1、第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 2.1 LTI系統的數學模型與傳輸算子系統的數學模型與傳輸算子 2.2 LTI系統的算子符號表示與傳輸算子系統的算子符號表示與傳輸算子 2.3 LTI因果系統的零輸入響應因果系統的零輸入響應 2.4 LTI因果系統的零狀態響應因果系統的零狀態響應 2.5 卷積及其性質卷積及其性質 2.6 LTI因果系統的全響應及其分解因果系統的全響應及其分解 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 2.1 LTI系統的數學模型與傳輸算子系統的數學模型與傳輸算子 2.1.1 建立

2、LTI系統的數學模型 有兩類建立系統模型的方法， 一是輸入輸出描述法， 二是狀態變量描述法。 本章只討論輸入輸出描述法。 用這種描述法， 連續時間LTI系統的數學模型是常系數線性微分方程； 離散時間LTI系統的數學模型是常系數線性差分方程（將在第五章討論）。 由具體電路模型可以討論系統數學模型的建立。 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 圖 2.1-1 RLC串聯電路CF61iL(0)R5 i(t)e(t)L1 H第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 例2.1-1 如圖2.1-1所示的RLC串聯電路， e(t)為激勵信號， 響應為i(t)， 試寫出其微

3、分方程。 解 這是有兩個獨立動態元件的二階系統， 利用KVL定理列回路方程， 可得)()(1)()(teiCtidtdLtRti第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 上式是一個微、 積分方程， 對方程兩邊求導， 并代入系數， 整理為)()(6)(5)(22tedtdtitidtdtidtd這是二階系統的數學模型二階線性微分方程。 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 一般有n個獨立的動態元件組成的系統就是n階系統(或n個一次線性微分方程組)。 一般電路系統的階數等于獨立的uC(t)與iL(t)的個數之和， 其中獨立的uC(t)不能用其它uC(t)(可含電

4、源)表示； 獨立的iL(t)不能用其它iL(t)(可含電源)表示。 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 例2.1-2 如圖2.1-2所示電路， 判斷系統階數。 圖 2.1-2 例2.1-2電路 C2R1f (t)C1R2C1C2C3f (t)R1R2(a)(b)第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 解 (1) R1i1(t)+uC1(t)+uC2(t)=e(t)， uC2(t)=uR2(t)， 有兩個獨立的uC(t)， 所以該系統是二階系統。 (2) uC1(t)=uC2(t)+uC3(t)， 是通過其它uC(t)表示的， 是非獨立的uC(t)； 但u

5、C2(t)uC3(t)， 有兩個獨立的uC(t)， 所以該系統也是二階系統。 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 2.1.2 系統微分方程求解經典法 一般n階LTI系統的微分方程為)()()()()()()()(111101111tfbtfdtdbtfdtdbtfdtdbtyatydtdatydtdatydtdmmmmmmnnnnnn第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 初始條件為y(0+), y(0+), , yn-1(0+)。 由上式可得系統的特征方程為 n+a1n-1+.+a n-1+an=0 (-1)(-2).(-n)=0 (2.1-1)由特征

6、方程可求得特征根。 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 假設特征根均為單根1、2、.、n， 由其得到通解yh(t)的一般形式tinihieCty1)( (2.1-2) 式中i為特征根。 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 微分方程特解的形式與激勵形式相同， 如表2-1所示， 代入原方程中得到具體系數。 微分方程的解由通解與特解兩部分組成， 即完全解為)()()()(1tyeCtytytyptiniphi(2.1-3) 由n個初始條件y(0+), y(0+), ., yn-1(0+)確定n個Ci系數。 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時

7、域分析 這種由通解與特解求解系統響應的方法稱為經典法， 注意到“高等數學”給出的初始條件一般是全響應(第一類)標準初始條件y(0+), y(0+), ., yn-1(0+)。 用經典法求解線性微分方程是高等數學的內容， 本書不再詳述。 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 表2-1 典型激勵對應的特解 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 2.2 LTI系統的算子符號表示與傳輸算子系統的算子符號表示與傳輸算子 2.2.1 用算子符號表示微分方程 n階LTI系統的數學模型是n階常系數線性微分方程。 式(1.6-6)給出n階線性微分方程的一般形式書寫起來不方

