1、第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部第第1章章 數字邏輯之數字邏輯之邏輯代數邏輯代數 本章重點：本章重點：識別基本邏輯符號，尤其是同或、異或符識別基本邏輯符號，尤其是同或、異或符號。號。掌握邏輯代數的基本規則和定理掌握邏輯代數的基本規則和定理理解最大項、最小項的意義及相互關系。理解最大項、最小項的意義及相互關系。即每種取值組合對應的最小、大項。即每種取值組合對應的最小、大項。熟練掌握公式法化簡、卡諾圖化簡。熟練掌握公式法化簡、卡諾圖化簡。熟練掌握真值表、邏輯函數、卡諾圖三者熟練掌握真值表、邏輯函數、卡諾圖三者之間的轉化。之間的轉化。掌握邏輯函數與邏輯圖的相互轉化關系。掌握邏輯函數與邏輯圖的

2、相互轉化關系。 第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部掌握將函數轉化為：與或（與非與掌握將函數轉化為：與或（與非與非）圈非）圈1合并，或與（或非或非）圈合并，或與（或非或非）圈0合并，與或非式圈合并，與或非式圈0合并。合并。第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部2.1 邏輯代數邏輯代數 2.1.1 邏輯變量與邏輯函數邏輯變量與邏輯函數 邏輯代數中的變量稱為邏輯代數中的變量稱為邏輯變量邏輯變量，一，一般用大寫字母般用大寫字母A、B、 C、表示，表示，邏輯變邏輯變量的取值只有兩種，即邏輯量的取值只有兩種，即邏輯0和邏輯和邏輯1。邏邏輯輯0和和1本身并沒有數值意義，它們并不代本身并沒有數值意義，

3、它們并不代表數量的大小，而僅僅是表示事物二元存表數量的大小，而僅僅是表示事物二元存在狀態。在狀態。第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部邏輯函數邏輯函數描述具有二元狀態的事件之間的描述具有二元狀態的事件之間的邏輯關系，邏輯關系，邏輯函數隨邏輯變量變化而變邏輯函數隨邏輯變量變化而變化，但化，但自變量、函數取值都為自變量、函數取值都為0和和1。 數字電路的輸入、輸出具備二元關系，數字電路的輸入、輸出具備二元關系，因此可以用數字電路來實現邏輯函數。因此可以用數字電路來實現邏輯函數。第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部2.1.2 三種基本邏輯函數三種基本邏輯函數1.與運算與運算(邏輯乘邏輯乘)

4、與運算與運算(邏輯乘邏輯乘)表示：表示：只有當決定一只有當決定一事件結果的所有條件同時具備時，結果事件結果的所有條件同時具備時，結果才能發生才能發生。與邏輯可以用邏輯表達式表示為與邏輯可以用邏輯表達式表示為F=AB 意義：意義：輸入都為一時，輸出才為一輸入都為一時，輸出才為一。第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部UCC(+5V)R3.9kABFV1V2 圖 2-3 二極管與門 第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部表表 2-1 與邏輯運算真值表與邏輯運算真值表 A BF0 00 11 01 10001第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部所謂所謂真值表，就是將自變量的各種可能真值表，就

5、是將自變量的各種可能的取值組合（與關系）與函數的結果一的取值組合（與關系）與函數的結果一一對應列出來的表格形式。一對應列出來的表格形式。真值表與邏輯表達式是等價的，二真值表與邏輯表達式是等價的，二者可以相互轉化。者可以相互轉化。第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部圖 2-2 與門的邏輯符號與門的邏輯符號 FAB(a)(b)&FAB(c)FAB第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部2. 或運算或運算(邏輯加邏輯加) 當決定一事件結果的一個或幾個條當決定一事件結果的一個或幾個條件具備時，結果發生。件具備時，結果發生。這種因果關系稱這種因果關系稱為邏輯加（或）為邏輯加（或）。 或邏輯可

