1、運用對稱性巧解積分題周煥發（渭南師范學院數學系 陜西渭南 714000）摘 要 本文從六個方面分析了積分中的對稱性，并結合事例說明了對稱性在積分解題中的妙用。關鍵詞 對稱性 奇偶性 函數 積分 互補變換數學中的許多問題，初看起來似乎很難解決，而一旦恰當地利用了某種對稱性，就會易如反掌，下面介紹如何充分有效地利用對稱性巧解積分題。1. 利用積分區間的對稱性設 在 上可積，利用積分區間關于原點對稱以及被積函數的奇偶性，簡化定積分的計算，可用公式 （1）例1 計算 解 因積分區間關于原點對稱，依公式（1） 2. 利用函數圖像的對稱性利用積分中函數圖像的對稱性可簡捷明快地解決積分問題。例2 求有曲面所

2、圍成立體的體積。解設所圍立體的體積為，則 ,所圍成。要畫出的圖像再來確定積分限是很困難的，因此可討論的對稱性。因時，也有，故關于坐標平面，對稱。又因，所以只需求出立體在第卦限的體積，這時例3 求 從軸正向看去 為反時針方向。解 因關于坐標平面對稱，故于是 3. 利用輪換對稱性若把第一變量換成第二變量，第二變量換成第三變量，依次類推，最后一個變量換成第一個變量，這樣得到的函數與原函數相同，則稱該函數具有輪換對稱性，在積分問題中，根據函數輪換對稱的特點，可由局部的一個結論，迅速得到其它相似結論將大大縮減繁瑣的計算或證明過程。黎曼積分輪換對稱性是指：第一，被積函數具有輪換對稱性；第二，積分區域具有輪

3、換對稱性。下面我們通過例子來說明輪換對稱性在簡化積分運算中的作用。例4 計算第一類曲線積分，其中為橢圓與平面相交的圓周。解法一（一般方法） 先求曲線的參數方程由方程組 （1）消去得或 （2）旋轉坐標軸 即方程（2）化為 設 得到所求圓周參數方程 于是所以同理可得 解法二 先求曲線的半徑。因為原點到平面的距離為，所以圓周曲線的半徑為，有輪換對稱性，所以， 例5 計算三重積分，是由平面及三個坐標面所圍之區域。解 因為積分區域關于均對稱，故，于是 例6 計算第二類曲線積分，其中為球面與平面的交線，從軸正看圓周逆時針方向。解 由斯托克斯公式其中為所圍成的大圓，的側與的方向滿足右手法則，有輪換對稱性所以

4、例7 求， 解 將橢球變為球：這意味著分別以，代，得 由輪換對稱性可得出所以 4. 抓住特點，構造對稱關系有些積分問題原來并不具有對稱性，在求解過程中，如果我們善于觀察問題的特點，通過適當的換元，拆項等構造對稱關系，就可找到問題的突破口，從而快速解答。例8 求 解 令，則原式 例9 設在上連續，且，證明證 作閉正方形域，則關于直線對稱，于是所以5. 利用互補對稱性設在 上可積，當時，利用互補變換，得到等式 （2）在應用公式（2）時，我們希望函數比簡單易積分，特別當時，說明在區間上，橫坐標關于的任意兩個對稱點與，相應的函數值關于也對稱，這種對稱性可稱為互補的對稱性，這時例10 求 解 令，則 而 所以 6. 利用對稱性的某些推廣設在任何有限區間上可積，且，利用變換，可得公式 （3）這時，由及公式（3）得 （4）若，則依（4）有此時可以說在上關于有某種對稱性；若，則依（4）有，可稱關于“反對稱”。因可積，故變限積分函數連續，由（4）式得即 （5）例11 證明 證 因為具有無限區間和無界函數的兩類廣義積分，所以必須分成單一類型的廣義積分。由于 由極限形式的柯西判別法知，廣義積分與都收斂，從而廣義積分收斂。這時，由于，故由公式（5）得以上數例用傳統的解法比較繁瑣或難以解答，但由于巧妙地運用某