8、便， 為了形式上簡潔， 可以將微、 積分方程中的微、 積分運算用算子符號p與1/p表示， 由此得到的方程稱為算子方程。 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 微分算子 xdtdxpdtdpxdtdpxdtdpnnnnnn, (2.2-1) (2.2-2) 積分算子 xdxpdptt1,()1(2.2-3)第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 這樣， 例2.1-1電路的微分方程可以表示為 p2i(t)+5pi(t)+6i(t)=pe(t) 式(1.6-6)的n階線性微分方程可以用算子表示為 a0pny(t)+a1pn-1y(t)+.+an-1 py(t)+

9、any(t) =b0pmf(t)+b1pm-1f(t)+.+bm-1 pf(t)+bmf(t) (2.2-4)第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 式(2.2-4)是算子方程。 算子方程中的每一項表示的是運算關系， 而不是代數運算。 模仿代數運算， 還可以將上式簡化為 (a0pn+a1pn-1+.+an-1p+an)y(t) = (b0pm+b1pm-1+.+bm-1p+bm)f(t) (2.2-5) 若再令 D(p)=a0pn+a1pn-1+.+an-1p+ao (2.2-6a) N(p)=b0pm+b1pm-1+.+bm-1p+bm (2.2-6b)第第2章章 連續時間

10、系統的時域分析連續時間系統的時域分析 則稱D(p)、 N(p)為算子多項式， 式(2.2-5)可進一步簡寫為 D(p)y(t)=N(p)f(t) (2.2-7) 式(2.2-7)是n階線性微分方程的算子方程。 在這里， 我們利用了提取公因子的代數運算規則。 式(2.2-7)還可以進一步改寫為)()()()(tfpDpNty(2.2-8)第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 式中分母多項式D(p)表示對輸出y(t)的運算關系， 分子多項式N(p)表示對輸入f(t)的運算關系， 而不是兩個多項式相除的簡單代數關系。 算子表示的是微、 積分運算， 因此代數運算規則不能簡單照套，

11、下面具體討論算子的運算規則。 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 (1) 可進行類似代數運算的因式分解或因式相乘展開。 (p+a)(p+b)x=p2+(a+b)p+abx (2.2-9) 證 xabpbapabxdtdxadtdxbdtxdbxdtdxabxdtdxdtdbxdtdxadtdxbdtdadtdxbpap)()(222第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 這樣例2.1-1的算子方程(p2+5p+6)i(t)=pe(t)還可以表示為 (p+2)(p+3)i(t)=pe(t)第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 (2) 算

12、子方程左、 右兩端的算子符號p不能隨便消去。 由 ， 解出x=y+C而不是x=y， 兩者相差一個任意常數C， 所以不能由px=py得到x=y， 即px=py， 但xy。 這一結論可推廣到一般的算子方程： D(p)x=D(p)y， 但xy dtdydtdx第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 (3) p、 1/p位置不能互換。xpxptxxdtdpxppxpxppt1)()(111因為 所以 (2.2-10) 而 )()()()(1txxxdxddpxpt第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 因此 xpxp1(2.2-11) 式(2.2-10)、 (2.2

13、-11)分別說明， 形式上先“除”后“乘”即先積分后微分的運算次序， 算子可消去； 形式上先“乘”后“除”即先微分后積分的運算次序， 算子不可消去。 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 2.2.2 用算子電路建立系統數學模型 利用算子電路建立系統數學模型比較方便， 這種方法簡稱算子法。 它是先將電路中所有動態元件用算子符號表示， 得到算子電路； 再利用廣義的電路定律， 建立系統的算子方程； 最后將算子方程轉換為微分方程。 電感的算子表示可由其電壓電流關系得到， 因為 )()()(tLpitidtdLtLLL (2.2-12)第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的

14、時域分析 式中, Lp是電感算子符號， 可以理解為廣義的電感感抗值， 式(2.2-12)可以理解為廣義歐姆定律。 同理， 由電容上的電壓電流關系得到 )(1)(1)(tiCpiCtCCtC (2.2-13) 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 式中, 1/Cp 是電容算子符號， 可以理解為廣義的電容容抗值， 式(2.2-13)也可以理解為廣義歐姆定律。 將動態元件用算子符號表示， 可以得到算子電路。 下面舉例說明由算子電路列寫系統的微分方程的方法。 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 圖 2.2-1 例2.2-1的算子電路pCp61R5 i(t)e(

