1、.正定二次型和正定矩陣的概念正定二次型和正定矩陣的概念判別二次型或矩陣正定的方法判別二次型或矩陣正定的方法7 正定二次型正定二次型 正定二次型是二次型中討論最多的類型，本節(jié)正定二次型是二次型中討論最多的類型，本節(jié)結(jié)合二次型的標準型中系數(shù)給出正定二次型的概念，結(jié)合二次型的標準型中系數(shù)給出正定二次型的概念，并給出了判定二次型正定及實對稱矩陣的幾種方法。并給出了判定二次型正定及實對稱矩陣的幾種方法。. 二次型的標準形不是唯一的。二次型的標準形不是唯一的。 標準形中所含項數(shù)是確定的標準形中所含項數(shù)是確定的( 即是二次型的秩即是二次型的秩 )。 限定變換為實變換時，標準形中正系數(shù)的個數(shù)是限定變換為實變換

2、時，標準形中正系數(shù)的個數(shù)是不變的。不變的。正定二次型和正定矩陣的概念正定二次型和正定矩陣的概念定理定理11 ( 慣性定理慣性定理 ) 設(shè)有實二次型設(shè)有實二次型, xAxfT 它的秩是它的秩是 r ，有兩個實的可逆變換，有兩個實的可逆變換, zPxyCx 與與.,)0(,)0(,212122222112222211個個數(shù)數(shù)相相等等中中正正數(shù)數(shù)的的中中正正數(shù)數(shù)的的個個數(shù)數(shù)與與則則及及使使rrirrirrkkkzzzkykykyk 正數(shù)的個數(shù)稱為正數(shù)的個數(shù)稱為正慣性指數(shù)正慣性指數(shù)，負數(shù)的個數(shù)，負數(shù)的個數(shù)稱為稱為負慣性指數(shù)負慣性指數(shù).對任何對任何 x 0 , 都有都有 f(x) 0 , 則稱則稱 f

3、為為負定二次型負定二次型，并稱對稱陣并稱對稱陣 A 是是負定的負定的 ，記作，記作 A 0,（顯然（顯然 f(0) = 0 ），則稱），則稱 f 為為正定正定二次型二次型，并稱對稱陣，并稱對稱陣 A 是是正定的正定的。記作。記作 A 0 ；如果；如果定理定理12 實二次型實二次型xAxfT 為正定的充分為正定的充分必要條件是：它的標準形的必要條件是：它的標準形的 n 個系數(shù)全為正。個系數(shù)全為正。證證 設(shè)可逆變換設(shè)可逆變換使使yCx .先證充分性先證充分性. 0)(, 0, 0)., 2 , 1(0121 niiiiykxfxCxnik故故則則任任給給設(shè)設(shè) 推論推論 對稱陣對稱陣 A 為正定的充

4、分必要條件是：為正定的充分必要條件是：A 的特的特征值全為正。征值全為正。再證必要性：用反證法。假設(shè)有再證必要性：用反證法。假設(shè)有 ks 0 , 則則,時時當當sey ( 單位坐標向量單位坐標向量 ) 時，時，, 0)( sskeCf. 0 seC顯顯然然這與假設(shè)這與假設(shè) f 正定矛盾，正定矛盾，. 0 ik故故. 定理定理13 對稱陣對稱陣 A 為正定的充分必要條件是：為正定的充分必要條件是：A 的各階主子式都為正。即的各階主子式都為正。即; 0, 0, 011112221121111 nnnnaaaaaaaaa對稱陣對稱陣 A 為負定的充分必要條件是：奇數(shù)階主子式為為負定的充分必要條件是：

