1、第二章第二章 控制系統的數學模型控制系統的數學模型2.1 2.1 數學模型的概念數學模型的概念2.2 2.2 控制系統的時域數學模型控制系統的時域數學模型 動態微分方程動態微分方程2.3 2.3 控制系統的復域數學模型控制系統的復域數學模型 傳遞函數傳遞函數2.4 2.4 控制系統的動態結構圖控制系統的動態結構圖2.5 2.5 控制系統的信號流圖控制系統的信號流圖 所謂的數學模型，所謂的數學模型，是指描述系統內部物理量（或是指描述系統內部物理量（或各變量）之間關系的數學表達式各變量）之間關系的數學表達式。 數學模型是控制系統定量分析的基礎。數學模型是控制系統定量分析的基礎。u 靜態數學模型：靜

2、態數學模型： 靜態條件下（即變量各階導數為零時），各變量靜態條件下（即變量各階導數為零時），各變量之間的代數方程。之間的代數方程。u 動態數學模型：動態數學模型： 描述系統動態過程中，各變量之間關系的數學表描述系統動態過程中，各變量之間關系的數學表達式，如動態微分方程等。達式，如動態微分方程等。2.1 數學模型的概念微分方程：微分方程： 時域數學模型，是其它模型的基礎，直觀但求解繁瑣。時域數學模型，是其它模型的基礎，直觀但求解繁瑣。傳遞函數：傳遞函數： 復域數學模型，是微分方程拉氏變換后的結果，是用復域數學模型，是微分方程拉氏變換后的結果，是用的最多的一種數學模型。的最多的一種數學模型。頻率特

3、性函數：頻率特性函數：頻域數學模型，可直接用實驗的方法獲頻域數學模型，可直接用實驗的方法獲得，有多種曲線表示方法，因而可用圖解法進行分析。得，有多種曲線表示方法，因而可用圖解法進行分析。常用的數學模型有：常用的數學模型有： 動態微分方程動態微分方程、傳遞函數傳遞函數、響應曲線響應曲線、動態結構動態結構圖圖、信號流圖信號流圖、脈沖響應函數脈沖響應函數、頻率特性函數等。、頻率特性函數等。u 數學模型的類型：數學模型的類型： 分析法：分析法： 分析系統各部分的運動機理，根據它們所依據的分析系統各部分的運動機理，根據它們所依據的特理或化學規律列寫相應的動動方法。特理或化學規律列寫相應的動動方法。 2)

4、 2) 實驗法：實驗法： 人為地給系統施加某種測試信號，記錄其輸出響人為地給系統施加某種測試信號，記錄其輸出響應，并用適當的數學模型去逼近，這種方法稱為應，并用適當的數學模型去逼近，這種方法稱為系統辨識。系統辨識。分析系統，忽略一些次要因素，分析系統，忽略一些次要因素，確確定其定其消去中間變量，得到只包含輸入量和輸出量的消去中間變量，得到只包含輸入量和輸出量的微分方程；微分方程；將方程式化成標準形。將方程式化成標準形。uoui例：例：RC電路電路+-uiuo+-CiR輸入量：輸入量：輸出量：輸出量：（1）確定輸入和輸出量確定輸入和輸出量（2）建立初始微分建立初始微分方程組方程組（3）消除中間變

5、量，）消除中間變量，使式子標準化使式子標準化可用一階常系數線性微可用一階常系數線性微分方程描述，為一階系統。分方程描述，為一階系統。ui= Ri + uoi=CduodtRCduodt+ uo= ui例例2-8:下圖所示下圖所示RLC電路，試列寫以電路，試列寫以u1為輸入量，為輸入量，以以u2為輸出量的微分方程。為輸出量的微分方程。輸入量：輸入量：u ui i輸出量：輸出量：u uo o 根據基爾霍夫定律，可根據基爾霍夫定律，可得系統的動態微分方程：得系統的動態微分方程：可用二階線性微分方程描述，可用二階線性微分方程描述，對應二階系統對應二階系統+-uiuo+-CiRLdtdiLuL dtdu