15、t)Lp p第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 例 2.2-1 如圖2.2-1所示RLC串聯電路， 輸入為e(t)， 輸出為電流i(t), 用算子法列出算子方程與微分方程。 解 將圖2.2-1中的電感、 電容用算子符號表示， 得到算子電路如圖2.2-2所示， 利用廣義的KVL, 列出算子方程式 )()()65(tetipp兩邊同時作微分運算（ “前乘”p）， 得算子方程 (p2+5p+6)i(t)=pe(t)第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 由上面的算子方程寫出微分方程為)()(6)(5)(22tedtdtitidtdtidtd 結果與例2.1-1

16、相同。 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 例 2.2-2 如圖2.2-2(a)電路， f(t)為激勵信號， 響應為i2(t)， 試用算子法求其算子方程與微分方程。 解 將圖2.2-2(a)中的電感用算子符號表示如圖2.2-2(b)所示， 利用廣義網孔法列出兩個算子方程 (3p+1)i1(t)-pi2(t)=f(t) -pi1(t)+(p+3)i2(t)=0 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 利用克萊姆法則， 解出 2/35)(21) 3102()(3130)(13)(222pptpfpptpfppppptfpti由式(2.2-6)與(2.2-7)

17、， 可寫成 (p2+5p+3/2)i2(t)=0.5pe(t)微分方程為)(5 . 0)(5 . 1)(5)(22tfdtdtytydtdtydtd第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 也可以寫成 y(t)+5y(t)+1.5y(t)=0.5f(t) 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 圖 2.2-2 例2.2-2電路與算子電路 i1(t)i2(t)1 Hf (t)1 1 2 y (t)i1(t)i2(t)f (t)1 1 2 y(t)2pp(a)(b)2 H第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 例 2.2-3 如圖2.2-3(a)

18、所示電路輸入為e(t)， 輸出為i1(t)、 i2(t)， 用算子法求其算子方程與微分方程。 已知L1=1 H， L2=2 H， R1=2 ， R2=1 ， C=1 F。第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 圖 2.2-3 例2.2-3電路與算子電路i1(t)i2(t)e(t)R1R2CL2L1i1(t)i2(t)e(t)p1/p2p(a)(b)2 1 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 解 將圖2.2-3中的電感、 電容分別用算子符號表示如圖2.2-3(b)所示， 利用廣義網孔法,列算子方程組0)() 112()(1)()(1)()21(2121ti

19、pptiptetiptipp第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 為避免在運算過程中出現p/p因子， 可先在上面的方程組兩邊同時作微分運算, 即“前乘”p（當分子分母同時出現p時可約）， 得到 (p2+2p+1)i1(t)-i2(t)=pe(t) -i1(t)+(2p2+p+1)i2(t)=0 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 利用克萊姆法則， 解出)(355212) 3552()() 12(121111201)()(2322322221tepppppppppteppppppppptpeti第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 由

20、式(2.2-6)與(2.2-7)， 可得 (2p3+5p2+5p+3)i1(t)=(2p2+p+1)e(t) 微分方程為)()()(2)(3)(5)(5)(22211122133tetedtdtedtdtitidtdtidtdtidtd第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 用相同的方法， 可以得到 )()() 3552(3552)() 3552()(1) 13552()(12111120)(1)(223232323422222tetipppppptepppptpepppptpepppppptpeppti第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 微分方程為 )

21、()(3)(5)(5)(222222233tetitidtdtidtdtidtd第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 2.2.3 傳輸（轉移）算子H(p) 由式(2.2-8)有)()()()(tfpDpNty我們定義傳輸（轉移）算子H(p)為)()()(pDpNtH (2.2-14)這樣， 系統的輸出可以表示為 y(t)=H(p)f(t) (2.2-15)第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 例2.2-4 求例2.2-1激勵為e(t)， 響應為i(t)的系統傳輸算子H(p)。 解 例2.2-1的算子方程為 (p+2)(p+3)i(t)=pe(t) 則由

22、得到 ) 3)(2()()() 3)(2()(ppppHtepppti第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 例 2.2-5 求例2.2-2激勵為f(t)， 響應為i2(t)的系統傳輸算子H(p)。 解 例2.2-2的算子方程為 (p2+5p+3/2)i2(t)=0.5pe(t) 則由2/355 . 0)()(2/355 . 0)(222ppppHtfpppti得到 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 例2.2-6 求例2.2-3激勵為f(t)， 響應為i1(t)時的系統傳輸算子H1(p)； 激勵為f(t)， 響應為i2(t)時的系統傳輸算子H2(p)。

