1、點集拓撲學期末考試、單項選擇題（每題1分）1、已知Xa,b,c,d,e,下列集族中,(TX,a,a,b,a,c,eTTX,a,a,bT)是X上的拓撲.X,a,b,c,a,b,d,a,b,c,eX,a,b,c,d,e答案:2、設Xa,b,c,下列集族中，（）是X上的拓撲.TX,a,a,b,cTX,a,a,b,a,c答案：TX,a,b,a,cTX,a,b,c3、已知Xa,b,c,d,下列集族中，（）是*上的拓撲. T X, ,a, a,b, a,c,d T X, ,a,b,c, a, b, d答案：答案： T X, ,a,b,a,c,d T X, ,a, b, a,c,d T X, ,a,b, a

2、,c,d T X, ,a,c, a,c答案：TX,a,b,a,c,dTX,a,b4、設Xa,b,c,下列集族中，（）是X上的拓撲.TX,b,c,a,bTX,a,b,a,b,a,cTX,a,b,a,cTX,a,b,c5、已知Xa,b,c,d,下列集族中，（）是*上的拓撲.6、設Xa,b,c,下列集族中，（）是X上的拓撲. TX, ,a, b, b,c TX, ,a, a,c7、已知 X a,b,c,d,拓撲 T小 X b T X, ,a,b, b,c T X, ,a, b, cX, ,a，則而=()b,c,d答案：答案：8、已知Xa,b,c,d,拓撲TX,a,則b,c,d二()2) Xbb,c,

3、d答案：9、已知X a,b,拓撲T小Xa10、已知X a,b,拓撲T小Xa11、已知 X a,b,c,d,拓撲 T小Xa,b12、已知 X a,b,c,d,拓撲 T小Xa,cX, ,a，則a=()bX, ,a，則函=()bX, ,a,則問二()b,c,d 答案：X, ,a,則問=()b,c,d 答案：答案：答案：13、設Xa,b,c,d,拓撲TX,a,b,c,d，則X的既開又閉的非空真子集個數14、設 X a,b,c拓撲TX,a, b,c，則X的既開又閉的非空真子集的個數為15、設 X a,b,c拓撲TX,b, b, c，則X的既開又閉的非空真子集的個數為16、設 X a,b,拓撲TX,b,則

4、X的既開又閉的子集的個數為（17、設 X a,b,拓撲TX, ,a, b,則X的既開又閉的子集的個數為（18、設 X a,b,c拓撲TX, ,a, b, a,b, b,c , X的既開又閉的非空真子集個數19、在實數空間中，有理數集Q的內部Qo是（）QR-QR答案：20、在實數空間中，有理數集Q的邊界（Q）是（）21、在實數空間中，整數集Z的內部Zo是（ZRZR答案：22、在實數空間中，整數集Z的邊界億）是（）ZRZR答案：23、在實數空間中，區間0,1）的邊界是（）0,10,1（0,1）答案：24、在實數空間中，區間2,3）的邊界是（）2,32,3（2,3）答案：25、在實數空間中，區間0,

5、1）的內部是（）0,10,1（0,1）答案：26、設X是一個拓撲空間，A,B是X的子集，則下列關系中錯誤的是（d(AB)d(A)d(B)ABAB d(A B) d(A) d(B) A A答案：27、設X是一個拓撲空間，A,B是X的子集，則下列關系中正確的是（d(AB)d(A)d(B)d(AB)d(A)d(B)AA答案：28、設X是一個拓撲空間，AB是X的子集，則下列關系中正確的是(d(AB)ABABABd(AB)d(A)d(B)d(d(A)Ad(A)答案：29、已知X是一個離散拓撲空間，A是X的子集，則下列結論中正確的是（d(A)d(A)XA d（A） A d（A）30、已知X是一個平庸拓撲空

