1、精品文檔很多原理一旦上升為理論，常常伴隨著繁雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，很簡單的本質(zhì)反而被一大堆公式淹沒，通信原理因此讓很多人望而卻步。非常復(fù)雜的公式背后很可能隱藏了簡單的道理。真正學(xué)好通信原理，關(guān)鍵是要透過公式看本質(zhì)。以復(fù)傅立葉系數(shù)為例，很多人都只是會套公式計(jì)算，真正理解其含義的人不多。對于經(jīng)常出現(xiàn)的“負(fù)頻率”，真正理解的人就更少了。復(fù)傅立葉級數(shù)展開式加上三釬”可以將雉)理解成由一系列旋轉(zhuǎn)向量合成的信號，各旋轉(zhuǎn)向量的初始位置(嚴(yán)格來講是t=o時刻所在的位置)就是復(fù)傅立葉系數(shù)4。連載1:從多項(xiàng)式乘法說起多項(xiàng)式乘法相信我們每個人都會做：(x+1)(工2+2x+5)=(x3+lx2+5工)+(x2+2工+5)=

2、/+3x2+7x+5,不知道大家想過沒有相乘的兩個多項(xiàng)式系數(shù)和結(jié)果多項(xiàng)式系數(shù)之間是什么關(guān)系？+上面結(jié)果多項(xiàng)式式中d的系數(shù)Lf的系數(shù)3,工的系數(shù)工常數(shù)項(xiàng)混通過先逐項(xiàng)相乘再合并同類項(xiàng)的方法得到的，要得到結(jié)果多項(xiàng)式中的某個系數(shù)，需要兩步操作才行，有沒有辦法一步操作就可以得到一個系數(shù)呢？下面的計(jì)算方法就可以做到：K4-15+北+YX+15+2k+21十-=3/1=>3Yx+15+2x+45x+2x-7xi=7sx+15+2乂+/55這種計(jì)算方法總結(jié)起來就是：反褶：一般多項(xiàng)式都是按x的降募排列，這里將其中一個多項(xiàng)式的各項(xiàng)按x的升募排列平移：將按x的升募排列的多項(xiàng)式每次向右平移一個項(xiàng)。相乘：垂直對齊

3、的項(xiàng)分別相乘。求和：相乘的各結(jié)果相加。反褶、平移、相乘、求和-這就是通信原理中最常用的一個概念“卷積”的計(jì)算過程。連載2:卷積的表達(dá)式多項(xiàng)式N+1的系數(shù)武1)a(O)HiW多項(xiàng)式工2+2工+5的系數(shù)回2)狀1)b(0)H1251.二者相乘所得的多項(xiàng)式工3十3/+7工+5的系數(shù)ccc(l)c(O)=l375利用上面的計(jì)算方法，我們很容易得到：c(0)=a(0)b(0)c(1)=a(0)b(1)+a(1)b(0)c(2)=a(0)b(2)+a(1)b(1)+a(2)b(0)c(3)=a(0)b(3)+a(1)b(2)+a(2)b(1)+a(3)b(0)其中：a(3)=a(2)=b(3)=0在上面的

4、基礎(chǔ)上推廣一下：假定兩個多項(xiàng)式白系數(shù)分別為a(n),n=0n1和b(n),n=0n2,這兩個多項(xiàng)式相乘所得的多項(xiàng)式系數(shù)為c(n),則：c(0)=a(0)b(0)c(1)=a(0)b(1)+a(1)b(0)c(2)=a(0)b(2)+a(1)b(1)+a(2)b(0)c(3)=a(0)b(3)+a(1)b(2)+a(2)b(1)+a(3)b(0)c(4)=a(0)b(4)+a(1)b(3)+a(2)b(2)+a(3)b(1)+a(4)b(0)以此類推可以得到：n=Z盟-方).胤=0z(jiI+m2)上面這個式子就是a(n)和b(n)的卷積表達(dá)式。通常我們把a(bǔ)(n)和b(n)的卷積記為：a(n)*

5、b(n)，其中的*表示卷積運(yùn)算符。連載3:利用matlab計(jì)算卷積表面上看，卷積的計(jì)算公式很復(fù)雜，計(jì)算過程也很麻煩(反褶，平移，相乘，求和)，實(shí)際上使用Matlab很容易計(jì)算。以上面的a(n)=11,b(n)=125的卷積計(jì)算為例：> >a=11;> >b=125;> >c=conv(a,b);> >cc=1375后面很多地方的講解都會用到matlab,沒用過matlab的同學(xué)，請到網(wǎng)上下載個matlab7.0,安裝后，將上面前4行內(nèi)容拷貝到命令窗口中執(zhí)行，即可得到上面的執(zhí)行結(jié)果。為了更好地理解卷積(多項(xiàng)式相乘，相當(dāng)于系數(shù)卷積)，我們用matla

