1、經驗模式分解摘 要近些年來,隨著計算機技術的高速發展與信號處理技術的不斷提高,人們對圖像的分析結構的要求也越來越高。目前圖像處理已經發展出很多分支,包括圖像分割、邊緣檢測、紋理分析、圖像壓縮等。經驗模式分解(EMD)是希爾伯特-黃變換(Hilbert-HuangTransform)中的一部分,它是一種新的信號處理方法,并且在非線性、非平穩信號處理中取得了重大進步,表現出了強大的優勢與獨特的分析特點。該方法主要是將復雜的非平穩信號分解成若干不同尺度的單分量平穩信號與一個趨勢殘余項,所以具有自適應性、平穩化、局部性等優點。鑒于EMD方法在各領域的成功應用以及進一步的發展,國內外很多學者開始將其擴展

2、到了二維信號分析領域中,并且也取得的一定的進展。但是由于二維信號不同于一種信號,限于信號的復雜性和二維數據的一些處理方法的有限性,二維經驗模式分解(BEMD)在信號分析和處理精度上還存在一些問題,這也是本文要研究和改善的重點。關鍵詞：圖像處理；信號分解；BEMDAbstractIn recent years, with the rapid development of computer technology and the continuous improvement of signal processing technology, the demand for the analysis st

3、ructure of the image is becoming more and more high. At present, many branches have been developed in image processing, including image segmentation, edge detection, texture analysis, image compression and so on. Empirical mode decomposition (EMD) is a part of Hilbert Huang transform (Hilbert-HuangT

4、ransform). It is a new signal processing method, and has made significant progress in nonlinear and non-stationary signal processing, showing strong advantages and unique analysis points. This method mainly decomposes the complex non-stationary signals into several single scale stationary signals wi

5、th different scales and a trend residual term, so it has the advantages of adaptability, stationarity and locality. In view of the successful application and further development of EMD method in many fields, many scholars at home and abroad have expanded it to the two-dimensional signal analysis fie

6、ld, and have made some progress. However, because two dimensional signal is different from one signal, it is limited to the complexity of signal and the processing methods of two-dimensional data. Two-dimensional empirical mode decomposition (BEMD) still has some problems in the accuracy of signal a

7、nalysis and processing, which is also the important point of research and improvement in this paper.Key words: image processing; signal decomposition; BEMD目 錄摘 要2第一章 概況52.EMD方法原理62.1 本征模函數62.2 .EMD分解過程62.3.分解舉例：73. BEMD分解原理93.1 圖像極值點的選取：93.2 Delaunay 三角剖分103.3 基于三角網絡的曲面插值123.4 分解方法123.5 BEMD 分解停止準則1

8、34 二維經驗模態分解在圖像處理中的應用144.1圖像分解實例144.2圖像降噪155總結16參考文獻17第一章 概況隨著計算機技術的不斷發展和其應用領域的不斷擴展，數字圖像處理技術得到了迅猛的發展，涉及信息科學、計算機科學、數學、物理學以及生物學等學科，因此數理及相關的邊緣學科對圖像處理科學的發展有越來越大的影響。近年來，數字圖像處理技術日趨成熟，它廣泛應用于空間探測、遙感、生物醫學、人工智能以及工業檢測等許多領域，并促使這些學科產生了新的發展。數字圖像處理就是利用計算機對圖像進行處理，其任務是將原圖像的灰度分布作某種變換，使圖像中的某部分信息更加突出，以使其適應于某種特殊的需求。目前數字圖

9、像處理已經發展出很多分支，包括圖像分割、邊緣檢測、紋理分析、機器視覺等領域。 多分辨率多尺度是人類視覺高效、準確工作的重要特征之一。自然產生的圖像大多包含大量不同尺度的信息，這些信息在一幅圖像中同時出現。而對圖像的應用研究往往僅限于某一尺度或某些尺度上的現象，或者只需要某些尺度的信息；其他尺度的信息往往會對處理結果有不良影響，或者增大了處理的難度和復雜性。所以把圖像信息按尺度進行分離非常必要。多尺度圖像分解可以消除其他無用尺度信息對處理結果的影響，也簡化了處理的難度和復雜性；也是圖像目標識別和邊緣檢測等處理過程的預處理方法之一。 圖像可以看作二維的隨機信號，因此也可以通過對一維隨機信號處理方法

10、的二維擴展實現。經典的信號處理方法是傅立葉譜分析法，其必須對信號進行全局分析，不具備局部性，只適合線形和平穩信號分析。為了分析非平穩與非線性信號，人們發展了信號的時頻分析法，如短時傅立葉變換、Wigner-Ville 分布以及小波變換等。由于所有的這些時頻分析方法都是以 Fourier 變換為最終理論依據，故有一定難以克服的局限性，難以在時頻分析的方法中取得突破。為了克服這些弊端，1998 年, Huang1等人提出了一種具有自適應時頻分辨能力的信號分析方法經驗模式分解（EMD，Empirical Mode Decomposition）。鑒于經驗模式分解在一維信號處理方面已經獲得巨大的成功，將