6、間, 若A ，則d（A）X答案：A是X的子集，則下列結論中不正確的是（若Ax0,則d（A）XAD若A=X1,X2,則d(A)X若AX,則d(A)X答案：31、已知X是一個平庸拓撲空間，A是X的子集，則下列結論中正確的是()若A，則d(A)若AX0,則d(A)X若A=、,X2,則d(A)XA若AXi%,則d(A)A答案：32、設Xa,b,c,d,令Ba,b,c,c,d，則由B產生的X上的拓撲是()X,c,d,c,d,a,b,cX,c,d,c,dX,c,a,b,cX,d,b,c,b,d,b,c,d答案：33、設X是至少含有兩個元素的集合，pX,TGX|pG是*的拓撲，則(是T的基.Bp,x|xXp

7、Bx|xX B p,x| x X B x| x X p答案：34、設Xa,b,c,則下列X的拓撲中（）以5X,a為子基.X,a,a,cX,aX,a,b,a,bX,答案：35、離散空間的任一子集為（）開集閉集即開又閉非開非閉答案：36、平庸空間的任一非空真子集為（）開集閉集即開又閉非開非閉答案：37、實數空間R中的任一單點集是（）開集閉集既開又閉非開非閉答案：38、實數空間R的子集A=1,-,1,-,則A=（）234小RAU0A答案：39、在實數空間R中，下列集合是閉集的是（）整數集a,b有理數集無理數集答案：40、在實數空間R中，下列集合是開集的是（）整數集Z有理數集無理數集整數集Z的補集Z答

8、案：41、已知X（1,2,3上的拓撲TX,1,則點1的鄰域個數是（）答案：42、已知Xa,b,則X上的所有可能的拓撲有(1個2個3個4個答案：43、已知X=a,b,c,則X上的含有4個元素的拓撲有()個3579答案：44、設(X,T)為拓撲空間,則下列敘述正確的為()XT,TXT,T當TT時，UUT當TT時，IUT答案：UTUT45、在實數下限拓撲空間R中，區間a,b)是()開集閉集既是開集又是閉集非開非閉答案：46、設X是一個拓撲空間，A,BX,且滿足d(A)BA,則8是()開集閉集既是開集又是閉集非開非閉答案：47、設X1,2,3,T=,X,1,2,1,3,1,2是X的拓撲，A1,2,則X

9、的子空間A的拓撲為() T ,2, 1,2 T ,X,1,2, 1,2 T , A,1,2 T ,X,1,2答案：48、設X1,2,3,T=,X,1,2,1,3,1,2是X的拓撲，A1,3,則X的子空間A的拓撲為()T,1,3,1,3T,A,1T,X,1,3,1,3T,X,1答案：49、設X1,2,3,T=,X,1,2,1,3,1,2是X的拓撲，A2,3,則X的子空間A的拓撲為()T,3,2,3T,A,2,3T,X,2,3,2,3T,X,3答案：50、設X1,2,3,T=,X,1,2,1,3,1,2是X的拓撲，A1,則X的子空間A的拓撲為()T,1T,A,1,2T,X,1,3,1,3T,X,1

10、答案：51、設X1,2,3,T=,X,1,2,1,3,1,2是X的拓撲，A2,則X的子空間A的拓撲為()T,2,1,2T,A T ,X,2 T ,X,1,2答案：52、設X1,2,3,T=,X,1,2,1,3,1,2是X的拓撲，A3,則X的子空間A的拓撲為() T ,2, 1,2 T ,X,1,3 T ,X,3 T ,3答案：53、設R是實數空間，Z是整數集，則R的子空間Z的拓撲為() T ,Z T P (Z)T Z 答案：54、設 X X1 X2 LX6是拓撲空間X1,X2,L ,X6的積空間.P,是X到X1的投射，則P1是()單射滿的連續閉映射連續的單射滿的連續開映射答案：55、設 X X

