1、溫馨提示：高考題庫(kù)為Word版，請(qǐng)按住Ctrl，滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，點(diǎn)擊右上角的關(guān)閉按鈕可返回目錄。考點(diǎn)3 空間向量及其運(yùn)算（9B）2010年高考題1. （2010·全國(guó)高考卷理科·11）與正方體的三條棱所在直線的距離相等的點(diǎn)( ).（A）有且只有1個(gè) （B）有且只有2個(gè)（C）有且只有3個(gè) （D）有無(wú)數(shù)個(gè)【解析】 選D，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，則，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，得方程組，顯然時(shí)這個(gè)方程恒成立，即這個(gè)方程組有無(wú)窮多組解，故這樣的點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè).2. （2010·湖北高考文科·

2、18）如圖，在四面體中，且.（）設(shè)為的中點(diǎn)，在上且，證明：；（）求二面角的平面角的余弦值.【解析】（）在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作交于,連接。在等腰中，, 在,在中，。又,為的中點(diǎn)。在中，分別為的中點(diǎn)，。由，知：，又，由知：.（）連接.由知：.又平面,.由知：.是在平面內(nèi)的射影。在等腰直角中，為的中點(diǎn)， 。由三垂線定理知：。因此為二面角的平面角。在等腰直角中，,。在中，。在中，. .解法二: ()取為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示）則, 為的中點(diǎn)，.,又由已知可得,又,.故.即。 ()記平面的法向量為，則由且,得，故可取，又平面的法向量為，二面角的平面角是銳角，記為，則.3.

3、（2010·湖北高考理科·18）如圖, 在四面體中，, ,，且.() 設(shè)為的中點(diǎn).證明：在上存在一點(diǎn),使,并計(jì)算的值；() 求二面角的平面角的余弦值. 【解析】方法一:()在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作交于,連接。,.,.取為的中點(diǎn)，則.在等腰中，, 在,在中，,.()連接P.由知：.又平面,.由知：.是在平面內(nèi)的射影。在等腰直角中，為的中點(diǎn)， 。由三垂線定理知：。因此為二面角的平面角。在等腰直角中，,。在中，。在中，. 。方法二: () ()取為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示）則, 為的中點(diǎn)，.設(shè),且（0，1），,=+=,即，因此存在點(diǎn),使得.()記平面的

4、法向量為，則由且,得，故可取，又平面的法向量為，二面角的平面角是銳角，記為，則cos=.2009年高考題1.（2009江西高考）如圖，正四面體的頂點(diǎn)，分別在兩兩垂直的三條射線，上，則在下列命題中，錯(cuò)誤的為 ( )A是正三棱錐B直線平面C直線與所成的角是D二面角為 . 【解析】選B.將原圖補(bǔ)為正方體不難得出B為錯(cuò)誤，故選B.2.（2009安徽高考）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0，2），B(1，-3，1)，點(diǎn)M在y軸上，且M到A與到B的距離相等，則M的坐標(biāo)是_。【解析】設(shè)由可得故.yzxO答案:(0,-1，0) . 3.（2009北京高考）如圖，四棱錐的底面是正方形，點(diǎn)E在棱PB上.（）求證

5、：平面； （）當(dāng)且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與平面PDB所成的角的大小.【解析】如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)則，（），ACDP，ACDB，AC平面PDB，平面.（）當(dāng)且E為PB的中點(diǎn)時(shí)， 設(shè)ACBD=O，連接OE， 由（）知AC平面PDB于O， AEO為AE與平面PDB所的角， ，即AE與平面PDB所成的角的大小為.4.（2009全國(guó)）如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABAC,D、E分別為AA1、B1C的中點(diǎn)，DE平面B1BCC1（）證明：AB=AC （）設(shè)二面角A-BD-C為60°,求B1C與平面BCD所成的角的大小【解析】（）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB為x軸的正半軸，

6、建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz。設(shè)B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），則（1，0，2c）,E（，c）.于是=（，0），=（-1，b,0）.由DE平面知DEBC， =0，求得b=1，所以AB=AC。（）設(shè)平面BCD的法向量則又=（-1，1， 0），=（-1，0，c）,故 令x=1, 則y=1, z=,=(1,1, ).又平面的法向量=（0，1，0）由二面角為60°知，=60°，故 =°，求得 于是 ，°所以與平面所成的角為30°5.（2009江西高考）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn)（1）