6、以用邏輯表達式表示為或邏輯可以用邏輯表達式表示為F=A+B 意義：輸入有一，輸出就為一意義：輸入有一，輸出就為一 第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部R3.9kBAFV2V1 圖圖 2-6 二極管或門二極管或門 第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部表表 2-2 或邏輯運算真值表或邏輯運算真值表 A BF0 00 11 01 10111第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部圖 2-5 或門的邏輯符號或門的邏輯符號 FAB(a)(b)FAB(c)1FAB第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部 3. 非運算非運算(邏輯非邏輯非) 非運算非運算(邏輯反邏輯反)的意義是的意義是函數值為函數值

7、為輸入值的反輸入值的反。其邏輯表達式為。其邏輯表達式為 AF通常稱通常稱A為反變量，為反變量，A為原變量。為原變量。 第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部 圖圖 2-9 三極管非三極管非 RVRCF(UI)UCC(+5v)A(UO)第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部圖 2-8 非門邏輯符號非門邏輯符號 FA(a)FA(b)1FA(c)第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部4 .復合邏輯運算和復合門復合邏輯運算和復合門 1. 與非、與非、 或非、或非、 與或非邏輯運算與或非邏輯運算與非邏輯運算是與運算和非運算的組與非邏輯運算是與運算和非運算的組合，合， 即即 BAF第2章 邏輯代數及

8、其簡化 電路基礎教學部 或非邏輯運算的特點是當且僅當或非邏輯運算的特點是當且僅當A、B全零全零F才為一。才為一。 與非邏輯運算的特點是當且僅當與非邏輯運算的特點是當且僅當A、B全一全一F才為零。才為零。或非邏輯運算是或運算和非運算的組或非邏輯運算是或運算和非運算的組合，合， 即即 BAF第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部與或非邏輯運算是與、或、非三種運與或非邏輯運算是與、或、非三種運算的組合，即算的組合，即 CDABF課堂思考：課堂思考：如何作出它們的真值表。如何作出它們的真值表。第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部(a) 與非門；與非門； (b) 或非門；或非門； (c) 與或非門

9、與或非門 FFBFA(a)FA&ABBFBFA(b)FAABB1FBADCABCDFBADC1&(c)第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部 2. 異或和同或邏輯運算異或和同或邏輯運算 異或邏輯的特點是：異或邏輯的特點是：當兩個輸入變量當兩個輸入變量相異時，輸出為相異時，輸出為1； 相同時輸出為相同時輸出為0。 異或邏輯的真值表如表異或邏輯的真值表如表2-5所示，所示， 其其邏輯表達式為邏輯表達式為 FABABAB第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部A BF0 00 11 01 10110表表 2-5 異或邏輯真值表異或邏輯真值表 BABA第2章 邏輯代數及其簡化 電路基

10、礎教學部 同或邏輯與異或邏輯相反，同或邏輯與異或邏輯相反，它表示它表示當兩個輸入變量相同時輸出為當兩個輸入變量相同時輸出為1；相異；相異時輸出為時輸出為0。 同或邏輯的真值表如表同或邏輯的真值表如表2-6所示，所示，其邏輯表達式為其邏輯表達式為 F = A BABBA第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部表表 2-6 同或邏輯真值表同或邏輯真值表 A BF0 00 11 01 11001BAAB第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部 異或門和同或門的邏輯符號異或門和同或門的邏輯符號(a) 異或門；異或門； (b) 同或門同或門 FBFA(a)FAAB

11、B 1FBFA(b)FAABB1第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部課后要求：課后要求：熟練掌握各種基本邏輯關系的運算規則。熟練掌握各種基本邏輯關系的運算規則。第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部2.1.3邏輯函數的兩種標準形式邏輯函數的兩種標準形式 最小項和最小項表達式最小項和最小項表達式 最小項最小項是全部輸入變量構成的是全部輸入變量構成的乘積項乘積項。其中每個變量都以原變量或反變量）的形其中每個變量都以原變量或反變量）的形式出現一次且只能一次。式出現一次且只能一次。該乘積項取值為該乘積項取值為1。 一種輸入變量的取值組合對應一個最一種輸入變量的取值組合對應一個最小項，僅帶入該乘積