11、1 X 2 L() 單射滿的連續閉映射56、設 X X1 X2 L()單射滿的連續閉映射57、設 X X1 X2 L()單射滿的連續閉映射58、設 X X1 X2 LX6是拓撲空間X1,X2,L ,X6的積空間.P2是X到X2的投射，則馬是連續的單射滿的連續開映射答案：X6是拓撲空間X1,X2,L ,X6的積空間.P3是X到X3的投射，則P3是連續的單射滿的連續開映射答案：X6是拓撲空間X1,X2,L ,X6的積空間.P4是X到X4的投射，則F4是連續的單射滿的連續開映射答案：X6是拓撲空間X1,X2,L ,X6的積空間.P5是X到X5的投射，則P5是( )單射滿的連續閉映射59、設 X X1

12、 X2 L()單射滿的連續閉映射連續的單射滿的連續開映射答案：X6是拓撲空間X1,X2,L ,X6的積空間.品是X到X6的投射，則 后是連續的單射滿的連續開映射答案：60、設X1和X2是兩個拓撲空間，X1 X2是它們的積空間，A X1, B X2,則有( A B A B A B A B (A Bp Ao Bo (A B) (A)(B)答案：61、有理數集Q是實數空間R的一個()不連通子集開集連通子集以上都不對答案：62、整數集Z是實數空間R的一個（）不連通子集連通子集開集以上都不對答案：63、無理數集是實數空間R的一個（）不連通子集連通子集開集以上都不對答案：64、設Y為拓撲空間X的連通子集，

13、Z為X的子集，若丫ZY,則2為（）不連通子集連通子集閉集開集答案：65、設Xi,X2是平庸空間，則積空間XiX2是（）離散空間不一定是平庸空間不連通空間則積空間Xi X2是（）不一定是離散空間連通空間則積空間Xi X2是（）不一定是連通空間連通空間平庸空間答案：66、設Xi,X2是離散空間離散空間平庸空間答案：67、設X1,X2是連通空間離散空間平庸空間答案：68、實數空間R中的連通子集£為（）開區間閉區間區間以上都不對答案：69、實數空間R中的不少于兩點的連通子集£為（）開區間閉區間區間以上都不對答案：70、實數空間R中的連通子集£為（）開區間閉區間區間區間或一

14、點答案：71、下列敘述中正確的個數為（）（I）單位圓周S1是連通的；（H）R0是連通的(m)R2(0,0)是連通的(IV)R2和R同胚1234答案：二、填空題(每題1分)1、設Xa,b,則X的平庸拓撲為;答案：TX,2、設Xa,b,則X的離散拓撲為；答案：TX,a,b3、同胚的拓撲空間所共有的性質叫；答案：拓撲不變性質4、在實數空間R中，有理數集Q的導集是.答案：R5、xd(A)當且僅當對于x的每一鄰域U有答案：U(Ax)6、設A是有限補空間X中的一個無限子集，則d(A)二;答案：X7、設A是有限補空間X中的一個無限子集，則A=;答案：X8、設A是可數補空間X中的一個不可數子集，則d(A)二;

15、答案：X9、設A是可數補空間X中的一個不可數子集，則A=;答案：X10、設X1,2,3,X的拓撲TX,2,2,3，則X的子集A1,2的內部為;答案：211、設X1,2,3,X的拓撲TX,1,2,3，則X的子集A1,3的內部為;答案：112、設X1,2,3,X的拓撲TX,1,2,3，則X的子集A1,2的內部為答案：113、設X1,2,3,X的拓撲TX,2,2,3，則X的子集A1,3的內部為;答案：14、設Xa,b,c,則X的平庸拓撲為;答案：TX,15、設Xa,b,c,則X的離散拓撲為答案：TX,a,b,c,a,b,a,c,b,c16、設X1,2,3,X的拓撲TX,2,3,2,3，則X的子集A1