6、b畫一下高中學(xué)過的楊輝三角。楊輝三角是一個由數(shù)字排列成的三角形數(shù)表，一般形式如下：111213146151011314110511615201561其中每一橫行都表示(a+bFn(此處n=1,2,3,4,5,6,?展開式中的系數(shù)。楊輝三角最本質(zhì)的特征是，它的兩條斜邊都是由數(shù)字1組成的，而其余的數(shù)則是等于它肩上的兩個數(shù)之和。>>x=11;y=11;>>yy=11>>y=conv(x,y)y=121>>y=conv(x,y)y=1331>>y=conv(x,y)y=14641>>y=conv(x,y)y=15101051>

7、;>y=conv(x,y)y=1615201561連載4:將信號表示成多項(xiàng)式的形式多項(xiàng)式乘法給了我們啟發(fā)：如果信號可以分解為類似多項(xiàng)式的這種形式:叼/+呼+曲,同時滿足工用=/5劭），則兩個信號相乘的結(jié)果就可以通過卷積計(jì)算出來*一注；之所以強(qiáng)調(diào)工”=f6死），是因?yàn)轭l譜分析時通常關(guān)心各頻率成分的大小（任何一個同期信號者5可以表示為多個頻率分量之和；直流分量，基波分量（角頻率%=2小），2次諧波分量（角頻率為2穌）,3次諧波分量（角頻率為3穌）,等等），所以我們希望多項(xiàng)式中的各項(xiàng)是叩加的函數(shù)由J存不存在滿足這個條件的x呢？前人早就給出了答案，那就是：X=/(%)=cos/t+Jsill,1

8、¥我們可以簡單驗(yàn)算一下：#x2=(cos期+jsin娘P=cod-sin2/t+J2sin卬cos%=cos2/1+Jsii】2即=fM工？=(cos2/£+jsm2)(cos+./sin=cos2Gt/cosaf-sin2<sj(/sinj(sinq/8s2g()£+cosq/sin2鈾辦=cos3/+jsin3婚=/G/)附：前面推導(dǎo)過程中用到的幾個三角公式:sin(oc+B)=sinocosF+cowtnB+'cosCct+P)=cosocos|3sinoin1令p二%可得sin2ot,=2sinojcosarcos2kcos2ct-£

9、;m2a.令p=2%可得wsin3oi=sinacos2ari-cosasm2ot-cos3a=cGsctcos2oi-siii(x$in2連載5:著名的歐拉公式對于工二cos/t+/sin沖1,歐拉給出了一個更簡潔的表達(dá)形式:x=cos知+jsiii知=#'-這就是著名的歐拉公式。對于歐拉公式，大家知道結(jié)論就可以了，想知道怎么得來的同學(xué)請參考下面的證明歐拉公式的證明（利用泰勒級數(shù)展開）：精品文檔234m=1+21314!-1+左+皿:+（戶尸十（戶尸十（萬尸+（戶）臺,W72!314!5!6!7!x2,x3X4,x5x6,X75!617!351XXX=1+JX''-,

10、'+7F'2（314124y61F 3!5!7!.XXX=1-一+-2!4!6!=COSX4-Jsiiix式中用到了：COSX-111口2!4!6!siiix=x-+一+ja3!5!7!連載6:利用卷積計(jì)算兩個信號的乘積下面我們舉個具體的例子來體會一下如果信號可以分解為類似多項(xiàng)式的這種形式：也/2+/工+&,同時滿足工,則兩個信號相乘的結(jié)果就可以通過卷積計(jì)算出來。¥假定有如下兩個信號fffi和鼠加，f(t)=(cos2at+5cosat+6)+j(siii2at+5siiictt)ug(t)=(3cosor+2)+j3dH必*j按照一般的方法計(jì)算這兩個信號相乘

11、：#/(f)=(cos2et+?cosaf+6)+j(siii2at+5siiiat)(3cosat+2)+J3sin蹴會涉及一系列的三角函數(shù)公式，計(jì)算過程非常麻煩。具體的計(jì)算過程這里就不列了，大家可以試一下，看看有多麻煩。9文庫我們把信號妙)和旦都表示成工(/僚片的形式：4f(t)=(coslai+5cost+6)+J(疝12面+5sin+5電蘆+6=(建旌)"+5(電加)+$=(3cos#+2)+j3sinAt=3(/")+2:令工=*,則/(0=x3+5x4-6g(t)=42#)>(t)-f(t)g(t)=(x2+5x+6)(3x+2)=3x3+17x2+28x