12、項值為小項，僅帶入該乘積項值為1，帶入其他最，帶入其他最小項值為小項值為0。n個輸入變量構成個輸入變量構成2n個最小項。個最小項。 第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部表 2-8 三變量邏輯函數的最小項三變量邏輯函數的最小項 第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部最小項也可用代號最小項也可用代號mi表示。表示。其其下標下標i i為為取值組合所表示的十進制數；取值組合所表示的十進制數；第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部最小項具有以下性質：最小項具有以下性質： n變量的全部最小項的邏輯和恒為變量的全部最小項的邏輯和恒為1， 1120niim 任意兩個不同的最小項的邏輯乘恒為任意兩個不同

13、的最小項的邏輯乘恒為0 )(0jimmji第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部 2. 最小項表達式最小項表達式標準與或式標準與或式 如果在一個與或表達式中，所有與項如果在一個與或表達式中，所有與項均為最小項，均為最小項， 則稱這種表達式為則稱這種表達式為最小項表最小項表達式達式，或稱為標準與或式、標準積之和式。，或稱為標準與或式、標準積之和式。 CABCBACBACBAF),( 它也可以簡寫為它也可以簡寫為 )6 , 5 , 4(),(645mmmmCBAF第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部)15,14,12, 8 , 7 , 4 , 3 , 0(),()()()(048123714

14、15mmmmmmmmmDCBAFACBADCBADCBADCABCDBABCDADABCABCDFDCBBAACDBBADDABCFDCCDAABCF或寫成：轉化為最小項表達式。將非標準與或式向標準與或式的轉化。非標準與或式向標準與或式的轉化。若某一乘積項分解為幾個最小項之和，若某一乘積項分解為幾個最小項之和，則這些最小項彼此相鄰。則這些最小項彼此相鄰。第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部邏輯函數與真值表的相互轉化邏輯函數與真值表的相互轉化 將真值表中使函數值為將真值表中使函數值為1的所有輸入的所有輸入組合所對應的最小項相或便可由真值表得組合所對應的最小項相或便可由真值表得出該函數的標準與

15、或表達式。它表明那出該函數的標準與或表達式。它表明那些輸入組合使函數值為些輸入組合使函數值為1。 將真值表中使函數值為將真值表中使函數值為0的所有輸入的所有輸入組合所對應的最小項相或，便可由真值表組合所對應的最小項相或，便可由真值表得出該得出該反反函數的標準與或表達式。它表函數的標準與或表達式。它表明那些輸入組合使函數值為明那些輸入組合使函數值為0。 第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部A B CF0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101101011第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部 2.4.2 最大項和最大項表達式最大項和最大項表達式 1

16、. 最大項最大項 最大項最大項是全部輸入變量的是全部輸入變量的或項或項，其中，其中每個變量都以原變量或反變量的形式出現每個變量都以原變量或反變量的形式出現一次且只能一次。一次且只能一次。每一種輸入變量的取值組合對應一個每一種輸入變量的取值組合對應一個最大項。僅帶入該和項值為最大項。僅帶入該和項值為0，帶入其他最帶入其他最大項值為大項值為1。n個變量可以構成個變量可以構成2n個最大項。個最大項。第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部表 三變量邏輯函數的最大項三變量邏輯函數的最大項第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部最大項也可用代號最大項也可用代號Mi表示表示(見表見表2-10)。其下標其下

17、標i i為對應為對應的取值組合所表示的十進的取值組合所表示的十進制數；制數；第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部2. 最小項與最大項之間的關系最小項與最大項之間的關系 1. 一個取值組合所對應一個取值組合所對應的的最小項與最大最小項與最大項的下標是相同的。項的下標是相同的。 它們之間互為邏輯非它們之間互為邏輯非關系。關系。iiiimMMm,第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部1500)12( (. 4. 3. 2MDCBAmDCBAmMmMmFmFmFiiijjiiijjiin：則比如：則第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部 最大項具有以下性質：最大項具有以下性質： n變量的全部最

18、大項的邏輯乘恒為變量的全部最大項的邏輯乘恒為0， 1200niiM n變量的任意兩個不同的最大項的邏輯變量的任意兩個不同的最大項的邏輯和必等于和必等于1，即，即 )( 1jiMMji第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部 3. 最大項表達式最大項表達式標準或與式標準或與式 在一個或與式中，如果所有的或項均在一個或與式中，如果所有的或項均為最大項，則稱這種表達式為最大項表達為最大項，則稱這種表達式為最大項表達式，或稱為標準式，或稱為標準或與式或與式、標準和之積表達、標準和之積表達式。式。將真值表中函數值為將真值表中函數值為0所對應的所有最所對應的所有最大項相與便可大項相與便可由真值表得到該函數