16、,3的內部為;答案：317、設X1,2,3,X的拓撲TX,1,3,1,3,則X的子集A1,2的內部為;答案：118、f：XY是拓撲空間X到Y的一個映射，若它是一個單射，并且是從X到它的象集f(X)的一個同胚，則稱映射f是一個答案：嵌入19、f：XY是拓撲空間X到Y的一個映射，如果它是一個滿射，并且Y的拓撲是對于映射f而言的商拓撲，則稱f是一個；答案：商映射20、設X,Y是兩個拓撲空間，f:XY是一個映射，若X中任何一個開集U的象集“是丫中的一個開集，則稱映射f是一個答案：開映射21、設X,Y是兩個拓撲空間，f:XY是一個映射，若X中任何一個閉集U的象集f(U)是Y中的一個閉集，則稱映射f是一個

17、答案：閉映射22、若拓撲空間X存在兩個非空的閉子集A,B,使得AB,ABX,則X是一個;答案：不連通空間23、若拓撲空間X存在兩個非空的開子集A,B,使得AB,ABX,則X是一個;答案：不連通空間24、若拓撲空間X存在著一個既開又閉的非空真子集，則X是一個答案：不連通空間25、設Y是拓撲空間X的一個連通子集，ZX滿足YZY,則Z也是X的一個；答案：連通子集26、拓撲空間的某種性質，如果為一個拓撲空間所具有也必然為它在任何一個連續映射下的象所具有，則稱這個性質是一個;答案：在連續映射下保持不變的性質27、拓撲空間的某種性質，如果為一個拓撲空間所具有也必然為它的任何一個商空間所具有，則稱這個性質是

18、一個;答案：可商性質28、若任意n1個拓撲空間Xi,X2,L,Xn,都具有性質P,則積空間XiX2LX。也具有性質P,則性質P稱為；答案：有限可積性質29、設X是一個拓撲空間，如果X中有兩個非空的隔離子集A,B,使得ABX,則稱X是一個;答案：不連通空間.三.判斷(每題4分，判斷1分，理由3分)1、.從離散空間到拓撲空間的任何映射都是連續映射()答案：，理由：設X是離散空間，Y是拓撲空間，f：XY是連續映射，因為對任意AY,都有f1(A)X,由于X中的任何一個子集都是開集，從而f1(A)是中的開集，所以f：XY是連續的.2、設Ti,T2是集合X的兩個拓撲，則TiT2不一定是集合X的拓撲()答案

19、：X理由：因為(1)Ti,T2是X的拓撲，故X,Ti,X,T2,從而X,TiT2;(2)對任意的A,BTiT2,則有A,BTi且A,BT2,由于Ti,T2是X的拓撲，故ABTi且ABT2,從而ABTiT2；(3)對任意的TTiT2,則TTi,TT2,由于Ti,T2是X的拓撲，從而uTUTi,UT，UT2,故UTUTiT2；綜上有TiT2也是X的拓撲.3、從拓撲空間X到平庸空間Y的任何映射都是連續映射()答案：，理由：設f:XY是任一滿足條件的映射，由于Y是平庸空間，它中的開集只有Y,易知它們在f下的原象分別是X,均為X中的開集，從而f：XY連續.4、設A為離散拓撲空間X的任意子集，則dA()答

20、案：，理由：設p為X中的任何一點，因為離散空間中每個子集都是開集，所以p是X的開子集，且有pIAp，即pdA,從而d(A).5、設A為平庸空間X(X多于一點)的一個單點集，則dA()答案：X理由：設Ay,則對于任意xX,xy,x有唯一的一個鄰域X,且有yX(Ax),從而X(Ax),因此x是A的一個凝聚點，但對于y的唯一的鄰域X,有X(Ay),所以有dAXA.6、設A為平庸空間X的任何一個多于兩點的子集，則dAX()答案：V理由：對于任意xX,因為A包含多于一點，從而對于x的唯一的鄰域X,且有X(Ax),因此x是A的一個凝聚點，即xd(A),所以有dAX.7、設X是一個不連通空間，則X中存在兩個