7、求證：平面平面；（2）求直線與平面所成的角；（3）求點(diǎn)到平面的距離【解析】方法一：（1）依題設(shè)，在以為直徑的球面上，則.因?yàn)槠矫妫瑒t，又，所以平面，則，因此有平面，所以平面平面.（）設(shè)平面與交于點(diǎn)，因?yàn)椋云矫妫瑒t，由（1）知，平面，則MN是PN在平面ABM上的射影，所以 就是與平面所成的角，且 所求角為（3）因?yàn)镺是BD的中點(diǎn)，則O點(diǎn)到平面ABM的距離等于D點(diǎn)到平面ABM距離的一半，由（1）知，平面于M，則|DM|就是D點(diǎn)到平面ABM距離.因?yàn)樵赗tPAD中，所以為中點(diǎn)，則O點(diǎn)到平面ABM的距離等于。方法二：（1）同方法一；（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則， ，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由

8、可得：，令，則，即.設(shè)所求角為，則，所求角的大小為. （3）設(shè)所求距離為，由，得：6.（2009廣東高考）zyxE1G1如圖6，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是正方形的中心，點(diǎn)、分別是棱的中點(diǎn)設(shè)點(diǎn)分別是點(diǎn)，在平面內(nèi)的正投影（1）求以為頂點(diǎn)，以四邊形在平面內(nèi)的正投影為底面邊界的棱錐的體積；（2）證明：直線平面；（3）求異面直線所成角的正弦值.【解析】（1）依題作點(diǎn)、在平面內(nèi)的正投影、，則、分別為、的中點(diǎn)，連結(jié)、，則所求為四棱錐的體積，其底面面積為 ，又面，.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別作軸，軸，軸，得、，又，則，即，又，平面.（3），則，設(shè)異面直線所成角為，則.7.（2009浙江高考）如圖，平面

9、平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，分別為，的中點(diǎn)，（I）設(shè)是的中點(diǎn)，證明：平面；（II）證明：在內(nèi)存在一點(diǎn)，使平面，并求點(diǎn)到，的距離【解析】（I）如圖，連結(jié)OP，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OC、OP所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系O，. 則，由題意得，因，因此平面BOE的法向量為，）得，又直線不在平面內(nèi)，因此有平面（II）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則，因?yàn)槠矫鍮OE，所以有，因此有，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為，在平面直角坐標(biāo)系中，的內(nèi)部區(qū)域滿足不等式組，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足上述不等式組，所以在內(nèi)存在一點(diǎn)，使平面，由點(diǎn)M的坐標(biāo)得點(diǎn)到，的距離為. A A1 B B1 C1 D1 C D 8.(2009山東高

10、考) 如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點(diǎn)。（1） 證明：直線EE/平面FCC；（2） 求二面角B-FC-C的余弦值。 E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M 【解析】（1）因?yàn)锳B=4, BC=CD=2, F是棱AB的中點(diǎn),所以BF=BC=CF,BCF為正三角形, 因?yàn)锳BCD為等腰梯形,所以BAO=ABC=60°,取AF的中點(diǎn)M,連接DM,則DMAB,所以DMCD,以DM為x軸,DC為y軸,DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則D（0,

11、0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,C1（0,2,2）,E（,0）,E1（,-1,1）,所以,設(shè)平面CC1F的法向量為則所以取,則,所以,所以直線EE/平面FCC. （2）,設(shè)平面BFC1的法向量為,則所以,取,則, 所以,由圖可知二面角B-FC-C為銳角,所以二面角B-FC-C的余弦值為. 2008年高考題1.（2008全國(guó)）已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，在底面內(nèi)的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于（ ）AB CD【解析】選B.本題主要考查了利用回避法（即回避作角，利用直接法求點(diǎn)到平面的距離，求出直線與平面的夾角）同時(shí)還考查了三余弦公式。，再由（為點(diǎn)在底面