19、的最大由真值表得到該函數的最大項表達式。它表明那些輸入組合使函數值項表達式。它表明那些輸入組合使函數值為為0。第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部表 2-11 真值表真值表 A B C F0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 11 1 0 0 1 1 0 0 第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部2.1.4 邏輯函數與邏輯圖的相互轉化邏輯函數與邏輯圖的相互轉化 用邏輯符號及其連線表示基本單元用邏輯符號及其連線表示基本單元電路及其組合稱為邏輯圖電路及其組合稱為邏輯圖。邏輯圖也是。邏輯圖也是邏輯函數的一種表示方式。邏輯函數的一種表示方式。用邏輯符號及其

20、連線來代替邏輯函用邏輯符號及其連線來代替邏輯函數中的邏輯運算，就可得到函數的邏輯數中的邏輯運算，就可得到函數的邏輯圖。圖。第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部繪出繪出 Z=AB+BC+CA的邏輯圖。的邏輯圖。ACBZ第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部Z=(A B)CZABCA B 第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部2.2 邏輯代數的基本定律和邏輯代數的基本定律和規則規則 2.2.1 基本定律基本定律 交換律交換律 AB=BA A+B=B+A結合律結合律 (AB)C=A(BC) (A+B)+C=A+(B+C)分配律分配律 A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)

21、第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部3. 邏輯代數中的邏輯代數中的特殊定律特殊定律反演律反演律 (De Morgan定律)： BABABABA還原律還原律： AA 第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部目的：便于物理實現邏輯表達式。目的：便于物理實現邏輯表達式。方法：對與或式兩次去反。方法：對與或式兩次去反。最簡與或式轉化為與非與非式最簡與或式轉化為與非與非式ACCBBAZZACCBBAACCBBAZACCBBAz轉化為與非與非式。將第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部.第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部 2.2.2 三個重要規則三個重要規則 1. 代入規則代入規則 任何一個邏

22、輯等式，如果將等式兩邊任何一個邏輯等式，如果將等式兩邊所出現的某一變量都代之以同一邏輯函所出現的某一變量都代之以同一邏輯函數，則等式仍然成立，這個規則稱為代數，則等式仍然成立，這個規則稱為代入規則。入規則。代入規則的實質是將表達式視為變代入規則的實質是將表達式視為變量參與運算。量參與運算。 CBACBACBA第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部 2. 反演規則反演規則 對于任意一個邏輯函數式，如果將其算對于任意一個邏輯函數式，如果將其算符符“”換成換成“+”， “+”換成換成“”，常量，常量“0”換成換成“1”，“1”換成換成“0”，原變量換，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則所得到的

23、成反變量，反變量換成原變量，則所得到的結果就是結果就是 ，稱為原函數的反函數，稱為原函數的反函數，運用它運用它可以簡便地求出一個函數的反函數。可以簡便地求出一個函數的反函數。注意：注意： 運算順序是按運算順序是按“先與后或先與后或”。原式的原式的與運算變或運算后，或表達式用括號與運算變或運算后，或表達式用括號括起來，保證運算次序在變換前后不變。括起來，保證運算次序在變換前后不變。 F第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部 “長長”非號不變非號不變，里面的表達式作變化里面的表達式作變化。 ,EDCBAF。EDCBAF若若則則若若ACDCABF則則);()(CADCBAF第2章 邏輯代數及其簡化

24、 電路基礎教學部 3. 對偶規則對偶規則 對于任何一個邏輯函數，如果將其表達對于任何一個邏輯函數，如果將其表達式式F中所有的算符中所有的算符“”換成換成“+”, “+”換成換成“”，常量，常量“0”換成換成“1”，“1”換成換成“0”， 而變量保持不變而變量保持不變，則得出的邏輯函數式就是，則得出的邏輯函數式就是F的對偶式，記為的對偶式，記為F(或或F*)。 第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部必須注意，與反演規則相同必須注意，與反演規則相同，由原式，由原式求對偶式時，運算的順序不能改變，求對偶式時，運算的順序不能改變， 且式且式中的非號也保持不變。中的非號也保持不變。 通過對偶規則，可以