12、+12”注工結(jié)果中的系數(shù)可以通過卷積計(jì)算出來工1,5,6/3,2=3,17,23,12?再將工=,"代回去；+7(0=f酚=%元曲+17M+2中+12，連載7:信號的傅立葉級數(shù)展開上面這種把信號表示成形式類似于多項(xiàng)式的方法，本質(zhì)上就是傅里葉級數(shù)展開，多項(xiàng)式中各項(xiàng)的系數(shù)實(shí)際就是傅里葉系數(shù)：歿)=I%-立-co其中q就是傅里葉系數(shù)04/(力=/2毆+依2+6v=3/3+2y(£)=f(£)g(£)=3/a函+172支加+2斷+12.精品文檔以頻率為橫軸，傅里葉系數(shù)為縱軸，畫出的圖就是頻譜圖幅應(yīng)Rt）的峨譜幅度g的藤諾A28f17.12柏潁率0m2H3s前面我

13、們已經(jīng)知道：3,17,28,12=1,5,6*3,2因此很容易得出：時域相乘，相當(dāng)于頻域卷積。連載8：時域信號相乘相當(dāng)于頻域卷積從上面的描述我們可以得知：為了獲得兩個信號哨和則在時域相乘的結(jié)果y(t尸鶴gQ我們可以先分析這兩個信號的頻譜耳耳和目口卜再對這兩個信號的頻譜微卷積，得到乘枳信號的頻譜仙=租產(chǎn)如斗將各頻譜分量y何乘以對應(yīng)的/“就再相加就可以得到時域的乘積信號y(tZyn涼“取，時域頻域yso6今m小鼠。血卜y(t尸即g(t)乳止用1，時上面這段話，簡單說就是“時域信號相乘，相當(dāng)于領(lǐng)域做卷積”，4注意；當(dāng)我們說頻域的時候，我們說的只是頻譜，也就是2戶旗前的系數(shù)，不包括欣本身。各頻譜分量乘

14、以對應(yīng)的罡刖欣再相加才能得到時域的信號。一連載9:用余弦信號合成方波信號前面為了利用卷積，我們將信號表示成了多項(xiàng)式的形式，用多個復(fù)指數(shù)信號合成我們所需的信號為了更好地理解多個復(fù)指數(shù)信號合成所需信號，我們先來看一下用多個余弦信號合成方波信號的過程。直流分量疊加一個cos(x)余弦分量：y=0.5+0.637.*cos(x);精品文檔再疊力口一個cos(3x)余弦分量：y=0.5+0.637.*cos(x)-0.212.*cos(3*x);再疊力口一個cos(5x)余弦分量：y=0.5+0.637.*cos(x)-0.212.*cos(3*x)+0.127.*cos(5*x);隨著合成的余弦信號越

15、來越多，波形越來越逼近一個方波，這從一個側(cè)面驗(yàn)證了傅立葉級數(shù)展開的正確性：可以將方波分解成一個直流分量和無數(shù)個余弦波分量之和O連載10：傅立葉級數(shù)展開的定義周期函數(shù)醺，周期為T,展成傅立吐級數(shù)為工。/C)=三+£(%cos底%t+b克gin七力2Sg=wT2*r/aak-Trf(t)cos0t<it(k=0f1,2t2"J2,、d=Ifsink年由Ck=1,2,)T*-rf2傅立葉級數(shù)展開的定義告訴我們：口周期函數(shù)Rt）可以分解為：直流分量CaQ;2；,余弦分量（與cm左利才），正弦分量（4疝】七外Q,其中/，然都可以通過上面的公式計(jì)算出來（至于與、線的計(jì)算公式是如何

16、得來的，暫時不需要考慮），簡單的周期函數(shù)直接就可以看出來，例如f（t）=cos%九%=0,，=1,b=0山f)=Sui=0,%=0,b1*連載11：如何把信號展開成復(fù)指數(shù)信號之和?前面我們已經(jīng)把信號展開成了直流分量、余弦分量和正弦分量之和，可是如何把信號展開成復(fù)指數(shù)信號之和呢?很容易想到前面介紹過的、把與”5城和血面聯(lián)系起來的歐拉公式:=COSAJt4-；SillAt+從這個公式可以推出二coscd=+日一制）疝1敬=上（/微-1網(wǎng)）=-院阿”2）2將上述公式代入前面的傅立葉級數(shù)展開式中，我們就可以得到一個很簡潔的復(fù)指數(shù)形式的傅立葉展開式。建議大家動手推導(dǎo)推導(dǎo)，這樣可以加深印象。a®