5、奇數(shù)階主子式為負，而偶數(shù)階主子式為正。即負，而偶數(shù)階主子式為正。即)., 2 , 1( , 0)1(1111nraaaarrrrr 這個定理稱為這個定理稱為霍爾維茲定理霍爾維茲定理。. 注意：對于二次型，除了有正定和負定以外，注意：對于二次型，除了有正定和負定以外，還有半正定和半負定及不定二次型等概念。還有半正定和半負定及不定二次型等概念。.判別矩陣正定的方法判別矩陣正定的方法 根據(jù)正定矩陣的定義及性質(zhì)，判別對稱矩陣根據(jù)正定矩陣的定義及性質(zhì)，判別對稱矩陣A 的正定性有兩種方法。的正定性有兩種方法。 一是求出一是求出A 的所有特征值。若的所有特征值。若A 的特征值均為的特征值均為正數(shù)，則正數(shù)，則

6、A 是正定的；若是正定的；若A 的特征值均為負數(shù)，則的特征值均為負數(shù)，則A 為負定的。為負定的。 二是計算二是計算A 的各階主子式。若的各階主子式。若A 的各階主子式的各階主子式均大于零，則均大于零，則A 是正定的；若是正定的；若A 的各階主子式中，的各階主子式中，奇數(shù)階主子式為負，偶數(shù)階為正，則奇數(shù)階主子式為負，偶數(shù)階為正，則A 為負定的。為負定的。.例例16 判定對稱矩陣判定對稱矩陣 300031013A正定性。正定性。解解 方法一方法一, 0311 a因為因為, 08311322211211 aaaa, 024300031013| A所以所以A 是正定的。是正定的。.),4)(3)(2(

7、300031013| EA方法二：方法二：A 的特征多項式為的特征多項式為. 4, 3, 2321正正定定的的是是從從而而知知的的特特征征值值為為故故AA . 由實二次型的矩陣表示及對稱矩陣的正定性判由實二次型的矩陣表示及對稱矩陣的正定性判別法知，判斷二次型的正定性也有兩種方法。別法知，判斷二次型的正定性也有兩種方法。 一是利用對稱矩陣一是利用對稱矩陣A 的正定性。若二次型的正定性。若二次型 f 的的對稱矩陣對稱矩陣A 是正定的，則是正定的，則f 是正定二次型；若是正定二次型；若A 是是負定的，則負定的，則 f 也是負定二次型。也是負定二次型。 二是將二是將 f 化為標準形。若其標準形的化為標

8、準形。若其標準形的 n 個系數(shù)個系數(shù)全為正，則全為正，則 f 是正定的；若是正定的；若 f 的標準形的的標準形的 n 個系數(shù)個系數(shù)全為負，則全為負，則 f 是負定的。是負定的。 由于將由于將 f 化為標準形非常復雜，因此第二種方化為標準形非常復雜，因此第二種方法一般不用。法一般不用。判別二次型正定的方法判別二次型正定的方法.解解f 的矩陣是的矩陣是,402062225 A, 080, 0266225, 052221121111 Aaaaaa所以所以 f 是負定的。是負定的。例例1717判別二次型判別二次型xzxyzyxf44465222 的正定性。的正定性。A 的各階主子式為：的各階主子式為：

9、.例例18設(shè)二次型設(shè)二次型.,42244323121232221為為正正定定二二次次型型取取何何值值時時問問fxxxxxxxxxf 解解f 的矩陣是的矩陣是,4212411 A, 0)2)(1(4, 0441, 022221121111 AaaaaaA 的各階主子式為：的各階主子式為：.,12二次型為正定的二次型為正定的時時解得解得 .Ex.11判別二次型判別二次型2331212142xxxxxxf 解解f 的矩陣是的矩陣是,102001211 A, 01102001211, 010111, 012221121111 Aaaaaa所以所以 f 既不是正定的，也不是負定的，即不定二次既不是正定的