6、Cio dtduRCiRuoR ioo2o2uudtduRCdtudLC 2o2LdtudLCdtdiLu 例2-10:彈簧阻尼系統系統組成：系統組成：物體物體m彈簧彈簧k阻尼器阻尼器f輸入量：外力輸入量：外力F彈簧系數彈簧系數km阻尼系數阻尼系數fF輸出量：物體的位移輸出量：物體的位移xx微分方程組微分方程組:F=maF(t)F2(t)F1(t)=ma根據牛頓第二定律有根據牛頓第二定律有:彈簧的彈力彈簧的彈力阻尼器阻尼力阻尼器阻尼力代入上式，消除中間變量得代入上式，消除中間變量得:其中，其中，F1=fdxdtF2=k xa=d2xdt2彈簧的阻力：彈簧的阻力：阻尼器的粘性摩擦阻力：阻尼器的粘

7、性摩擦阻力：加速度：加速度：可用二階線性微分方程描述，對應二階系統可用二階線性微分方程描述，對應二階系統FKxdtdxfdtxdm22 ：任何系統，只要它們的微分方程：任何系統，只要它們的微分方程具有相同的形式。在方程中，占據相同位置的量，具有相同的形式。在方程中，占據相同位置的量，。上面兩個例題介紹的系統，就是相似系統。上面兩個例題介紹的系統，就是相似系統。例例2-8例例2-10相似系統揭示了不相似系統揭示了不同物理現象間的相同物理現象間的相似關系，便于我們似關系，便于我們使用一個簡單模型使用一個簡單模型去研究與其相似的去研究與其相似的復雜系統，也為控復雜系統，也為控制系統的計算機數制系統的

8、計算機數字仿真提供了基礎。字仿真提供了基礎。ioo2o2uudtduRCdtudLC FKxdtdxfdtxdm22 ) t ( rb) t ( rdtdb) t ( rdtdb) t ( rdtdb) t ( ca) t ( cdtda) t ( cdtda) t ( cdtdam1m1m1m1mm0n1n1n1n1nn0 實際物理系統的運動方程，若用線性定常微分實際物理系統的運動方程，若用線性定常微分方程來描述，其一般形式為：方程來描述，其一般形式為：3. 線性微分方程的一般形式式中，式中， 系統的輸出量系統的輸出量 系統的輸入量系統的輸入量)t (c)t ( r從工程可實現的角度來看，上

9、述微分方程應滿足從工程可實現的角度來看，上述微分方程應滿足以下約束條件：以下約束條件：。)t ( rb)t ( rdtdb)t ( rdtdb)t ( rdtdb)t (ca)t (cdtda)t (cdtda)t (cdtdam1m1m1m1mm0n1n1n1n1nn0 mn 4. 非線性微分方程的線性化嚴格講，實際系統或多或少都有一定的非線性特嚴格講，實際系統或多或少都有一定的非線性特性，為簡化分析，在一定的條件下，可忽略一些性，為簡化分析，在一定的條件下，可忽略一些次要因素，將非線性系統簡化為線性系統。次要因素，將非線性系統簡化為線性系統。方法：方法： 若系統在工作點處的各階導數或偏導數

10、均存若系統在工作點處的各階導數或偏導數均存在，則可將非線性方程在工作點處按泰勒級數展在，則可將非線性方程在工作點處按泰勒級數展開，略去二階以上的高階項，實現近似線性化。開，略去二階以上的高階項，實現近似線性化。當偏差較小當偏差較小時，略去二階以上小偏差量，可得：時，略去二階以上小偏差量，可得： 例：將非線性系統例：將非線性系統y=f(x)y=f(x) 在靜態工作點在靜態工作點y y0 0=f(x=f(x0 0) ) 處作近似線性化處理。處作近似線性化處理。 20 xx220 xx0 xxdr)x( fd21)xx(dr)x(dfxfy00）（）（！）（）（)xx(dr)x(dfxf)x(fyy