17、f。）二常十二®/cow上+b/sid?%）Jt=l=&+L£&（川小+包f卬）-也，*2-如）221同f：血-泡）產(chǎn)'+應(yīng)+也獷“二?£血-也）產(chǎn)'+；£&+也）ag171=-泡）/2+29%+j晨）ar七=1L/J*="iL即:川+8f©=£/左一3其中:24二.做一膽七)#二12a(a-k+力-上卜方=T,一2,一工=從原理上講，只要我們能夠得到4和線，我們就能夠計(jì)算得出R。3連載12:復(fù)傅立葉系數(shù)+«這個式子就是復(fù)揖教形式的傅立葉級數(shù)展開式，/=工限產(chǎn)明林-8其中4就

18、是復(fù)傅立葉系數(shù)以周期信號/(r*-coscti?D/(t)=sin%為例，我們初步認(rèn)識一下復(fù)傅里葉系數(shù)小(t)=COSAJt:/實(shí)博立葉系數(shù)：他二0,%=L瓦=0復(fù)傅立葉系數(shù)：J1=；，/根據(jù)R畫出頻譜如下：J精品文檔幅度A用板率仆0.5-30相位t角頻率(lI0OJ彘片整3t的頻譜/(t)=sini實(shí)博立葉系數(shù)；。0=0,%=。，仇=1山復(fù)傅立葉系數(shù)；Ji=j，C=一工一22根據(jù)4畫出頻譜如下：一幅度- 0.5i角頻率- 3QLJ相位n/2I,7角頻率- s0O-n/2fft上sin3t的頻譜為了更好地理解上面的頻譜，這里復(fù)習(xí)一下復(fù)數(shù)的模和相位的定義假定復(fù)數(shù)C=G+乃（其中方和B都是實(shí)數(shù)）的

19、模為r,相佳為連載13:實(shí)信號頻譜的共腕對稱性根據(jù)前面外的表達(dá)式和正余弦信號的頻譜圖，你有沒有發(fā)現(xiàn)k為負(fù)的部分和k為正的部分是什么關(guān)系？答案只有2個字:共扼*一k=1,2,3,一-k=-h-2,-3,以-k替代k代入凄表達(dá)式中最下面那行，得；，1，。=5g+曲”因?yàn)?¥一*1匕二;外+J瓦人所以一。二蟾（ek的共扼）V這個結(jié)論告訴我們；對于實(shí)信號|/。)=0+Z&cos左劭底線寫出院時)，將其展開2M為指數(shù)形式的傅立葉級數(shù)時，f(t) =4*Bh-cok為正值情況下的7與k為負(fù)值情況下的%是互為共扼的：模相等，相位相反,連載14:復(fù)指數(shù)信號的物理意義-旋轉(zhuǎn)向量再回頭仔細(xì)看一下

20、/C)=cost®f(t)=sill%的頻譜圖，你就會發(fā)現(xiàn)一個問題士為什么會出現(xiàn)負(fù)頻率(-5，更多時候?qū)憺橐籉，二者之間的關(guān)系為a=2力0呢？按我們一般的理解，頻率只有正的，沒有負(fù)的，例如：交流電的頻率是50Hz,如果有人說渣0Hz的交流電，我們肯定無怯理解。“這就涉及到V的物理意義；如何理解，g?十：有很多書都講工負(fù)頻率是沒有物理意義的，只在數(shù)學(xué)運(yùn)算過程中會出現(xiàn).真是這樣嗎？.答案是否定的！一關(guān)于，H的物理意義，講極坐標(biāo)的書中都會提到，遺撼的是：進(jìn)象救吐級數(shù)展開的書沒有把E加的物理意義應(yīng)用起來，導(dǎo)致大家時復(fù)傅立葉級數(shù)展開沒有任何概念！，先來看看的物理意義：/=cos奴+/sin面表

21、示一個初始相位為零的單位旋轉(zhuǎn)向量，該向量的模為1,在實(shí)軸上的投影為c小砒，在虛軸上的投影為小in砒精品文檔加上時間軸t,我們來看旋轉(zhuǎn)向量的三維圖:注：x軸為實(shí)軸，y軸為虛軸旋轉(zhuǎn)向量在x-y平面的投影：旋轉(zhuǎn)向量在x-t平面的投影:旋轉(zhuǎn)向量在y-t平面的投影:e加中的/為正值時，向量逆時針旋轉(zhuǎn)：反之，為負(fù)值時，向量順時針旋轉(zhuǎn).這就解釋了負(fù)頻率的物理意義,正頻率代表向量逆時針旋轉(zhuǎn)，負(fù)頻率代表向量順時針旋轉(zhuǎn).連載15:余弦信號的三維頻譜圖我們來回顧一下周期信號=cos%的復(fù)傅立葉系數(shù):f(t)-COS=4/嗎,2它的頻譜我們在前面己里畫過:媼幅改A().5用項(xiàng)率相位A-71/2f(t)=OSt的頻譜結(jié)