10、，也不是負定的，即不定二次型。型。的正定性。的正定性。A 的各階主子式為：的各階主子式為：.例例19 設(shè)設(shè)C 是滿秩矩陣，實對稱矩陣是滿秩矩陣，實對稱矩陣A 是正定的，是正定的，則則C TAC是正定的。是正定的。證證因為因為A 為正定，所以對任意為正定，所以對任意, 0 x, 0 xAxfT有有, yCx 作作,)(yACCyfTT 則則, 0,01 xCyCx得得可可逆逆及及由由, 0)( yACCyxAxfTTT從而從而即即C TAC是正定的。是正定的。.Ex.12 證明：若實對稱矩陣證明：若實對稱矩陣A = ( aij ) 為正定矩陣，為正定矩陣，則則 aii 0 ( i =1, 2,

11、, n ).證證因為因為A 為正定，所以對任意為正定，所以對任意, 0 x, 0 xAxfT有有),0 , 1 , 0( Tiex取取)., 2 , 1(0niaxAxiiT 則則.第五章小結(jié)第五章小結(jié) 本章通過向量的內(nèi)積，從而給本章通過向量的內(nèi)積，從而給n維向量建立了度維向量建立了度量的概念，結(jié)合方陣的特征值理論，給出了判定矩量的概念，結(jié)合方陣的特征值理論，給出了判定矩陣是否可以對角化的判定方法；通過對實對稱矩陣陣是否可以對角化的判定方法；通過對實對稱矩陣所具有的特點，說明實對稱矩陣不僅可以相似對角所具有的特點，說明實對稱矩陣不僅可以相似對角化，而且可以正交對角化；從而為二次型化標準型化，而

12、且可以正交對角化；從而為二次型化標準型提供了一種重要方法：正交變換法。由二次型與實提供了一種重要方法：正交變換法。由二次型與實對稱矩陣的一一對應關(guān)系，將二次型的討論轉(zhuǎn)化為對稱矩陣的一一對應關(guān)系，將二次型的討論轉(zhuǎn)化為矩陣的討論，并討論了正定二次型。矩陣的討論，并討論了正定二次型。.第五章主要方法第五章主要方法一一) 方陣的特征值與特征向量的求法方陣的特征值與特征向量的求法|;|)().1(EAfA 的的特特征征多多項項式式計計算算;,0)().2(的的全全部部特特征征值值即即的的全全部部根根求求出出Af ., 0)().3(的的全全部部特特征征向向量量于于特特征征值值的的屬屬線線性性組組合合就就

13、是是則則這這個個基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系的的非非零零系系個個基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解并并求求出出這這個個方方程程組組的的一一線線性性方方程程組組的的特特征征值值逐逐個個代代入入齊齊次次把把 AxEAA .二二 ) 用正交方陣將方陣化為對角陣的方法用正交方陣將方陣化為對角陣的方法 (1).求求A 的特征值；的特征值； (2).求求A 的特征值對應的的特征值對應的n 個線性無關(guān)的特征向量；個線性無關(guān)的特征向量； (3). 將重特征值所對應的特征向量正交化，連同單將重特征值所對應的特征向量正交化，連同單特征值所對應的特征向量一起就得到兩兩正交的特征特征值所對應的特征向量一起就得到兩兩正交的特征向量；向量； (4). 將

14、將 (3) 中中 n 個特征向量單位化，得到個特征向量單位化，得到 n 個兩兩個兩兩正交的單位特征向量；正交的單位特征向量； (5). 以這些特征向量作為列向量的矩陣就是所求的以這些特征向量作為列向量的矩陣就是所求的正交矩陣，且有正交矩陣，且有.1 APP.三三) 化二次型為標準型的方法化二次型為標準型的方法 (1).正交變換法正交變換法 1 .寫出二次型對應的矩陣寫出二次型對應的矩陣A . 2 .將將A化為對角陣，求出正交陣化為對角陣，求出正交陣P . 3 .寫出標準型，且正交變換為寫出標準型，且正交變換為X=PY . (2).配方法配方法 1.含有平方項，直接配方；含有平方項，直接配方； 2.不含有平方項不含有平方項,化成含有平方項化成含有平方項,再配方再配方;.四四 判定矩陣與二次型為正定的