25、將通過對偶規則，可以將或與式轉變為或與式轉變為與或式與或式。 第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部以上各例中以上各例中F是是F的對偶式。的對偶式。F也是也是F對偶對偶式。式。 對偶兩次就還原，即對偶兩次就還原，即F與與F互為對偶互為對偶式式。 第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部2.2.3 化簡必用公式化簡必用公式 吸收律吸收律 1 ABAAB 在邏輯代數中，如果兩個乘積項分別在邏輯代數中，如果兩個乘積項分別包含了一個互補的因子包含了一個互補的因子(如如B和和B)， 而其而其它因子都相同，那么這兩個乘積項稱為它因子都相同，那么這兩個乘積項稱為相相鄰項鄰項。 吸收律吸收律1說明，說明，兩

26、個相鄰項可以合并為兩個相鄰項可以合并為一項，一項， 消去互補量。消去互補量。 第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部FABCDABCDACDFABCABCABCABCACACA例：第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部 吸收律吸收律 2 A+AB=A 該公式說明，在一個與或表達式中，該公式說明，在一個與或表達式中，如果如果某一乘積項的部分因子某一乘積項的部分因子(如如AB項中的項中的A)恰好等于另一乘積項恰好等于另一乘積項(如如A)的全部，的全部， 則該則該乘積項乘積項(AB)是多余的。是多余的。 第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部吸收律吸收律 3BABAA該公式說明，該公式說明，在

27、一個與或表達式中，在一個與或表達式中，如果一個乘積項如果一個乘積項(如如 )取反后是另一個乘積取反后是另一個乘積項項(如如 ）的因子，則此因子）的因子，則此因子 是多余的。是多余的。BAAA第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部 例 ()FAB AC BCABA B CAB ABCAB CFA ABCD CA BCD CA BD C第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部吸收律吸收律 4 CAABBCAABCCAABBCAACAABBCCAABCAABBCCAAB)( 證： 推論：推論： ABACBCDABAC第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部 該公式及推論說明，在該公式及推論說明，在

28、一個與或表達一個與或表達式中，如果兩個乘積項中的部分因子互補式中，如果兩個乘積項中的部分因子互補(如如AB項和項和AC項中的項中的A和和A)，而這兩個乘，而這兩個乘積項中的其余因子積項中的其余因子(如如B和和C)都是第三個乘都是第三個乘積項中的因子，積項中的因子， 則這個則這個第三項第三項是多余的。是多余的。出現冗余因子的項，一般而言其余因出現冗余因子的項，一般而言其余因子都為其他某兩個乘積項的第三項。子都為其他某兩個乘積項的第三項。 第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部FABCAD CD BDABCACD BDABCACDABCAD CDFAB ACADE CDAB AC CD ADEA

29、B AC CD例第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部配項法 DCBACDABCBACDABABCBACDBACBACCBDBDAACF)(第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部ABCACBABCACBBAABCABCCBBAABBCCBBAF第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部公式法化簡的基本思路：公式法化簡的基本思路：視野開闊，首先利用利用吸收法視野開闊，首先利用利用吸收法1、2化簡。觀察相鄰項（變量數相同的化簡。觀察相鄰項（變量數相同的2個個乘積項），尋求用變量數少的乘積項吸收乘積項），尋求用變量數少的乘積項吸收變量數多的乘積項。變量數多的乘積項。其次用分配律提出公共變量并合并盡

30、其次用分配律提出公共變量并合并盡可能多的乘積項。可能多的乘積項。 第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部每個乘積項都是每個乘積項都是“短小精干短小精干”的或的或者沒有明顯的可以合并或吸收的項。考者沒有明顯的可以合并或吸收的項。考慮用配項法，先增加一個第三項，用第慮用配項法，先增加一個第三項，用第三項與其他乘積項作用吸收生成該第三三項與其他乘積項作用吸收生成該第三項兩個的乘積項，起到以退為進的目的。項兩個的乘積項，起到以退為進的目的。出現冗余因子的項，尋找其余因子出現冗余因子的項，尋找其余因子是否為其他兩個乘積項的第三項，考慮是否為其他兩個乘積項的第三項，考慮用吸收法用吸收法4吸收。吸收。用多