11、其推廣到二維情況，將圖像按尺度從小到大進行分離，小尺度信息包含了圖像的細節信息，剩余的大尺度信息表達了圖像的基本趨勢和結構，將會給圖像處理領域提供一種新的有效的數據處理手段。 2.EMD方法原理大多數的工程實際信號都是由多頻分量組成的,這種模式下的信號性質很復雜不容易分析。而單分量的信號在任一時間只有一個頻率或一個頻率窄帶的信號,對人們來說分析起來即直觀又明了,同時很容易進行進一步的深入處理。所以將多分量信號分解成若干個單分量的信號形式就是信號處理領域需解決的重點EMD的分解過程就是將復雜信號單分量化,也就是說,對原始數據序列通過EMD分解成若干個本征模函數(IMF)和一個殘余分量。2.1 本

12、征模函數在物理上,一個函數的瞬時頻率有意義,那么這個函數序列必須是對稱的、局部均值為零、具有相同的過零點和極值點數目。在這樣的條件下,N.E.Huang等人提出了本征模函數(Intrinsic Mode Function,簡稱IMF)的概念2。假設任何信號都是由若干本征模函數組成,一個信號都可以包含若干個本征模函數,如果本征模函數之間相互重疊,便形成復合信號。EMD分解的目的就是為了獲取本征模函數。本征模函數形成條件有以下兩個:1.函數在整個時間范圍內,局部極值點和過零點的數目必須相等或最多相差一個;2.在任意時刻點,局部最大值的包絡(上包絡線)和局部最小值的包絡(下包絡線)平均值必須為零。2

13、.2 .EMD分解過程EMD分解方法進行是需要一定條件(1)整個信號中至少存在一個極大值點和一個極小值點。(2)兩個相鄰的極大值點或者是兩個相鄰的極小值點間的時間間隔作為EMD分解的尺度特征。(3)如果信號中不存在任何極值點,但是有拐點,可以通過一階或者多階微分求得極值點,最后再對分量求積分獲得結果。如果信號滿足以上3個條件,則這個信號就可以進行EMD的分解。具體的實現過程是：設原數據序列為 f(t)，首先對f(t) 選取局部極值(包括極小值和極大值)，所有的極大值的插值曲線連接作為包絡的上界，所有的極小值的插值曲線連接作為包絡的下界，包絡的上下界將覆蓋所有的數據，得到極大值包絡數據 Emax

14、(t)和極小值包絡數據 Emin(t)。由這兩條包絡得到一個均值函數e1,即：e1=Emaxt+Emin(t)2e1 與原始信號 f(t)的差量定義為分量d1，即d1=ft-e1考察d1 是否為 IMF 函數。實際上d1局部包絡均值不為零，也并未達到分離騎行波和使波形更加對稱的目的。所以處理過程必須重復進行多次，直到得到內稟模式函數為止。在第二次的篩分過程中，d1被作為數據，d1-e11=d11其中e11 為d1 的平均值。處理過程重復 k 次后，此時有：d1(k-1)-e1k=d1k定義c1=d1k，c1滿足 IMF 條件，即為從原數據f(t)分離出的第一個 IMF。SD=t=0T|d1k-

15、1t-d1kt|2d1kt2通常 SD 值可以設置為 0.20.3，即滿足 0.2<SD<0.3 時本層篩分過程結束。2.3.分解舉例：原始信號極大值點極大值包絡曲線極小值點極小值包絡包絡極大值和極小值的包絡均值從原始信號中減去均值后的余項根據IMF滿足的條件，考察其是否為IMF。若不是，則繼續進行上面過程，直至得到IMF為止。3. BEMD分解原理BEMD的分解過程與一維的EMD分解類似,只是在極值點求取、包絡面的構造等算法上存在不同,其次是二維的處理信息量很大,其空間和時間上的相關性也會影響到整個分解過程。信號可以進行BEMD分解的假設條件是3:(1)在二維數據平面中,至少包含

16、一個極大值點和一個極小值點;如果整個二維數據平面內不存在極值點,但可通過求導運算后求得一個極大值點和一個極小值點。(2)二維分量的提取是以二維數據中的極值點之間的距離作為特征尺度。3.1 圖像極值點的選取：圖像的數據存儲形式是柵格結構，柵格結構將圖像劃分成均勻分布的柵格，這些柵格就是通常所說的像素。圖像數據數列中的局部極值點的求取常見的有兩種方法:一種方法是在像素點的8鄰域中尋找極值點,即與8鄰域點做灰度值比較確定極值點;另一種方法是利用數學形態學方法尋找極值點4。這里采用的是8鄰域法尋找極值點。對于一幅灰度圖像,設左上角為坐標原點,水平方向為X軸,豎直方向為Y軸,建立二維坐標平面XOY,對于

