1、第一章第一章 直線和平面直線和平面 平面的基本性質(zhì)之一平面的基本性質(zhì)之一 教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1了解三個公理及公理3的三個推論；2了解推論1的證明過程教學(xué)重點和難點教學(xué)重點和難點公理3的引入與掌握及推論1的證明是教學(xué)的重點也是教學(xué)的難點教學(xué)設(shè)計過程教學(xué)設(shè)計過程師：上節(jié)課我們講過平面是原名，沒有方法定義，所以平面的性質(zhì)只能以公理的形式給出，我們今天就來研究以公理形式給出的平面的性質(zhì)（當(dāng)教師說完上述話后，拿出一根小棍作為直線的模型，一矩形硬紙板作為平面的模型，讓學(xué)生自己也拿同樣的模型，師生一起觀察然后，再提出問題）師：直線與平面有幾種位置關(guān)系？生：有三種位置關(guān)系：平行，相交，在平面內(nèi)師：相交時，直線與

2、平面有且只有幾個公共點？ 生：有且只有一個公共點 師：當(dāng)直線與平面有幾個公共點時，我們就能判定直線在平面內(nèi)？生：只要有兩個公共點師：對，這就是公理1（同時板書）公理公理1 如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)（如圖1）這時我們說直線在平面內(nèi)，或者說平面經(jīng)過直線師：為了書寫的簡便，我們把代數(shù)中剛學(xué)習(xí)過的有關(guān)集合的符號，引入立體幾何中我們只把點作為基本元素，于是直線、平面都作為“點的集合”，所以：點A在直線a上，記作Aa；生：不能，因為平面是無限延展的，所以這兩個平面應(yīng)該有一條經(jīng)過這公共點的直線（這時教師用手動矩形硬紙板，表示同意學(xué)生的意見，并說）師：我們只能用有

3、限的模型或圖形來表示無限延展的平面，所以我們有時要看模型或圖形，但又不能受模型或圖形的限制來影響我們對平面的無限延展的了解（同時板書）公理公理2 如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線（如圖2）a關(guān)于公理3的引入，可用類比思想，按如下步驟進(jìn)行師：如何確定一條直線？生：過兩點可以確定一條直線師：為什么過一點不能確定一條直線？生：因為過一點可以有無數(shù)條直線，所以過一點不能確定一條直線，而過兩點有并且只有一條直線，所以說過兩點可以確定一條直線師：過一點能不能確定一個圓？生：不能，因為過一點可以有無數(shù)個圓，而且這無數(shù)個圓的圓心、半徑都在變師：過兩點能不能確定一個圓？生：不能

4、，因為過兩點的圓也有無數(shù)個，這無數(shù)個圓的圓心都在以這兩點為端點的線段的垂直平分線上師：過不在一直線上的三點A，B，C能不能確定一個圓？生：能連AB，BC，作AB，BC兩線段的垂直平分線相交于O，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，因為圓心、半徑都是唯一確定的，所以圓也是唯一確定的 師：通過復(fù)習(xí)我們了解了直線的確定和圓的確定現(xiàn)在我們要來研究平面的確定 過一點能不能確定一個平面？（這時教師用一根小棍的一端作為空間的一個點，用一矩形硬紙板作為過這個點的平面，同時用手在硬紙板不離開小棍的一端條件下而能“動”起來）我們來看一看這個模型生：不能，因為過一點可以有無數(shù)個平面師：過兩點能不能確定一個平面？（這時教師用

5、相交兩個小棍的兩個端點作為空間兩點，再用硬紙板作為過這兩點的平面，教師用手使這個平面仍然“動”起來）我們來看這個模型生：不能，因為過兩點仍有無數(shù)個平面師：過不在一直線上的三點能不能確定一個平面？（這時教師用相交于一點的三根小棍的三個端點作為空間不在一直線上的三個點，當(dāng)把作為平面的硬紙板放在上面時，這時作為平面的硬紙板不能再“動”了，因為一動就要離開其中的一個點，就不滿足題目中條件的要求）我們來觀察這個模型（如圖3）生：能因為過這三點的平面有一個而且只有一個師：這就是我們今天所要講的公理3公理公理3 經(jīng)過不在同一條直線上的三個點，有且只有一個平面（如圖4）師：例如一扇門用兩個合頁和一把鎖就可以固

6、定了，但要注意，鎖與合頁不能放在同一直線位置上，否則，門也無法固定師：以上我們講了三個公理，下面我們來應(yīng)用這三個公理證明三個推論推論推論1 經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面已知：點 A，直線 a，A a（如圖 5） 求證：過點 A 和直線 a 可以確定一個平面 證明：證明：存在性 因為 A a，在 a 上任取兩點 B，C 所以過不共線的三點 A，B，C 有一個平面（公理 3） 因為 B，C， 所以 a（公理 1） 故經(jīng)過點 A 和直線 a 有一個平面 唯一性：如果經(jīng)過點 A 和直線 a 的平面還有一個平面，那么 A，a ， 因為Ba， Ca，所以B，C（公理1）故不共線的三點A，

7、B，C既在平面內(nèi)又在平面內(nèi)所以平面和平面重合（公理3）所以經(jīng)過點A和直線a有且只有一個平面有時“有且只有一個平面”，我們也說“確定一個平面”類似地可以得出下面兩個推論：推論推論2 經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面（如圖6） 推論推論3 經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面（如圖7） 下面應(yīng)用平面的基本性質(zhì)證明空間有關(guān)點和直線的共面問題（空間的幾個點和幾條直線，如果都在同一平面內(nèi)，簡單地說它們“共面”，否則說它們“不共面”）例例1 兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一個平面內(nèi)（如圖8）已知：ABAC=A，ABBC=B，ACBC=C 求證：直線AB，BC，AC共面 證法一：證法一：因為 ABAB

8、=A， 所以直線 AB，AC 確定一個平面（推論 2） 因為 BAB，CAC， 所以 B，C， 故 BC （公理 1） 因此直線 AB，BC，CA 都在平面內(nèi)，即它們共面a 證法三：證法三： 因為 A，B，C 三點不在一條直線上， 所以過 A，B，C 三點可以確定平面（公理 3） 因為 A，B，所以 AB （公理 1） 同理 BC ，AC ，所以 AB，BC，CA 三直線共面 這個例題證完后，教師可以提出兩個問題讓學(xué)生思考 師：在這題中“且不過同一點”這幾個字能不能省略，為什么？ 證法二：證法二： 因為 A 直線 BC 上， 所以過點 A 和直線 BC 確定平面（推論 1） 因為 A， BBC，所以 B 故 AB ， 同理 AC ， 所以 AB，AC，BC 共面 生：不能，因為三條直線兩兩相交且過同一點，則這三條直線可以共面，也可以不共面（這時學(xué)生可用手中的三個小棍作為模型來說明什么情況共面，什么情況不共面）師：這個題我們能不能推廣？即把這題改為：四條直線兩兩相交且不過同一點，則這四條直線必共面；也可以把這題推廣為更一般地的情況：n條直線兩兩相交且不過同一點，則這n條直線必共面，當(dāng)然這兩種推廣的情況的證明與例1類似，這里只要求你們了解這兩種情況，不要求你們?nèi)プC明師：由例1的證明可知，要證明空間的點、直線共面，可以先由某些元