31、種化簡可能時，先觀察幾步，用多種化簡可能時，先觀察幾步，找到最好的化簡途徑。找到最好的化簡途徑。 第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部3456()()FACDAC BDAB ADFABADEABFADABE DFACCDACDADABCDABCFABAB BCBC)()()()()()()()()()(21CBADCDCBBADCACBAFFEDFBFECADBCABAAF化為最簡與或表達式：第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部2.6 邏輯函數的卡諾圖化簡邏輯函數的卡諾圖化簡 2.6.1 從真值表到卡諾圖的轉化從真值表到卡諾圖的轉化 如果將真值表

32、轉換為方格的形式，將輸入如果將真值表轉換為方格的形式，將輸入變量分為兩組（按循環碼規則排列）分別確定變量分為兩組（按循環碼規則排列）分別確定方格的列取值和行取值，這種方格圖稱方格的列取值和行取值，這種方格圖稱卡諾圖。卡諾圖。卡諾圖中的方格對應一個最小項。方格的取值卡諾圖中的方格對應一個最小項。方格的取值即為原來真值表中該最小項對應的函數。卡諾即為原來真值表中該最小項對應的函數。卡諾圖較真值表能夠清楚地反映出最小項之間的邏圖較真值表能夠清楚地反映出最小項之間的邏輯相鄰輯相鄰,可以方便的進行函數的化簡可以方便的進行函數的化簡。 第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部A B CF0 0 00 0

33、10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101101011第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部圖圖 2-13 三變量三變量K圖圖 第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部圖圖 2-14 四變量四變量K圖圖 第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部2.6.2 邏輯函數的卡諾圖表示法邏輯函數的卡諾圖表示法 1. 邏輯函數的最小項表達式邏輯函數的最小項表達式在卡諾圖上，將這些最小項對應的方在卡諾圖上，將這些最小項對應的方格填格填1，其余的方格填，其余的方格填0(或不填或不填)。反之任何一個邏輯函數都等于其卡諾反之任何一個邏輯函數都等于其卡諾圖上填圖上填1的那些方格所對應的最小

34、項之和的那些方格所對應的最小項之和。 第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部例：例： 用卡諾圖表示函數用卡諾圖表示函數)6 , 4 , 3 , 0(1mF第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部)15,12,10, 9 , 7 , 4 , 2 , 0(2mF第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部 2. 給出邏輯函數的最大項表達式給出邏輯函數的最大項表達式在卡諾圖上，將這些最大項對應在卡諾圖上，將這些最大項對應的方格填的方格填0，其余的方格填，其余的方格填1(或不填或不填)。反之任何一個邏輯函數都等于其反之任何一個邏輯函數都等于其卡諾圖上填卡諾圖上填0的那些方格最大項之積的那些方格最大項之積

35、。 第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部0ABC00011110010011111)()()6 , 2 , 0(4CBACBACBAMF第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部 K圖具有如下特點：圖具有如下特點： n變量的卡諾圖有變量的卡諾圖有2n個方格，對應表示個方格，對應表示2n個最小（大）項。個最小（大）項。 卡諾圖中任何幾何位置相鄰的卡諾圖中任何幾何位置相鄰的2n個值個值相同的方格，在邏輯上都是相同的方格，在邏輯上都是相鄰相鄰的。的。 所謂幾何相鄰，一是相接，即緊挨著；所謂幾何相鄰，一是相接，即緊挨著； 二是相對，即任意一行或一列的兩頭；三二是相對，即任意一行或一列的兩頭；三是相重