17、任意像素點(i,j)在圖像中存在三種形式:(i,j)是圖像的內部點、(i,j)是圖像的邊界點、(i,j)是圖像的角點。如圖所示。 圖像內部點 圖像邊點圖像角點 由于像素點的位置不同,對應周圍鄰域的大小不同,因此在提取灰度圖像極值時,將像素點(i,j)的灰度值分別與對應鄰域像素的灰度值進行比較。如果是圖像內部的點, 將點(i,j)的灰度值與周圍的8鄰域進行比較。同理,圖像邊界上的點和角點分別與周圍5鄰域和3鄰域進行比較,由于5鄰域和3鄰域是8鄰域的特殊情況,因此這種提取灰度圖像極值的方法也稱為8鄰域比較法 這種方法簡單、檢出的極值點完全，但計算量較大，需要時間相對長。3.2 Delaunay 三

18、角剖分找出圖像數據序列中的所有極值點后,它們在二維平面上是一個散亂分布的狀態,也就是說它們構成了一個離散的點集,需要按一定的鄰接關系將它們有序地組織起來,以便在空間上進行曲面插值擬合,形成極值的包絡面。因為三角形能夠最好的逼近不規則的多邊形曲面,因此常用三角形平面做逼近5。Delaunay 三角剖分( DT, Delaunay Triangulation)可追溯到于 1907 年提出的 G. Voronoi 圖，后來 Delaunay 在 1932 年提出了解決該剖分完整而實用的方法，近幾十年來該算法不斷得到改進，以適應不同的應用。DT 也就是最近點意義下的 Voronoi圖的直線對偶圖，Vo

19、ronoi 圖由許多胞元組成，每一個胞元包含點集中的一個點(每兩點的垂直平分線將平面分成兩部分，與某點對應的胞元實際是該點與點集中每個點垂直平分線在平面內所形成的交集)，連接相鄰胞元中兩個點(直線段)便形成點集DT。DT 具有很多性質，剖分中常用的性質有最小內角最大和最大空圓原則。最小內角最大原則：對于一個凸四邊形的兩種剖分，DT 獲得的兩個三角形中的最小內角最大。 最大空圓原則：剖分中任一三角形的外接圓(三維為外接球面,高維為超球面)內不含有點集中的任何其他點。 最小內角最大原則又稱為局部最優準則,這樣獲得的剖分稱為局部最優(或局部等角)。 （1） （2）兩種不同的分割方式:從圖中可以看到，

20、任何相鄰四個孤立的點可以有兩種不同的刨分形式，如果按照DT的最小內角最大的原則刨分的話，第一種形式滿足條件要求，因為第二種形式的最小內角明顯小于第一種形式的最小內角。第二種刨分模式會引起三角網格化出現大量的尖角形式的三角形式，所以要選擇第一種刨分形式。最大空圓原則從圖中可以看出這種剖分滿足最大空圓原則,因為ABC的外接圓內不含有任何除了 ABC三點外的其他離散點;同理,ACD也滿足這樣的要求。因為ABCD四點同時滿足DT的兩個條件,所以圖中的這種剖分形式即為一個Delaunay三角剖分網格。將二維平面內所有的離散點都按照這兩個條件進行DT三角剖分以后可得到整個平面內的三角網格化。三角刨分基本步

21、驟：1、構造一個超級三角形，包含所有散點，放入三角形鏈表。2、將點集中的散點依次插入，在三角形鏈表中找出外接圓包含插入點的三角形（稱為該點的影響三角形），刪除影響三角形的公共邊，將插入點同影響三角形的全部頂點連接起來，完成一個點在Delaunay三角形鏈表中的插入。3、根據優化準則對局部新形成的三角形優化。將形成的三角形放入Delaunay三角形鏈表。4、循環執行上述第2步，直到所有散點插入完畢。3.3 基于三角網絡的曲面插值曲面插值在經驗模式分解中占有重要地位,對于一維EMD分解來說,根據連續性和實時性等要求可選用不同的插值方法來滿足要求,比如，當對分解精度要求不太高、對實時性要求高的情況下

22、,可以采用線性插值或者最近插值等方法;如果在對分解精度要求高、對實時性要求不太高的情況下,則可以采用三次樣條插值的方法,在保證所有數據的連續和平滑條件下,將所有數據特征都能有效的提取出來。對于二維經驗模式分解來說,在選擇插值方法方面同樣值得著重考慮。目前,在BEMD中較常見的插值方法有:徑向基函數插值、線性插值、B-樣條插值、單片樣條插值等方法6。徑向基函數插值需要求解大型的線性方程組,并且會產生大的矩陣數據,這樣導致的結果是編程實現時會增大計算消耗以及存儲空間需求很大,甚至會無法得到分解結果。線性插值雖然方法簡單、運算量較小、計算較快,但是其插值效果過于線性,不能很好的模擬出理想的數據,會導致分解不完全的現象。B樣條曲面插值的方法是使用B樣條母線法,是使用“母線成面”的原理構造的。通過一個點集生成三次B樣條曲線方程,然后得到n條B樣條曲線,進而可得到曲面帶,最后將曲面塊連接到一起,形成一個插值曲面。在這里用了三角域上的曲面插值,通過Ddaunay三角剖分得到整個平面上的三角網格圖,然后對每個網格中使用多項式插值的方法可得到若干個三角曲面塊,最后將這些三角曲面拼接到一起即可得到整個插值