23、 解 由 35521)()(355212)()(355212)(23223212321ppppHteppppppHtepppppti可得 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 我們注意到此例H1(p)與H2(p)的分母多項式相同。 由H(p)的定義， 不難看出系統傳輸算子的分母多項式是系統的特征多項式。 它僅與系統的結構、 參數有關， 與激勵以及激勵加入的端口無關。 所以同一系統， 系統的結構、 參數一定， 無論激勵以及激勵加入的端口如何改變， 其傳輸算子的分母多項式都不會改變。 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 2.3 LTI因果系統的零輸入響應因

24、果系統的零輸入響應 2.3.1 零輸入響應 零輸入響應與激勵無關， 其數學模型是齊次微分方程。 將f(t)=0， 代入式(2.2-7)的算子方程， 得到 D(p)y(t)=0 (2.3-1) 式(1.9-1)中D(p)是系統的特征多項式， D(p)=0是系統的特征方程， 使D(p)=0的值是特征方程的根， 稱為系統的特征根。 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 首先討論一階齊次微分方程的一般情況， 再討論二階齊次微分方程的一般情況， 最后是n階齊次微分方程的一般情況。 一階齊次微分方程為 (p-)y(t)=0 y(0-) (2.3-2) 第第2章章 連續時間系統的時域分析

25、連續時間系統的時域分析 由系統的特征方程p- =0， 得特征根p= ， 其解（零輸入響應）的一般形式為 y(t)=y(0-)e t t0 (2.3-3) 由式(2.3-3)可知， 此時解的一般模式取決于特征根 ， 而解的系數由初始條件確定。 二階齊次微分方程的一般算子形式為 (p2+a1p+a0)y(t)=0 y(0-), y(0-) (2.3-4) 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 由p2+a1p+a0=(p-1)(p-2)=0， 得到二階系統的兩個特征根1、2。 與一階齊次微分方程相同， 二階齊次微分方程解的模式取決于兩個特征根1、2， 其表達式為 (2.3-5)0

26、)(2121teCeCtytt式中, 系數C1、 C2由兩個初始條件y(0-)、y(0-)確定。 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 y(0-)=C1+C2 y(0-)=1C1+2C2 (2.3-6) 解此方程組， 求出C1、C2， 從而確定了二階系統的零輸入響應。 以上是二階系統特征根不同的情況， 如果p2+a1p+a0=(p-)2=0， 特征根相同， 則是二階重根， 此時二階齊次微分方程解的形式為 y(t)=C1et+C2tet t0 (2.3-7)第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 系數C1、 C2仍由兩個初始條件y(0-), y(0-)確定

27、y(0-)=C1 y(0-)=C1+C2 n階齊次微分方程的算子形式為 (pn+an-1pn-1+.+a1p+a0)y(t)=0 y(0), y(0)y(0), ., yn-1(0) (2.3-8)第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 式中， y(0), y(0), y(0), ， yn-1(0)為第二類標準初始條件。由特征方程 D(p)=pn+an-1pn-1+.+a1p+a0 =(p-1)(p-2).(p-n)=0 得到n個特征根1、 2、 .、n， n階齊次方程解的模式取決于這n個特征根， 表達式為0)(12121yCieeCeCeCtynittnttin(2.3-9

28、) n個系數C1、C2、.、Cn由n個初始條件y(0)、y(0)y(0)、.、yn-1(0)確定。 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 y(0)=C1+C2+.+Cn y(0)=1C1+2C2+.+nCn yn-1(0)=1n-1C1+2n-1 C2+.+nn-1Cn (2.3-10)第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 式(2.3-10)可用矩陣形式表示為421112114211111)0()0()0(CCCyyynnnnn(2.3-11) 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 常數C1、.、Cn可用克萊姆法則解得， 或用逆矩陣表

29、示為)0()0()0(111111211421421nnnnnyyyCCC第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 例2.3-1 已知系統的傳輸算子H(p)= 2p/(p+3)(p+4) ， 初始條件yzi(0)=1， ， 試求系統的零輸入響應。 解 特征根1=-3, 2=-4 由式(2.3-8)， 零輸入響應形式為 yzi(t)=C1e-3t+C2e-4t t0 將特征根及初始條件y(0)=1， y(0)=2代入式(2.3-6) 1=C1+C2 2=-3C1-4C2 2)0(ziy)4)(3(2)(ppppH 解出 C1=6 C2=-5 yzi(t)=6e-3t-5e-4t