12、內(nèi)的射影），.2.（2008江蘇高考）記動(dòng)點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為1的正方體的對(duì)角線上一點(diǎn)，記當(dāng)為鈍角時(shí)，求的取值范圍【解析】由題設(shè)可知，以、為單位正交基底，ADxyz建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有,BC由，得，所以顯然不是平角，所以為鈍角等價(jià)于 ，則等價(jià)于即 ，得因此，的取值范圍是.3.（2008海南、寧夏高考）如圖，已知點(diǎn)P在正方體的對(duì)角線上，（）求DP與所成角的大小；ABCDPxyzH（）求DP與平面所成角的大小【解析】如圖，以為原點(diǎn)，為單位長(zhǎng)建立空間直角坐標(biāo)系則，連結(jié)，在平面中，延長(zhǎng)交于設(shè)，由已知，由,可得解得，所以（）因?yàn)椋约磁c所成的角為（）平面的一個(gè)法向量是因?yàn)椋?所以可得與平面所成的

13、角為4.（2008浙江高考）如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE/CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。（）求證：AE/平面DCF；（）當(dāng)AB的長(zhǎng)為何值時(shí),二面角A-EF-C的大小為？【解析】如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以和分別作為軸，軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則，（）證明：，所以，從而，所以平面因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫婀势矫妫ǎ┮驗(yàn)椋裕瑥亩獾盟裕O(shè)與平面垂直，則，解得又因?yàn)槠矫妫裕玫剿援?dāng)為時(shí)，二面角的大小為5.（2008遼寧高考）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，AP=BQ=b（0<b<1），截面PQEF，截面PQGHABCDEFPQHG（）證明：平面

14、PQEF和平面PQGH互相垂直；（）證明：截面PQEF和截面PQGH面積之和是定值，并求出這個(gè)值；（）若與平面PQEF所成的角為，求與平面PQGH所成角的正弦值【解析】以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DD分別為x，y，z軸的正半軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系Dxyz由已知得，故ABCDEFPQHyxzG，（）在所建立的坐標(biāo)系中，可得，因?yàn)椋允瞧矫鍼QEF的法向量因?yàn)椋允瞧矫鍼QGH的法向量因?yàn)椋裕云矫鍼QEF和平面PQGH互相垂直 （）因?yàn)椋裕郑訮QEF為矩形，同理PQGH為矩形在所建立的坐標(biāo)系中可求得，所以，又，所以截面PQEF和截面PQGH面積之和為，是定值（）由已知得與

15、成角，又可得 ，即，解得所以，又，所以與平面PQGH所成角的正弦值為2007年高考題ADBV1.（2007湖北高考）如圖，在三棱錐V-ABC中，VC底面ABC，ACBC，D是AB的中點(diǎn)，C且AC=BC=a，VDC=。（）求證：平面VAB平面VCD ；（）當(dāng)角變化時(shí)，求直線BC與平面VAB所成的角的取值范圍；【解析】方法一：（）以所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直ADBCVxyz角坐標(biāo)系，則，于是，從而，即同理，即又，平面又平面平面平面（）設(shè)直線與平面所成的角為，平面的一個(gè)法向量為，則由得可取，又，于是，又，即直線與平面所成角的取值范圍為方法二：以所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖

16、所示的空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)ADBCVxyz（），即，即又，平面又平面，平面平面（）設(shè)直線與平面所成的角為，設(shè)是平面的一個(gè)非零法向量，則取，得可取，又，于是，關(guān)于遞增，又即直線與平面所成角的取值范圍為2、（2007海南寧夏高考）如圖，在三棱錐中，側(cè)面與側(cè)面均為等邊三角形，為中點(diǎn)（）證明：平面；（）求二面角的余弦值【解析】（）由題設(shè)，連結(jié)，為等腰直角三角形，所以，且，又為等腰三角形，故，且，從而所以為直角三角形，又所以平面（）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線，分別為軸、軸、軸的正半軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則的中點(diǎn)，故等于二面角的平面角，所以二面角的余弦值為BCDAE3.（2007山東高考）如圖，在直四棱柱中，已知，（）設(shè)是的中點(diǎn)，求證：平面；（）求二