36、，是相重， 即對折起來位置重合。即對折起來位置重合。 第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部卡諾圖中最小項的合并規則卡諾圖中最小項的合并規則 在卡諾圖上將幾何位置相鄰的方格圈在卡諾圖上將幾何位置相鄰的方格圈起來稱為起來稱為卡諾圈。卡諾圈。 在卡諾圖中，凡是在卡諾圖中，凡是幾何位置相鄰的值幾何位置相鄰的值相同的方格均可以合并相同的方格均可以合并。兩個相鄰方格合并為一項，消去一個兩個相鄰方格合并為一項，消去一個互補變量。合并后的與項由圈內沒有變化互補變量。合并后的與項由圈內沒有變化的那些變量按照的那些變量按照1為原變量、為原變量、0為反變量所為反變量所組成。組成。第2章 邏輯代數及其簡化 電路基

37、礎教學部第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部四個相鄰方格合并為一項，消去了四個相鄰方格合并為一項，消去了兩個變量，合并后的與項由圈內沒有變兩個變量，合并后的與項由圈內沒有變化的那些變量按照化的那些變量按照1為原變量、為原變量、0為反變為反變量所組成。量所組成。八個相鄰方格合并為一項，消去了八個相鄰方格合并為一項，消去了三個變量，合并后的與項由圈內沒有變三個變量，合并后的與項由圈內沒有變化的那些變量按照化的那些變量按照1為原變量、為原變量、0為反變為反變量所組成。量所組成。 第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學

38、部 綜上所述：綜上所述： 任何一個合并圈任何一個合并圈(即卡諾圈即卡諾圈)所含的所含的方格數為方格數為2n個。個。 必須按照相鄰規則畫卡諾圈，幾何必須按照相鄰規則畫卡諾圈，幾何位置相鄰包括三種情況：一是位置相鄰包括三種情況：一是相接相接，即緊，即緊挨著的方格相鄰；二是挨著的方格相鄰；二是相對相對，即一行，即一行(或或一列一列)的兩頭、兩邊、四角相鄰；三是的兩頭、兩邊、四角相鄰；三是相相重重，即以對稱軸為中心對折起來重合的位，即以對稱軸為中心對折起來重合的位置相鄰。置相鄰。 第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部 2m個方格合并，消去個方格合并，消去m個變量。個變量。合合并圈越大，消去的變量數

39、越多。并圈越大，消去的變量數越多。 最小項的合并規則，對最大項的合并最小項的合并規則，對最大項的合并同樣是適用的。只是最大項的合并時將卡同樣是適用的。只是最大項的合并時將卡諾圖中相鄰的諾圖中相鄰的0格圈在一起。格圈在一起。合并后的或合并后的或項由圈內沒有變化的那些變量按照項由圈內沒有變化的那些變量按照0為原為原變量、變量、1為反變量所組成。為反變量所組成。第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部C+DB+DB+C+D第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部 3. 給出邏輯函數的一般與或式給出邏輯函數的一般與或式 使每一個乘積項為使每一個乘積項為1的各變量取值組合的各變量取值組合所對應的方格填所

40、對應的方格填1其余的填其余的填0(或不填或不填)，就可，就可以得到原函數的卡諾圖。（某些項重復，以得到原函數的卡諾圖。（某些項重復，填一次即可。）填一次即可。） 使每一個乘積項為使每一個乘積項為1的各變量取值組合的各變量取值組合所對應的方格填所對應的方格填0其余的填其余的填1(或不填或不填)，就可，就可以得到反函數的卡諾圖。（某些項重復，以得到反函數的卡諾圖。（某些項重復，填一次即可。）填一次即可。） 第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部ABCD00011110111111111100011110FABCABCDAD第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部FABCABCD第2章 邏輯代數及

41、其簡化 電路基礎教學部3. 給出邏輯函數的一般或與式給出邏輯函數的一般或與式 使每一個和項為使每一個和項為0的各變量取值組合的各變量取值組合所對應的方格填所對應的方格填0其余的填其余的填1(或不填或不填)，就，就可以得到該函數的卡諾圖。（某些項重可以得到該函數的卡諾圖。（某些項重復，填一次即可。）復，填一次即可。）第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部CCABADCBAF)()(ABCD000111100000000000000011110第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部2.6.4 用卡諾圖化簡邏輯函數用卡諾圖化簡邏輯函數 1. 求最簡與或式求最簡與或式先將邏輯函數用卡諾圖表示，在卡