30、t0 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 例2.3-2 已知電路如圖2.3-1所示， 開關K在t=0時閉合， 初始條件i2(0-)=0， i2 (0-)=-1 A/s。 求零輸入響應i2(t)。 解 先求e(t)i2(t)時的H(p) 0) 11()() 1(2121ipiteiip (p+1)i1-i2=e(t) -pi1+(p+1)i2=0 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 圖 2.3-1 例2.3-2電路i1(t)i2(t)e(t)K1 1Ft 01H第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 tjtjizeCeCtijpjpp

31、ppDppppHpptpepppptepi)2321(2)2321(122222)()2321)(2321(1)(1)(1)(1110)(1第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 32321)2321()2321()0()0(21212212jCjCCjCjiCCi解出 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 代入初始條件 023sin322323131)(21232321)2321()2321(2ttejeeeejejtittjtjttjtjzi第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 2.3.2 初始條件標準化 第一類標準初始條件y(0+

32、)、y(0+)、.、yn-1(0+)是全響應初始條件。 它包含兩部分： 標準零輸入初始條件yzi(0+)、 yzi (0 +)、 .、 yn-1zi(0+)， 以及標準零狀態初始條件yzs(0+)、 yzs (0+)、 .、 yn-1zs(0+)。 利用電容電壓及電感電流一般不會突變， 即 iL(0-)=iL(0+)、 vC(0-)=vC(0+)， 以及具體電路方程， 可將系統的非標準初始條件轉變為標準化初始條件。 下面舉例說明如何將初始條件標準化。第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 圖 2.3-2 例2.3-3電路第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析

33、 例2.3-3 已知電路如圖2.3-2， 且iL(0-)=1 A， vC(0-)=10 V， 求izi(t)。 解) 3)(2()(65)()()()()65()()()65(22ppppHpptpftitpftipptftipp第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 D(p)=(p+2)(p+3), 1=-2, 2=-3 izi(t)=C1e-2t+C2e-3t t0 標準初始條件應為izi(0+)與izi(0+)， 這需要將非標準的初始條件iL(0-)=1 A， vC(0-)=10 V標準化， 即要將iL(0-)、vC(0-)轉變為完全響應的初始條件i(0+)、 i(0+

34、)。 因為i(t)=iL(t)， 并且電感電流一般不會突變，所以有iL(0-)=iL(0+)=i(0+)=1 A； 而i(0+)就要由0+電路解出， 列0+電路方程為)()()()(5tfttidtdtiC第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 令t=0+代入上式， 得 5i(0+)+i(0+)+vC(0+)=0 將vC(0-)=vC(0+)， 且f(t)=0代入上式， 有 5+10+i(0+)=0 由上式解得標準初始條件為i(0+)=1 A及 i(0+)=-15 A/s， 解出131215321213121CCCCCC第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析

35、 代入izi(t)得到 izi(t)=-12e-2t+13e-3t t0第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 圖 2.3-3 例2.3-4電路 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 例2.3-4 電路如圖2.3-3所示， 已知iL(0-)=1 A， vC(0-)=1 V， 求i2zi(0+)， i2zi (0+), i2zi(t)。 解 此題也有非標準化初始條件轉化為標準化初始條件的問題。 由回路方程組： 0)()()()(21211tiiRteiiRidtdLC第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 將e(t)=0、 t=0+、 i1

36、=iL以及R、 L、 C參數值代入， 得到 i1 (0+)+i1(0+)-i2(0+)=0 (A) -i1(0+)+i2(0+)+vC(0+)=0 (B) 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 由式(A)， i2(0+)=i1(0+)-vC(0+)=0, 代入式(B) i1 (0+)+i1(0+)=0 i1 (0+)=-i1(0+)=-1 A/s 對式(B)求導 -i1 (0+)+i2 (0+)+vC (0+)=0第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 因為 ， 代入上式)0(0)0(|20CtCidtdCsAiii/1)0()0()0()0(112得到標

37、準化初始條件： sAii/10)0(22，與例2.3-2的標準化初始條件相同， 解得結果相同， 不再重復。 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 例2.3-5 電路如圖2.3-4(a)所示， 開關在t=0時， 由“1”到“2”。 求i(0)， i(0)及電流i(t)的零輸入響應。 解 圖2.3-4(a)是有兩個動態元件的二階系統， 其中AuAiCL2 . 1562354)0(8 . 0545 . 112)0(第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 圖 2.3-4 例2.3-5電路2Kt 0f2(t) 2 Vf1(t) 4 V1FiC(t)iL(t)H412

38、3i(t)f1(t) 4 Vi(t)iC(t)(a)(b)1 i1(t)i2(t)p41231 p1第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 換路后的算子電路如圖2.3-4(b)所示。 列網孔算子方程 0)25. 05 . 11 ()() 1(0)25. 05 . 11(1)(1)11 (22112121121ippitpfiipipiptfipip整理 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 將i1(t)=i(t)代入上式， 解得)5 . 25 . 125. 0()() 15 . 125. 0(1) 15 . 125. 0)(1()() 15 . 125.