11、0 xx000 ）（）（寫為增量形式為：寫為增量形式為：xky 式中：式中：0 xx00)dt)x(df(k,xxx,yyy （增量線性方程）解：在工作點處按泰勒級數展開：解：在工作點處按泰勒級數展開：線性化處理中應注意以下幾點：線性化處理中應注意以下幾點：1 1）必須確定系統的靜態工作點，在不同的工作）必須確定系統的靜態工作點，在不同的工作點，非線性曲線的斜率是不同的。點，非線性曲線的斜率是不同的。2 2）近似線性化略去了式中二階以上項，如果系）近似線性化略去了式中二階以上項，如果系統工作范圍較大，將帶來較大誤差。統工作范圍較大，將帶來較大誤差。3 3）對于某些本質非線性系統，不能采用近似線

12、）對于某些本質非線性系統，不能采用近似線性化處理，只能采用非線性理論進行分析處理性化處理，只能采用非線性理論進行分析處理本質非線性系統本質非線性系統輸出輸出0輸入輸入(a)飽和非線性飽和非線性輸出輸出0輸入輸入(b)死區非線性死區非線性2-3 控制系統的復域數學模型 傳遞函數微分方程微分方程是以時間是以時間t t為變量的為變量的實域數學模型實域數學模型利用拉氏變換可將線性微分方程轉換為利用拉氏變換可將線性微分方程轉換為復復數域內數域內一種新的數學模型一種新的數學模型傳遞函數傳遞函數。傳遞函數不僅可表征系統的動態性能，而傳遞函數不僅可表征系統的動態性能，而且可用來研究系統的結構和參數變化對系統且

13、可用來研究系統的結構和參數變化對系統性能的影響，是經典控制理論中最基本和最性能的影響，是經典控制理論中最基本和最重要的一種數學模型。重要的一種數學模型。1. 傳遞函數的定義和性質（1 1）傳遞函數的定義：）傳遞函數的定義：零初始條件零初始條件下下，系統輸出量的拉氏變換與輸入量，系統輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，若記為的拉氏變換之比，若記為G(s)，則，則)s(R)s(C)s(G G(S)R(s)C(s)r(t)c(t)輸入量輸入量輸出量輸出量輸入量的輸入量的拉氏變換拉氏變換輸出的量輸出的量拉氏變換拉氏變換例例2-15 2-15 求求RLCRLC電路的傳遞函數，設初始條件為零。電路的傳

14、遞函數，設初始條件為零。+-uiuo+-CLRi解：系統的動態微分方程為：解：系統的動態微分方程為：初始條為零時，方程兩邊取拉氏變換：初始條為零時，方程兩邊取拉氏變換：可得，系統的傳遞函數為可得，系統的傳遞函數為: : ioo2o2uudtduRCdtudLC )s(U)s(U)s(RCsU)s(ULCsiooo2 1RCsLCs1)s(U)s(U)s(G2io 線性定常系統微分方程的一般形式為：線性定常系統微分方程的一般形式為：可得，系統傳遞函數的一般形式為：可得，系統傳遞函數的一般形式為：)t ( rb)t ( rb)t (rb)t (rb)t (xa)t (xa)t (ca)t (cam

15、1m)1m(1)m(0n1n)1n(1)n(0 初始條件為零時初始條件為零時，方程兩邊取拉變氏得：，方程兩邊取拉變氏得： )s(R)bsbsbsb)s(C)asasasa(m1m1m1m0n1n1n1n0 asasasabsbsbsb)s(R)s(C)s(Gn1n1n1n0m1m1m1m0 （2）傳遞函數的性質 傳遞函數是一種數學模型，與系統的微分方程相傳遞函數是一種數學模型，與系統的微分方程相對應。對應。 傳遞函數是傳遞函數是系統本身的一種屬性系統本身的一種屬性，取決于系統的取決于系統的結構和特征參數，結構和特征參數，與輸入量的大小和性質無關。與輸入量的大小和性質無關。 傳遞函數只適用于傳遞

