)

6、bx -c 的對(duì)稱軸是直線。b同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在y軸y -ax2bxc 與y軸交點(diǎn)的位置。當(dāng)x L時(shí)，y c,拋物線 yc=ax2+bx*c與 y 軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0,c）:0,拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；c：0，與y軸交于正半軸； c 0,與y軸交于負(fù)半軸.以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立如拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，則（6）.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式一般式：yax2bx c .已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)t2*k .已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式。x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo) xx X2,通常選用交點(diǎn)式：y a x xixy的值，通常選擇一般式2頂點(diǎn)式：y _a x h3交點(diǎn)式：已知圖像與（7）.直

7、線與拋物線的交點(diǎn)1y軸與拋物線 y ax2bx c 得交點(diǎn)為（0, c ）。2拋物線與 X 軸的交點(diǎn)。二次函數(shù) y - ax2bx c 的圖像與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)ax2bx c 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與 x 軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判疋：a 有兩個(gè)交點(diǎn)（b 有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在c 沒有交點(diǎn) J平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)X1、X2X2，是對(duì)應(yīng)一元二次方程10 ）拋物線與 x 軸相交；x 軸上）（0）拋物線與 x 軸相切;拋物線與 x 軸相離。同一樣可能有 0 個(gè)交點(diǎn)、1 個(gè)交點(diǎn)、2 個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有 2 個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等， 設(shè)縱坐標(biāo)為k，則橫坐標(biāo)是ax2

8、bX c k-的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。4一次函數(shù) y - kX n k - 0 的圖像I與二次函數(shù) y ax2bx c a - 0 的圖像G的交點(diǎn)，由的解的數(shù)目來確定: 2 y - axbX ca 方程組有兩組不同的解時(shí) -l與G有兩個(gè)交點(diǎn);b 方程組只有一組解時(shí)；:l與G只有一個(gè)交點(diǎn);c 方程組無解時(shí) 二I與G沒有交點(diǎn)。5拋物線與 x 軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線 y -ax2bx c 與 x 軸兩交點(diǎn)為 A x , B x ,，貝 I1020AB10 統(tǒng)計(jì)初步(1 )概念：所要考察的對(duì)象的全體叫做 總體，其中每一個(gè)考察對(duì)象叫做 個(gè)體從總體中抽取的 亠部份個(gè)體叫做總體的一個(gè) 樣本，樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做

9、 樣本容量.在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)(有時(shí)不止一個(gè))， 叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列， 把處在最中間 的一個(gè)數(shù)(或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的 中位數(shù).(2)公式：設(shè)有 n 個(gè)數(shù) X1, X2, ?, Xn，那么:平均數(shù)為：X =X1+ X2+ + Xn；2極差：用一組數(shù)據(jù)的最大值減去最小值所得的差來反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，用這種方法得到的差稱為極差，即：極差二最大值-最小值;3方差：數(shù)據(jù) XI、X2? , Xn的方差為S2,1輊、722一22 X1-X)+(X2- X)+ .+(Xn- X)n臌方程組X1X4標(biāo)準(zhǔn)差：方差的算術(shù)平方根。數(shù)據(jù) X1、X2?, Xn的標(biāo)準(zhǔn)差

10、s, 2一2一2X)+(X2- X)+ +(Xn- X)一組數(shù)據(jù)的方差越大，這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大，越不穩(wěn)定（1）頻率頻數(shù)頻率=，各小組的頻數(shù)之和等于總數(shù)，各小組的頻率之和等于總數(shù)個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為各組頻率。（2）概率如果用 P 表示一個(gè)事件 A 發(fā)生的概率，則 0 P （A ） 0 ZA 越大，ZA 的正弦和正切值越大，余弦值反而越小2余角公式：sin(90o A) = cosA , cos(90o A) = sinA。3特殊角的三角函數(shù)值：si n30o = cos60o = , si n45o = cos45o=sin 60o = cos30o =,tan30o =, tan45o = 1,

11、 tan60o =。 .qhn鉛垂髙度丁丁4斜坡的坡度：i = = 設(shè)坡角為a,貝Ii = tana=。水平寬度13 正（余）弦定理（1 ）正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ;注：其中 R 表示三角形的外接圓半徑11 頻率與概率1,頻率分布直方圖中各hI正弦定理的變形公式：(1) a=2Rs inA, b=2Rsi nB, c=2Rs inC；(2) sinA : sinB : sine = a : b : c(2)余弦定理 b2=a2+c2-2accosB ; a2=b2+c2-2bccosA ; c2=a2+b2-2abcosC ;注：ZC 所對(duì)的邊為 c,ZB 所