42、諾先將邏輯函數用卡諾圖表示，在卡諾圖上圖上按最小項的合并規則合并所有按最小項的合并規則合并所有1的方的方格，就可以求得邏輯函數的最簡與或式。格，就可以求得邏輯函數的最簡與或式。如果合并所有如果合并所有0的方格，化簡得到反的方格，化簡得到反函數的最簡與或式函數的最簡與或式 第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部先從一個先從一個1格開始圈起，格開始圈起，K圈應盡量大圈應盡量大(對應與項中變量數最少對應與項中變量數最少)，“ 圈圈2找找4，圈圈4找找8 ”。找另一個從未被圈過的找另一個從未被圈過的1格重復的步格重復的步驟，直到不能找出新的從未被圈過的最驟，直到不能找出新的從未被圈過的最小項為止。小

43、項為止。任何一個任何一個1格可以多次被圈用，格可以多次被圈用，但如果但如果在某個在某個K圈中所有格均已被別的圈中所有格均已被別的K圈圈圈圈過，則該圈為多余圈。過，則該圈為多余圈。第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部 將每個將每個K圈寫成相應的與項（該與圈寫成相應的與項（該與項為項為K圈中取值不變的邏輯變量的乘積）圈中取值不變的邏輯變量的乘積） 并將它們相或，并將它們相或， 便得到最簡與或式。便得到最簡與或式。 4為了保證最簡要求以最少的卡諾圈為了保證最簡要求以最少的卡諾圈數和盡可能大的卡諾圈覆蓋所有填數和盡可能大的卡諾圈覆蓋所有填1的方的方格。格。第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部例

44、例 求求 ABCDCABDCBDBACDBF的最簡與或式的最簡與或式。 FBCACDBCDABD第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部例例 求求 (0,2,8,10,12,14,15)Fm的最簡的最簡與或與或式。式。 FBDADABC0ABCD0001111011001111010110000011110第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部 2. 求最簡或與式求最簡或與式要求出某函數的最簡或與式，要求出某函數的最簡或與式， 可以可以在該函數的卡諾圖上在該函數的卡諾圖上按照最大項的規則按照最大項的規則合并那些合并那些0格的相鄰項。這種方法簡稱為格的相鄰項。這種方法簡稱為圈圈0合并合并， 其

45、化簡步驟及化簡原則與圈其化簡步驟及化簡原則與圈1合并類同。合并類同。第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部例例 求求 CCABADCBAF)()(的最簡或與式的最簡或與式。 ABCD000111100000000000000011110)(BADBACF第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部例例 求求 )13,11, 9 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 1 (mF的最簡的最簡或非或非或非或非式。式。 )()(CBADADBF0ABCD0001111011001111010110000011110)()()()()(CBADADBCBADADBF第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎

46、教學部卡諾圖上，對“0”方格對應的所有相鄰最大項合并，得到原函數的最簡或與式。對“0”方格對應的所有相鄰最小項合并，得到反函數的最簡與或式。第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部2.7 具有任意項的邏輯函數的化簡具有任意項的邏輯函數的化簡 2.7.1 非完全描述的邏輯函數非完全描述的邏輯函數 邏輯問題分為完全描述和非完全描述兩邏輯問題分為完全描述和非完全描述兩種。種。如果對于如果對于n輸入變量的所有輸入變量的所有2n組取值，組取值，邏輯函數都有確定的值，則稱這類函數為完邏輯函數都有確定的值，則稱這類函數為完全描述邏輯函數。全描述邏輯函數。第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部如果對于如果對于n輸入變量的輸入變量的2n取值組合中取值組合中有有m組取值邏輯函數值不確定，函數值可組取值邏輯函數值不確定，函數值可以為以為0，也可以為，也可以為1。那么這類函數稱為。那么這類函數稱為非完全描述的邏輯函數。非完全描述的邏輯函數。這這m組取值組合所對應的最小項稱為組取值組合所對應的最小項稱為任意項，或約束項。任意項，或約束項。 第2章 邏輯代數及其簡化 電路基礎教學部在邏輯表達式中，用等于在邏