16、函數只適用于線性定常系統線性定常系統，因為拉氏變換，因為拉氏變換是一種線性變換。是一種線性變換。 傳遞函數描述的是一對確定的變量之間的傳遞關傳遞函數描述的是一對確定的變量之間的傳遞關系，對中間變量不反應。系，對中間變量不反應。 傳遞函數是在傳遞函數是在零初始條件下零初始條件下定義的，因而它不定義的，因而它不能反映在非零初始條件下系統的運動情況。能反映在非零初始條件下系統的運動情況。 傳遞函數一般為復變量傳遞函數一般為復變量s s 的有理分式，即的有理分式，即n n m m。并且所有的系數均為實數。并且所有的系數均為實數。 若若G(s)已知，則由已知，則由)s(R)s(GL)s(CL)t ( c

17、)s(R)s(G)s(C11 )s(R)s(C)s(G 即可研究在各種輸入作用下系統的輸出響應。即可研究在各種輸入作用下系統的輸出響應。2、傳遞函數的零點和極點)s(N)s(Masasasabsbsbsb)s(R)s(C)s(Gn1n1n1n0m1m1m1m0 式中：式中：m1m1m1m0bsbsbsb)s(M n1n1n1n0asasasa)s(N 分子多項式分母多項式若：若：2、傳遞函數的零點和極點2 2）使）使 所對應的點，稱為傳遞函數的所對應的點，稱為傳遞函數的極點 或稱為或稱為特征根。0)s(N 3 3）把）把 這個方程稱為這個方程稱為特征方程。0)s(N 1 1）使）使 所對應的點

18、，稱為傳遞函數的所對應的點，稱為傳遞函數的零點0)s(M 幾個重要概念：)s(N)s(Masasasabsbsbsb)s(R)s(C)s(Gn1n1n1n0m1m1m1m0 例：若系統的傳遞函數為：例：若系統的傳遞函數為：則，系統的則，系統的零點零點為：為： )4s)(3s( s)2s)(1s()s(R)s(C)s(G 2z1,z21 系統的系統的特征方程特征方程為：為：系統的系統的極點極點（特征根特征根）為：）為：0)4s)(3s( s 4p,3p,0p321 3. 傳遞函數的描述形式（2） 零極點的描述形式（首型）式中，式中，（1） 一般形式 n1jjm1iign1n-1n-1nm1m-1

19、m-1m00)ps()zs(Kcscscsdsdsdsab)s(G)n,2 , 1j(pj 傳遞函數的傳遞函數的n n個個極點極點00*abK )m,2 , 1i (zi 傳遞函數的傳遞函數的m m個個零點零點)mn(asasasabsbsbsb)s(Gn1n1n1n0m1m1m1m0 傳遞系數傳遞系數（3） 時間常數的描述形式（尾型） n1jjm1ii1n1n-1n01m1m-1m0nm)1sT()1s(K1sesese1sfsfsfab)s(G 式中，式中，分子、分母各因子的時間常數分子、分母各因子的時間常數nmabK 傳遞函數的傳遞函數的放大系數或增益放大系數或增益jiT, （4） 傳遞

20、函數有共軛復數零、極點和零值極點時式中，式中，,mm2m21 2211n1lll22lm1kkk22kn1jjm1ii)1sT2sT()1s2s()1sT()1s(K)s(G nn2n21 2211n1lll22lm1kkk22kn1jjm1ii)1sT2sT()1s2s()1sT()1s(sK)s(G 系統的數學模型一般可看作由若干個系統的數學模型一般可看作由若干個典型環節典型環節組組成。研究和掌握這些典型環節的特性將有助于對系成。研究和掌握這些典型環節的特性將有助于對系統性能的了解。統性能的了解。 常見的典型環節有：比例環節、慣性環節、積分常見的典型環節有：比例環節、慣性環節、積分環節、振

21、蕩環節、微分環節、延遲環節等。環節、振蕩環節、微分環節、延遲環節等。 4. 典型環節及其傳遞函數任一系統，其傳遞函數都可表示為：任一系統，其傳遞函數都可表示為： 2211n1lll22lm1kkk22kn1jjm1ii)1sT2sT()1s2s()1sT()1s(sK)s(G c(t)=Kr(t)C(s)=KR(s)拉氏變換拉氏變換: :傳遞函數傳遞函數: :（1）比例環節微分方程微分方程: :K-環節的放大系數環節的放大系數R(s)C(s)G(s)=KKR(s)C(s)環節的特點環節的特點: : 輸入與輸出成比例關系，無失真和時間延遲。輸入與輸出成比例關系，無失真和時間延遲。 比例環節方框圖