22、合£加的物理意義，我們可以將幅度一頻譜圖和相位-頻譜圖畫在同一張三維的頻譜圖中，這樣我們可以把傅立葉系數(shù)的含義看得更清楚些；/由為實(shí)軸，/由為虛軸，式由為頻率軸，所有初始位置的向量就構(gòu)成了信號的復(fù)博立葉系數(shù).例:/(t)-cost的三維頻譜圖一ft)-COSffibt卬+£一,qlrno時刻，兩個向量的位置如上圖所示，注意這兩個向量就是re)=出；的復(fù)傅立十系數(shù)口之后，=%處的向量以角速度逆時針旋轉(zhuǎn)三出二-/處的向量以角速度.順時針旋轉(zhuǎn)"這兩個旋轉(zhuǎn)向量合成的結(jié)果正好就是余茂信號，如下圖所示.4注意t=O時刻兩個向量的位置(初始位置)在實(shí)軸上，也就是說")

23、=©四氣t的復(fù)傅立葉系數(shù)是先改.口正弦信號的三維頻譜圖例:fC）二sin飛t的三維頻譜圖丫t=0時刻，兩個向量的位置如上圖所示，注意這兩個向量就是/©=由1/方的復(fù)傅立葉系數(shù)。之后，出=/處的向量以角速度逆時針廨儂=-%處的向量以角速度/順時針旋轉(zhuǎn)43這兩個旋轉(zhuǎn)向量合成的結(jié)果正好就是正弦信號，如下圖所示，“注意仁。時刻兩個向量的位置（初始位置）在虛軸上，也就是說/（。=由】.1的復(fù)傅立葉系數(shù)是虛數(shù)。/連載17:兩個旋轉(zhuǎn)向量合成余弦信號的動畫附件動畫演示的是：兩個旋轉(zhuǎn)方向相反的向量合成余弦信號。這個動畫是利用MATLAB制作并轉(zhuǎn)成.avi文件的。方法沒掌握好，動畫的生成（轉(zhuǎn)存

24、為avi文件）花了不少于半小時的時間。請matlab高手指點(diǎn)一下。謝謝！橫軸是實(shí)軸，縱軸是虛軸。連桿代表向量，連桿首尾相連代表向量相加，連桿的末端所經(jīng)過的軌跡就是合成的信號初始位置的連桿代表的向量就是信號的復(fù)傅立葉系數(shù)。連載18:周期信號的三維頻譜圖-KO復(fù)指數(shù)形式的傅立葉級數(shù)展開式；='七=-®可以將埼）理解成由一系列旋轉(zhuǎn)向量合成的信號，初始位置（嚴(yán)格來講是nu時刻所在的位置）的各岸向量就是復(fù)傅立葉系數(shù)/0翼以解為頻率軸，將右畫在z二七里處的復(fù)平面上，得到三軸諾圖，如下圖所示.，n組成處）的各旋轉(zhuǎn)向量#其中藍(lán)色的向量就是40時刻的旋轉(zhuǎn)向量，即填）的復(fù)傅立葉系數(shù)0注意：上面三

25、維頻譜圖對應(yīng)的好）是個實(shí)信號，其三物頁諾中正頻率部分的向量和負(fù)頻率部分的向量共軻對稱©連載19:復(fù)數(shù)乘法的幾何意義對于復(fù)指數(shù)形式的傅立升級數(shù)展開式中的：與產(chǎn)州，不知道大家真正理解很有？暫且認(rèn)為有人不清楚，我們一起來分析一下0/事實(shí)上，q/%就是兩個復(fù)數(shù)+目乘，因?yàn)檎故莻€復(fù)數(shù)(也可能是個實(shí)數(shù)或虛數(shù))，/帆2nco§上期+jsin方陽也是個復(fù)數(shù)口。如何理解復(fù)數(shù)t日乘呢？，考慮兩個一般的復(fù)數(shù)1句，孫假定：M4=(靖同=8(cosg+jsing)z2=法禽=z(cos+jsiiig)下面我們來計(jì)算一下總和過的乘積;小平？=華拘弓/：=說一如果覺得不好接受，我們這樣來計(jì)算,，馬弓二岑

26、+jWnqjrjcosg+jsiu)=&弓(cosg+/sing)(cosg+=口cos.-sin期in十式由14cos6+cossin&)p=播co十名)十j曲】(優(yōu)+g)總結(jié)一下，就是工兩個復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)對應(yīng)向量，上面的描述可以改成：兩個向量相乘.枳的模等于各向量模的積，積雌角等于各向量的輻角的和，具體到與/的；14：就是一個一般的向量.，產(chǎn)也初始位置位于壽由上、模為1.旋轉(zhuǎn)角速度為左的旋轉(zhuǎn)向量.這兩個向量相乘，得到的是：以7代表的向量為初始位置、模為電卜旋轉(zhuǎn)角速度為右飛的旋轉(zhuǎn)向量。如下圖所示；4代表的向量記為