21、非空的閉子集A,B,使得AB,ABX()答案：V理由：設X是一個不連通空間，設A,B是X的兩個非空的隔離子集使得ABX,顯然AIB，并且這時有：BBX(BA)(BB)B從而B是X的一個閉子集，同理可證A是X的一個閉子集，這就證明了A,B滿足AB,ABX.8、若拓撲空間X中存在一個既開又閉的非空真子集，則X是一個不連通空間()V理由：這是因為若設A是X中的一個既開又閉的非空真子集，令BA,則A,B都是X中的非空閉子集，它們滿足ABX,易見A,B是隔離子集，所以拓撲空間X是一個不連通空.五.簡答題(每題4分)1、設X是一個拓撲空間，A,B是X的子集，且AB.試說明d(A)d(B).答案：對于任意x

22、d(A),設U是*的任何一個鄰域，則有U(Ax),由于AB,從而U(Bx)U(Ax),因此xd(B),故d(A)d(B).2、設X,Y,Z都是拓撲空間.f:XY,g:YZ都是連續映射，試說明gof:XZ也是連續映射.答案：設W是Z的任意一個開集，由于g:YZ是一個連續映射，從而g1(W)是Y的一個開集，由f:XY是連續映射，故f1(g1(W)是X的一開集，因此(gof)1(W)f1(g1(W)是X的開集，所以gof:XZ是連續映射.3、設X是一個拓撲空間，AX.試說明：若A是一個閉集，則A的補集A是一個開集.答案：對于xA,則xA,由于A是一個閉集，從而x有一個鄰域U使得U(Ax),因此UA，

23、即UA,所以對任何xA,A是x的一個鄰域，這說明A是一個開集.4、設X是一個拓撲空間，AX.試說明：若A的補集A是一個開集，則A是一個閉集.答案：設xA,則xA,由于A是一個開集，所以A是x的一個鄰域，且滿足AA，因此xA,從而AA,即有AA,這說明A是一個閉集.5、在實數空間R中給定如下等價關系：xyx,y(,1)或者x,y1,2)或者x,y2,)設在這個等價關系下得到的商集Y0,1,2,試寫出Y的商拓撲T.答案：T,丫,0,0,16、 在實數空間R中給定如下等價關系xyx,y(,1或者x,y(1,2或者x,y(2,)設在這個等價關系下得到的商集Y1,2,3,試寫出Y的商拓撲T.答案：T,Y

24、,3,2,37、 在實數空間R中給定如下等價關系：xyx,y(,1)或者x,y1,2)或者x,y2,)設在這個等價關系下得到的商集Y1,1,2,試寫出Y的商拓撲T.答案：T,Y,1,1,18、 在實數空間R中給定如下等價關系：xyx,y(,1)或者x,y1,2)或者x,y2,)設在這個等價關系下得到的商集Y2,1,2,試寫出Y的商拓撲T.答案：T,Y,2,2,19、 在實數空間R中給定如下等價關系:xyx,y(,1或者x,y(1,2或者x,y(2,)設在這個等價關系下得到的商集Y0,2,3,試寫出Y的商拓撲T.答案：T,Y,3,2,310、 在實數空間R中給定如下等價關系:xyx,y(,1或者

25、x,y(1,2或者x,y(2,)設在這個等價關系下得到的商集Y0,2,4,試寫出Y的商拓撲T.答案：T,Y,4,2,411、 在實數空間R中給定如下等價關系:xyx,y(,1或者x,y(1,2或者x,y(2,)設在這個等價關系下得到的商集Y1,2,4,試寫出Y的商拓撲T.答案：T丫4,2,4六、證明題(每題8分)1、設f:XY是從連通空間X到拓撲空間Y的一個連續映射.則f(X)是Y的一個連通子集.證明：如果f(X)是Y的一個不連通子集，則存在Y的非空隔離子集A,B使得f(X)AB3分于是f1(A),f1(B)是X的非空子集，并且：-1-1-1_1(f(A)f(B)(f(B)f(A)_1_11_1,(f1(A)f1(B)(f1(B)f1(A)f1(AB)(AB)所以f1(A),f1(B)是X的非空隔離子集此外，f1(A)f1(B)f1(AB)f1(f(X)X,這說明X不連通，矛