22、比例環節方框圖 單位階躍響應曲線單位階躍響應曲線: :ty(t)r(t)tk k1 1比例環節實例比例環節實例由線性電位器構成的比例環節：由線性電位器構成的比例環節：K=R2+R1R2uc(t)+-R1R2+-ur(t)K)s(U)s(U)s(Grc )t (Ku)t (urc （2）慣性環節微分方程微分方程:T慣性環節的時間常數慣性環節的時間常數取拉氏變換：取拉氏變換：傳遞函數傳遞函數:1Ts1)s(R)s(C)s(G )t ( r)t (cdt)t (dcT )s(R)s(C)s(TsC （2）慣性環節方框圖方框圖R(s)C(s)Ts+11單位階躍響應：單位階躍響應：慣性環節的慣性環節的單

23、位階躍響應函數：單位階躍響應函數：s1)s(R )0t (e1)t (cTt )T1s(1s1s11Ts1)s(R)s(G)s(C 單位階躍響應曲線：單位階躍響應曲線：Tte1c(t) 0tc(t)0.6320.8650.950.9821.0T2T3T4T是一條按指數規律是一條按指數規律上升的曲線。上升的曲線。慣性環節的特點慣性環節的特點: :只有一個極點：只有一個極點：輸出量不能立即復現輸入量的變化，即輸出響輸出量不能立即復現輸入量的變化，即輸出響應需要一定時間，應需要一定時間，T T越大慣性越大。越大慣性越大。輸出穩態值輸出穩態值 1)(c T1p 慣性環節實例慣性環節實例RC電路構成的慣

24、性環節電路構成的慣性環節+-u1u2+-CiR122uudtduRC 1Ts11RCs1)s(U)s(U)s(G12 動態方程動態方程傳遞函數傳遞函數式中，式中，RCT 微分方程：微分方程：（3）積分環節傳遞函數：傳遞函數： 0tdt)t ( r)t ( c s)s(R)s(C)s(G ts1sLR(s)G(s)Lc(t)11 單位階躍響應：單位階躍響應：特點：環節的輸出量與輸入量的積分成正比。特點：環節的輸出量與輸入量的積分成正比。單位階躍響應曲線單位階躍響應曲線r(t)t0c(t)1c(t)r(t)tc(t) 特點：特點：當輸入階躍函數時，該環節的輸出隨時間當輸入階躍函數時，該環節的輸出隨

25、時間線性增長，增長速度由線性增長，增長速度由決定。當輸入突然除去，決定。當輸入突然除去，積分停止，輸出維持不變，故有積分停止，輸出維持不變，故有。s1)s(R （4）微分環節1）理想微分環節單位階躍響應：單位階躍響應：dt)t (dr)t (c 特點特點:輸出量反映了輸入量的變化率，輸出量反映了輸入量的變化率，而不而不反映輸入量本身的大小。反映輸入量本身的大小。sR(s)C(s)G(s) )t (s1sL)t ( c1 動態方程：動態方程：脈沖函數脈沖函數傳遞函數：傳遞函數：單位階躍響應曲線單位階躍響應曲線在單位階躍輸入作用下，其輸出為脈沖函數，由在單位階躍輸入作用下，其輸出為脈沖函數，由于慣性的作用，理想脈沖實際中是不可能實現的。于慣性的作用，理想脈沖實際中是不可能實現的。r(t)t0c(t)c(t)r(t)近似理想微分環節實例近似理想微分環節實例+-uc+-CRurRC電路構成的微分環節電路構成的微分環節，當，當 1 1時，時，1RCsRCsCs1RR)s(U)s(U)s(Grc 1ss RC s)s(G -近似為理想微分環節近似為理想