39、0(25. 05 . 1111125. 05 . 1101)(2122122211ppptfpppppptfpppppppptpfi第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 因是二階系統， 所以0)()5)(2(46107465 . 275. 125. 015 . 125. 0)(522122222teCeCtypppppppppppppHttzi 因為所給出的是非標準初始條件， 所以要將非標準初始條件轉化為標準初始條件。 初始值等效電路如圖2.3-5所示（電容相當于短路， 電感相當于開路）。 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 圖 2.3-5 例2.3-

40、5零輸入等效電路第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 由圖2.3-5可得 )0()0()0(2 . 1)0()0(11ziCCCziiRdtdCdtdCiARi第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 所以 sAiiCRdtdiLzizi/2)0()0(1)0(1由 izi(0+)=C1+C2=-1.2 izi (0+)=-2C1-5C2=2 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 解出 1523421CC 最后 0)15234()(52tAeetittzi第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 以上初始條件標準化是電容電

41、壓及電感電流不會突變的一般情況， 對電容電壓及電感電流有突變（電容電流或電感電壓有沖激信號時）的特例， 可利用電荷守恒與磁鏈守恒定理進行標準化的工作， 有興趣的讀者可參閱有關書籍。 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 2.4 LTI因果系統的零狀態響應因果系統的零狀態響應 2.4.1 單位沖激響應h(t) 輸入為單位沖激信號(t)時， 系統的零狀態響應定義為單位沖激響應， 簡稱沖激響應， 記為h(t)， 如圖2.4-1所示。 h(t)由傳輸算子表示為 h(t)=H(p)(t) (2.4-1a) 或記為 (t)h(t) (2.4-1b)第第2章章 連續時間系統的時域分析連續

42、時間系統的時域分析 圖 2.4-1 單位沖激響應 H(p)(t)h(t)第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 n階線性系統的傳輸算子為 01110111)(apapapbpbpbpbpHnnnmmmm(2.4-2) 為分析簡便， 更突出求解單位沖激響應的基本方法， 假設H(p)的分母多項式D(p)均為單根， 將分母多項式D(p)分解， 并代入式(2.4-1a)， 得到第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 將其展開為部分分式之和)()()()()(21tppppNthn)()()()()()()(1122112211thtpktpktpktpktpkpkp

43、kthiniiininnnn(2.4-3a) (2.4-3b) 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 式中 )()(tpkthiii(2.4-3c) 式(2.4-3b)中的系數k1kn由待定系數法確定， 上式表明一個n階系統可以分解為n個一階子系統之和。 首先討論一階系統的單位沖激響應的一般表示， 再將結果推廣至高階系統。 式(2.4-3c)是一階子系統的單位沖激響應的算子表示。 由式(2.4-3c)，分別得到一階系統的算子方程及微分方程為第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 對式(2.4-4b)的微分方程求解， 先在式(2.4-4b)的等式兩邊同時乘以

44、 )()()()()()(tkthdttdhtkthpiiiiiii (2.4-4a)(2.4-4b) tietitiiitiiietkethdttdhe)()()(第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 得到了hi(t) 的全微分， 即tie)( )()(tkhethedtdiiitii對上式兩邊同時積分 )(_)0()()(| )()( )(_0_0_0tukhthetukhedkdheiiitititiitiii第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 由于因果系統的hi(0-)=0， 因此一階子系統沖激響應的一般項為)()()(tukiethpkpHt

45、iiiii(2.4-5) 代入式(2.4-3b)， 得到n階系統的單位沖激響應為)()()()(1211211tuektuekekekththtinitnttinin(2.4-6) 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 例2.4-1 求例2.2-2系統單位沖激響應h(t)。 解 例2.2-2的傳輸函數由待定系數法分解為 3322) 3)(2()(ppppppH利用式(2.4-5)， 可得 h(t)=(3e-3t-2e-2t)u(t)第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 圖 2.4-2 例2.4-2電路 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域