12、對(duì)的邊為 b,ZA 所對(duì)的邊為 a14.三角函數(shù)公式（1）兩角和公式sin (A+B)=sinAcosB+cosAsi nB sin (A-B)=si nAcosB-si nBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)( 2 ) 倍角公式tan2A=2tanA

13、/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a( 3 ) 半角公式si n(A/2)=V-(1cosA)/2) si n(A/2)=-V(1-cosA)/2)cos(A/2)=V(1+cosA)/2) cos(A/2)=-V(1+cosA)/2)tan(A/2)=V-cosA)/(1+cosA) tan(A/2)=-V(1-cosA)/(1+cosA)ctg(A/2)=V(1+cosA)/(1-cosA) ctg(A/2)=-V(1+cosA)/(1-cosA)( 4 ) 和差化積sinA+sinB=2s

14、in(A+B)/2)cos(A-B)/2 cosA+cosB=2cos(A+B)/2)sin(A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB( 5 ) 積化和差2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)15 平面直角坐標(biāo)系中的有關(guān)知識(shí)

15、(1 )對(duì)稱性：若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)P (a, b)，則 P 關(guān)于 x 軸對(duì)稱的點(diǎn)為 Pi(a, - b), P 關(guān)于y 軸對(duì)稱的點(diǎn)為 P2(- a, b)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為P3( -a, -b)。(2)坐標(biāo)平移：若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn) P ( a， b)向左平移 h 個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)?P (a h，b)，向右平移 h 個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)?P (a + h, b);向上平移 h 個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)?P ( a, b + h)，向下 平移 h 個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)?P(a，b-h) .如：點(diǎn) A (2，- 1)向上平移 2 個(gè)單位，再向右平移 5 個(gè)單位，則坐標(biāo)變?yōu)锳(7，1)。16 多邊形內(nèi)角和公式多邊形

16、內(nèi)角和公式：n 邊形的內(nèi)角和等于(n 2)180o (n3, n 是正整數(shù))，外角和等于360o17 平行線段成比例定理1）平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例如圖：a II b II c,直線 Ii與 12分別與直線 a、b、c 相交與點(diǎn) A、B、C 和 D、E、F,則有ABBCDE ABDE BC EF。=- J- -5-EF ACDF AC DF(2 )推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例19.圓的有關(guān)性質(zhì)(1)垂徑定理：如果一條直線具備以下五個(gè)性質(zhì)中的任意兩個(gè)性質(zhì):3平分弦；平分弦所對(duì)的劣弧；平分弦所對(duì)的優(yōu)弧，那么

17、這條直線就具有另外三個(gè)性質(zhì)注：具備，時(shí)，弦不能是直徑。(2)兩條平行弦 所夾的弧相等。(3)圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)。(4)一條弧所對(duì)的 圓周角 等于它所對(duì)的 圓心角的一半。如圖： ABC 中，DEIIBC，DE與 AB、AC 相交與點(diǎn) D、E,則有:18.直角三角形中的射影定理直角三角形中的射影定理：貝 U 有：(1)CD2-AD BD如圖:RtABC中，ZACB=90,CD丄AB(2)AC2- AD AB(3)BC2- BD AB經(jīng)過圓心；垂直弦;AD二AE_AL -=DE_DB_ =_EC_ DB EC ABAC BC AB AC(5)圓周角等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半。(6)同弧

18、或等弧所對(duì)的圓周角相等。(7)在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的 弧相等。(8)90o 的圓周角所對(duì)的弦是 直徑，反之，直徑所對(duì)的圓周角是90o，直徑是最長(zhǎng)的弦。、(9)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)厶 ABC 的周長(zhǎng)為1,面積為 S，其內(nèi)切圓的半徑為 r，則21.弦切角定理及其推論為弦切角。推論：弦切角等于所夾弧所對(duì)的圓周角(作用證明角相等)22.相交弦定理、割線定理和切割線定理(1)相交弦定理：圓內(nèi)的兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。如圖，即：PA PB = PC PD(2)割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這點(diǎn)到每條割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相20.三角形的內(nèi)心與外心(1)三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)心就是三內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)。(2)三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心三角形的外心就是三邊中垂線的交點(diǎn).常見結(jié)論：Rt ABC 的三條邊分別為:a、b、c(c 為斜邊)，則它的內(nèi)切圓的半徑(1)弦切角：頂點(diǎn)在圓上，并且一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。如圖：/PAC(2)弦切角定理：弦切角度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。如果 AC 是OO 的弦，PA 是OO 的切線，A 為切點(diǎn)，則1PAC 二一2