27、£(=上/1。+精品文檔io3i/、，Jfr'VJ/1fJ1"，40時刻，4/師就是向量f（黑色）；打t時刻，c店施1V旋轉(zhuǎn)到紅色向量位置。一連載20:用成對的旋轉(zhuǎn)向量合成實(shí)信號在上述周期信號的三維須情圖中，沿著式由的反方向看過去,向里可以合并為一個向里！，；虛軸A/IlFi（斯*jlQ/2一i°Q：表”實(shí)軸X/、，曠jbJ/2h*.-'-*31注：圖中藍(lán)色的向量即代表復(fù)傅立葉系數(shù)，即t=0時刻旋轉(zhuǎn)向量所在的位置。精品文檔左外處和-匕/處的兩個精品文檔注意兩點(diǎn)：1、由于初始相位關(guān)于實(shí)軸對稱，旋轉(zhuǎn)角速度相同，旋轉(zhuǎn)方向相反，合并后的旋轉(zhuǎn)向量只在實(shí)軸上有

28、分量，在虛軸上沒有分量。得到這樣的結(jié)論是因?yàn)椋何覀兎治龅男盘柋旧硎菍?shí)信號。2、正負(fù)頻率對應(yīng)的復(fù)傅立葉系數(shù)合并，是向量相加，不是簡單的幅度相加。從前面的分析來看，雖然我們通過復(fù)傅立葉級數(shù)展開將實(shí)信號分解為了一系列的旋轉(zhuǎn)向量之和（由此引出了復(fù)數(shù)，使得實(shí)信號的表達(dá)式中出現(xiàn)了復(fù)數(shù)），但由于逆時針和順時針旋轉(zhuǎn)的向量成對出現(xiàn)，而且成對出現(xiàn)的旋轉(zhuǎn)向量的初始相位關(guān)于實(shí)軸對稱，旋轉(zhuǎn)的角速度相同，旋轉(zhuǎn)方向相反,所以這些旋轉(zhuǎn)向量合成的結(jié)果最終還是一個實(shí)信號（只在實(shí)軸上有分量，虛軸上的分量相互抵消掉了）。連載21:利用李薩育圖形認(rèn)識復(fù)信號通過前面的講解，我們對實(shí)周期信號及其頻譜有了一定的認(rèn)識。很多人會想到這個問題：如

29、何理解復(fù)信號？我們來回憶一下物理中學(xué)過的李薩育圖形：當(dāng)我們使用互相成諧波頻率關(guān)系的兩個信號分別作為精品文檔X和Y偏轉(zhuǎn)信號送入示波器時，這兩個信號分別在穩(wěn)定的圖形，這些穩(wěn)定的圖形就叫李薩育圖形000（X軸、Y軸方向同時作用于電子束而描繪出”，如下圖所示：OIMM第一個圖：x=C0SQ*黃）=sin（2*#）山電子束在示波器屏幕（復(fù)平面）上的運(yùn)動軌跡;f（t）=cos（2jrjf）4-jsin（2rft）=/巾,我們已經(jīng)很熟悉的旋轉(zhuǎn)向量i這實(shí)質(zhì)上就是一個復(fù)信號：因?yàn)檫@個信號不只是在實(shí)軸（送由）上有分量，在虛軸（傣由）上也有分量I*,第二個圖：x=cosiQ*找=由】（4*十）/電子束在示波器屏幕（

30、復(fù)平面）上的運(yùn)動軌跡,，=cosQk/）+jsin（4kft）41第三個圖：x-cos（27vfi）,y-siii（6yr戈）口電子束在示波器屏幕（復(fù)平面）上的運(yùn)動軌跡；（?）-cos（2/）+/熱1（6*#）+,第四個圖；x=cos(2jtft),y=sin(8r/)電子束在示波器屏幕(復(fù)平面)上的運(yùn)動軌跡；f(t)=cos(2jf)+jsin(8Ji)-第五個圖；x=cos(27rfi),y=siiiQO*/)*電子束在示波器屏幕(復(fù)平面)上的運(yùn)動軌跡f(t)=cos(2jt)+jsinflOjT)+1附：畫出李薩育圖形的matlab程序forf=1:5;t=0:0.001:1000;x=