46、分析 例2.4-2 如圖2.4-2所示電路， 輸入為電流源i(t)， 輸出為電容電壓vC(t)， 試求系統的沖激響應h(t)。 解 由廣義KCL列算子節點方程)(107)7(10)()(1 . 071)()()(1 . 07)()()()(2tipppttippttitppttititiCCCCCL第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 )()320350()(53/2033/5052)5)(2()7(10107)7(10)(52212tueethpppkpkpppppppHtt表2-2列出了部分H(p)與其對應的h(t)， 可以直接應用。 第第2章章 連續時間系統的時域分析

47、連續時間系統的時域分析 表2-2 H(p)所對應的h(t) 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 2.4.2 系統的零狀態響應yzs(t) 當系統的初始狀態（儲能）為零時， 其響應是零狀態響應yzs(t)。 利用系統的單位沖激響應以及LTI系統的時不變性、 比例性以及積分特性， 我們可以得到因果系統的零狀態響應yzs(t)。 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 根據LTI系統的時不變性， 當輸入移位時， (t)h(t)輸出也移位， 可以得到 (t-)h(t-) (2.4-7) 根據LTI系統的比例性， 當輸入乘以強度因子f()時， 輸出也乘以強度因子f

48、()， 又得到 f()(t-)f()h(t-) (2.4-8) 最后利用LTI系統的積分特性， 若輸入信號是原信號的積分， 輸出信號亦是原信號的積分， 可以得到 dthfdtftt)()()()(00第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 式(2.4-9)得到的正是因果系統的零狀態響應yzs(t)。 我們注意到， 這種求解響應的方法與以往求解微分方程不同， 故稱之為時域法； 又由于式(2.4-9)是數學卷積運算的一種形式， 因此也稱卷積法。 當已知f(t)、 h(t)時， 系統的零狀態響應可用式(2.4-9)的卷積計算。 卷積計算時， 積分變量為， t僅是參變量， 計算時按常

49、數處理。 即 dthftytzs)()()(0(2.4-9) 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 卷積計算的具體步驟： 第一步是變量轉換， 將f(t)變為f()， h(t)變為h(t-)； 第二步是將f()與h(t-)兩個函數相乘； 第三步確定積分上、 下限， 也就是找到f()h(t-)相乘后的非零值區； 最后， 對f()h(t-)積分得出零狀態響應yzs(t)。 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 圖 2.4-3 例2.4-3電路 f (t)i(t)1H1 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 例2.4-3 如圖2.4-3所示電

50、路， 已知激勵f(t)=u(t)， 用時域法求i(t)。 解 (pL+R)i(t)=f(t) )()(11)()()(tuethppHRpLtftit第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 將f(t)、 h(t)代入式(2.4-9)()1 ()() 1()(|)()()()()()()()(0)(0)(0)(00tuetueetueetudedtuuedtueuthftitttttttttttt 從以上求解過程， 可以看到時域法是利用系統的沖激響應， 借助卷積積分來完成系統的零狀態響應求解。 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 2.5 卷積及其性質卷積及

51、其性質 2.5.1 卷積 卷積積分指的是兩個具有相同自變量t的函數f1(t)與f2(t)相卷積后成為第三個相同自變量t的函數y(t)。 這個關系表示為dtfftftfty)()()()()(2121(2.5-1) 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 式(2.5-1)是卷積的一般形式， 與2.4節式(2.4-9)公式比較， 若令f1()=f()， f2(t-)=h(t-)， 則變量置換、 相乘、 積分等運算相同,僅積分限不同。 下面說明兩者不同的原因， 即當f1(t)、 f2(t)受到某種限制時， 由卷積的一般公式可以得到與式(2.4-9)相同的表示式。 第第2章章 連續時

52、間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 設f1(t)為因果信號， 即f1(t)=f1(t)u(t)， 而f2(t)不受此限， 則有 dtffdtfuftftf)()()()()()()(212121(2.5-2) 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 再設f2(t)為因果信號， 即f2(t)=f2(t)u(t)， 但f1(t)不受此限， 則 dtffdtutfftftf)()()()()()()(212121(2.5-3)第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 最后設f1(t)、 f2(t)均為有始信號， 即f1(t)=f1(t)u(t)， f2(t)=f

53、2(t)u(t)， 將上面的結果代入式(2.5-1)， 不難得到 此式與式(2.4-9)相同， 表明式(2.4-9)正是在因果信號、 因果系統條件下卷積公式的特例。 0)()()()(21021tdtfftftft第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 2.5.2 任意函數與(t)、 u(t)卷積 (1) f(t)*(t)=f(t) (2.5-4) 證 dtftfdttfdtfttf)()()()()()()()()(111 從f(t)與(t)卷積結果可知(t)是卷積的單位元。 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 (2) f(t)*(t-t1)=f(t-

54、t1) (2.5-5) 證 )()()()()()()(111111ttfdttttfdttftttf第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 由式(2.5-5)可知，任意函數與(t-t1)卷積，相當于該信號通過一個延時（移位）器，如圖2.5-1所示。 圖 2.5-1 (t t1)f (t)f (tt1)延 時t1f (t)f (tt1)第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 (3) dftutf)()()(2.5-6) 由式(2.5-6)可知， 任意函數與u(t)卷積， 相當于信號通過一個積分器， 如圖2.5-2所示。 圖 2.5-2 u(t)f (t)y

55、(t)f (t)y (t)第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 2.5.3 卷積的性質 1. 時移 f(t-t0-t1)=f1(t-t0)*f2(t-t1)=f1(t-t1)*f2(t-t0) =f1(t-t0-t1)*f2(t) =f1(t)*f2(t-t0-t1) (2.5-7) 證 dttftfttfttf)()()()(12011201第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 令-t0=x， 代入上式， 得)()()()()()(102112011201tttftfdtxtftfttfttf 同理可證式(2.5-7)的其它形式。 當f1(t)、 f2

56、(t)、 f3(t)分別滿足可積條件時， 一些代數性質也適合卷積運算。 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 2. 交換律 f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t) (2.5-8) 證 dtffdxtffdtfftftf)()()()()()()()(12122121（令t-=x, d=-dt） （再令x=）第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 f2(t)*f1(t)也稱為卷積的第二種形式， 式(2.5-8)實際應用意義如圖2.5-3所示。 圖 2.5-3 交換律的實用定義 h(t)f (t)y (t)f (t)h(t)y (t)第第2章章 連續時

57、間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 3. 分配律 f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t) (2.5-9) 證)()()()()()()()()()()()()()(31213121321321tftftftfdtffdtffdtftfftftftf式(2.5-9)實際應用意義如圖2.5-4所示。 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 圖 2.5-4 分配律的實用定義f2(t) f3(t)f1(t)y (t)f2(t)f3(t)f1(t)y (t)第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 4. 結合律 f1(t)

58、*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t) (2.5-10) 證ddtfffdtfdfftftftf)()( )()()()()()()(321321321第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 令-=x， =+x， d=dx， 代入上式)()()()()( )(321321tftftfddxxtfxff式(2.5-10)實際應用意義如圖2.5-5所示。 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 圖 2.5-5 結合律的實用定義f2(t)f3(t)f1(t)y (t)f2(t) f3(t)f1(t)y (t)*第第2章章 連續時間系統的時域分

59、析連續時間系統的時域分析 2.5.4 卷積的圖解法 卷積的圖解法是計算卷積的基本方法， 優點是可以直觀確定積分限、 積分條件， 并且作圖方便。 圖解法具體步驟為 (1) f(t)f()， 函數圖形不變， 僅t。 (2) h(t)h(t-)， 它包括兩部分運算: 折疊h(t)h()h(-)； 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 移位 ， t是h(-)與h(t-)之間的“距離”。 (3) 將折疊移位后的圖形h(t-)與f()相乘。 (4) 求h(t-)與f()相乘后其非零值區的積分（面積）。 舉例說明圖解法的具體應用方法。 t0 右移 第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時

60、間系統的時域分析 例2.5-1 f(t)、 h(t)如圖2.5-6所示， 求y(t)=f(t)*h(t)。 圖 2.5-6 例2.5-1的f(t)、h(t)012Ef (t)t10te2th(t)第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 解 具體計算如圖2.5-7所示。 )2(1 2) 1(1 2)2(2)2() 1(1 2)()2(2)1(2)1(2)2(2)1(2tueEtueEtueeEtutueEtyttttt第第2章章 連續時間系統的時域分析連續時間系統的時域分析 圖 2.5-7 例2.5-1圖解法示意圖E012f ()h (t)10 t10t01h ()t0(a)