31、cos(2*pi*t);y=sin(2*pi*f*t);subplot(1,5,f)；plot(x,y);axisoff;end連載22:實(shí)信號和復(fù)信號的波形對比在下面兩弓K圖中：x軸（實(shí)軸）、y軸（虛軸）所在的平面是復(fù)平面，t軸（時間軸）垂直于復(fù)平面。上圖為實(shí)信號f（t）=cos（2油t）波形圖。下圖為復(fù)信號f(t)=cos(2jtt)+jsin(2的波影圖。而復(fù)信號在復(fù)平面對比這兩張圖，很容易得出：實(shí)信號在復(fù)平面上投影時只有實(shí)軸方向有分量,上投影時實(shí)軸和虛軸方向都有分量。t=0:0.001:10;x=cos(2*pi*t);subplot(2,1,1);plot3(x,t,0*t);set

32、(gca,'YDir','reverse');gridon;x=cos(2*pi*t);y=sin(2*pi*t);subplot(2,1,2);plot3(x,t,y);set(gca,'YDir','reverse');gridon;再看一個復(fù)信號，該信號在復(fù)平面上的投影就是前面介紹過的李薩育圖形中的第2張圖。t=0:0.001:10;x=cos(2*pi*t);y=sin(4*pi*t);plot3(x,t,y);set(gca,'YDir','reverse');gridon;利用歐拉公式理

33、解虛數(shù)用到復(fù)數(shù)的地方都會涉及到虛數(shù)“j。”數(shù)學(xué)中的虛數(shù)一般用“i表示，而物理中一般用“j表示，物理中之所以不用“i表示虛數(shù)，主要是因?yàn)槲锢碇薪?jīng)常用“i表示電流。如果追溯起來，在高中的時候我們就學(xué)過虛數(shù)了。具體說來，我們第一次接觸虛數(shù)應(yīng)該是在解一元三次方程的時候。已知：9-2/+工-2=0-求；X。解由：川-2工"+工-2=0+,得工*Jx2(x-2)+x2=(x2)(x2+1)=0#由：工2=0必得x=2C實(shí)根)。由；工"+1=0,x1=I*3得工二士1(虛根)"感覺高中的課本就是為了給丁=-1一個解，才定義了虛數(shù)其生友為至于虛數(shù)1有什么物理意義就不得而知了。技我

34、們一般的理解；一個數(shù)和它自己相乘，應(yīng)該得到一個正數(shù)才對，例如；2X2=4,GOX(-1)=1。為什么虛數(shù)和自己相乘會得-1呢？+虛數(shù)剛被提出時，也曾經(jīng)困擾了很多數(shù)學(xué)家，被大家認(rèn)為是仃虛痔緲的數(shù)直至歐拉發(fā)現(xiàn)“歐拉公式”后，人們才對虛數(shù)的物理意義有了清晰的認(rèn)識，4下面我們來看看如何利用歐拉公式理解虛數(shù),歐拉公式：/=cos£十/sindv-7T打-TT令3=，得；/加?=cos+Jsin=J/222/=/底意味著工虛數(shù)j在復(fù)平面上對應(yīng)了一個單位向量，該單位向量位于虛鈾上”口如何理解虛數(shù)的平方，即/=-1呢？<根據(jù)前面講過的“兩個向量相乘，積的模等于各向量模的積，積的輻侍等于各向量的

35、福角的和“以我們很容易得出；向量與皿相乘，相當(dāng)于將向量逆時針*0度，/據(jù)此，實(shí)數(shù)1逆時針賺90度（乘以j）得到虛數(shù)jQx/=j）,虛數(shù)I再逆時針旋轉(zhuǎn)90度（乘以J）就得到了實(shí)數(shù)/（Jxj=-1）如下圖所示*,連載24:IQ信號是不是復(fù)信號?我們先來看看什么是工Q信號wIQ信號與IQ調(diào)制有關(guān)，IQ調(diào)制也叫正交調(diào)制，其調(diào)制原理如下；“CQS 3口1V)s(t.)30L hwina”潞和Q路分別輸入兩個數(shù)據(jù)揄%潞信號與£0£3士相乘，。恪信號與sin相乘，之后再疊加(通常Q路在疊加時會乘以-1),輸出信號為：£-(?)=acosZ-isiii»這個過程我們稱之

36、為IQ調(diào)制，也叫正交調(diào)制，輸入正交調(diào)制器的信號一般祓稱為IQ信號，經(jīng)常用復(fù)數(shù)來表示；葉jb,對應(yīng)復(fù)平面上的一個點(diǎn)，因此1Q信號通常被大家稱為“復(fù)信號，如果再將與嘴數(shù)據(jù)相乘的cos和與Q路數(shù)據(jù)相乘的sin沖1表示為：/即=8£/力+小山3這樣IQ調(diào)制就可以利用復(fù)數(shù)乘法來實(shí)現(xiàn)：川cijbQQ取實(shí)部>s（J）-antis3r，F(xiàn)屏kinwI.Jo*占川+向/叫=Re)(a+76)(cosA>0t+Jsiii/=Re鼠口cost陽一8疝i&Jot)+Jcos%t+s疝i=acos知-bsin知值得注意的是；在IQ調(diào)制過程中出現(xiàn)的信號心b“cos%八疝】與以及最終輸出的信號

37、3(t)=dcos-isiii外t全部都是實(shí)信號，只是在實(shí)現(xiàn)過程中我們把相關(guān)的信號表示為復(fù)數(shù)而己。*連載25:IQ解調(diào)原理IQ解調(diào)原理如下圖所示:h援收端收到跑后，分為兩路1，一路乘以cos口t再積分，就可以得到a：+12嚴(yán),Lrcos/.2*rn.=|(acos-bsiiict)cosattA2產(chǎn)32.=I(acos/tbsin期cos丁J-'iT/2(士(1+cos2.t)-HtT,22-T=dT2另一路乘以-泅法再積分，就可以得到b:42嚴(yán).亍LjOK一區(qū)mW）曲2*r/a,.,二亍|丁門（一0+6fin處t）sindt2產(chǎn)n.b2二亍I慢（一Qshi/tco寫卻+8或口at）d

38、t了h（-sinli）十一（1一cos2卬）出r2-T=bT2其中T=2加仍0注意工上面用到了m2樂困1cos2gt在卜T/2,T區(qū)間內(nèi)積分為九這是很顯然的，如下圖所示,黃色部分面積（橫軸上方的面積取正，撕由下方的面積取負(fù)）的代翔口為心一t=-l：o.00l：l；f=1;y=cos(2*pi*2*f*t);subplot(1,2,1);plot(t,y);y=sin(2*pi*2*f*t);subplot(1,2,2);plot(t,y);連載26:用復(fù)數(shù)運(yùn)算實(shí)現(xiàn)正交解調(diào)引入復(fù)數(shù)運(yùn)算實(shí)現(xiàn)正交調(diào)制和解調(diào)的原理工* a+jb調(diào)制在前面汽空餅過了，這里看一下解調(diào)。接收信號與£一卬相乘，再積

39、分，就可以將Ejb解調(diào)出來二? f J72 f!-rn(a - bsuict)(cos - j sinct)a?t(ci cos2一 b sin(xt cos 飛士)+ j(b sin? /t -a smojtcos 闖:、d土a , r . b , 一(1 + cos 2/力-sm.MjWy(l-coslO-si2 一+廠白亍=曰 + jb住意：對復(fù)藪進(jìn)行積分運(yùn)算就是時實(shí)部和虛部分別進(jìn)行積分運(yùn)算回到前面的正交調(diào)制解調(diào)原理框圖，如果我們把調(diào)制、信道傳輸、解調(diào)過程看作一個黑箱，那么在發(fā)送端送入黑箱的復(fù)信號被原封不動地傳送到了接收端，表面上我們實(shí)現(xiàn)了復(fù)信號的發(fā)送和接收，實(shí)質(zhì)上在信道上傳輸?shù)氖菍?shí)信號

40、s(t尸acos0tbsinQt。連載27:為什么要對信號進(jìn)行調(diào)制?無線通信系統(tǒng)是用空間福射的方式傳送信號的，由電磁波理論可以知道：天線尺寸為被輻射信號枝長的十分之一或更大些，信號才能被有效地福射。以語音信號為例,人能聽見的聲音頻率范圍為20Hz2依位，假定我們要以無線通信的方式直接發(fā)送一個頻率為10kHz的單音信號出去。口該單音信號的波長為；邦c3xlOy?n/s.八a=30km/flOxlO3/其中一C：為光速，一般認(rèn)為電磁波在空間的傳播速度等于光速0+A為信號的頻率小¥如果不經(jīng)過調(diào)制直接在空間發(fā)生這個單音信號，需要的天線尺寸至少要幾公里I實(shí)際上根本不可能制造這樣的天線0.調(diào)制過程將信號頻譜搬移到任何所需的較高頻率范圍,這樣就很容易以電磁波形式將信號福射出去。*x（f）同時，通過調(diào)制把不同的信號頻譜搬移到不同的頻率范圍內(nèi)，也就實(shí)現(xiàn)了頻分多路復(fù)用（FDM）。/連載28:IQ調(diào)制為什么被稱為正交調(diào)制?講了半天IQ調(diào)制，還沒說為什么這種調(diào)制方法又被稱為正交”調(diào)制呢？答案是：因?yàn)镮Q信號被調(diào)制到了一對正交的載波上。前面我們已經(jīng)看到了，IQ調(diào)制用的載波一個是余弦波，另一個是正弦波。為什么說余弦波和正弦波是正交的呢？這是因?yàn)檎也ê陀嘞也M足如下兩個條件：1）正弦波和余弦波的乘積在