1、數項級數的概念和性質數項級數的概念和性質 無窮級數無窮級數表達函數表達函數解微分方程解微分方程數值計算數值計算數項級數的概念和性質數項級數的概念和性質一一. 數項級數的概念數項級數的概念中學中學: 無窮等比級數無窮等比級數就是無窮級數的一種就是無窮級數的一種.12 naqaqaqa定義定義將其各項依次累加所得的式子將其各項依次累加所得的式子稱為數項無窮級數稱為數項無窮級數 nuuu21設有數列設有數列 ,21nuuu1nnu項項通項通項1. 部分和部分和:nnkknuuuuS 2112. 部分和數列部分和數列: ,21nSSS3. 收斂收斂:SSnnlim稱級數收斂稱級數收斂Sunn1nnSS

2、r稱為級數余項稱為級數余項極限不存在極限不存在,稱級數發散稱級數發散例例1. 判斷下列級數的部分和判斷下列級數的部分和,并判斷其斂散性并判斷其斂散性:(1). )!1(1)!(1)!1(11)!1( nnnnnnun解解： 1)!1(nnn級數收斂其和是級數收斂其和是1(2).)( 1)!1(11)!1(1!1()! 31! 21()! 211( nnnnsn 1212nnn)2(212232232121)1(21225232113232 nnnnnnnsns解解：級數收斂其和是3(3). nnSlim故故級數發散111132232232122112121221212122121)2()1(

3、nnnnnnnnns得得3lim2321lim nnnnss即即故有故有)1(1nnn 11)1()23()12( nnnsn 1212nnn級數收斂其和是級數收斂其和是3二二. 數項級數的性質數項級數的性質性質性質1若級數若級數 收斂于和收斂于和 S, k 為常數為常數,則則1nnukSukkunnnn 11推論推論: 級數的每一項同乘一個不為零的常數后級數的每一項同乘一個不為零的常數后,斂散性不變斂散性不變性質性質2. 兩個收斂級數可以逐項相加或逐項相減兩個收斂級數可以逐項相加或逐項相減 111)(nnnnnnnSvuvu 性質性質3. 改變有限項不影響級數的斂散性改變有限項不影響級數的斂

4、散性例例2:)3121(1nnn因為因為 和和 都收斂都收斂131nn121nn級數收斂級數收斂性質性質4. 收斂級數各項加括號后所得新級數仍收斂且和不變收斂級數各項加括號后所得新級數仍收斂且和不變注意注意: (1). 加括號后所得新級數發散加括號后所得新級數發散,則原級數發散則原級數發散.(2). 加括號后所得新級數收斂加括號后所得新級數收斂,原級數不一定收斂原級數不一定收斂.例如例如: (11)+ (11)+ (11)+.收斂收斂而而11+11+11+.發散發散.性質性質5.(級數收斂必要條件級數收斂必要條件)若級數若級數 收斂收斂,則則1nnu0limnnu注意注意:(1). 若若 ,則

5、級數則級數 發散發散1nnu0limnnu(2). 時時,級數級數 不一定收斂不一定收斂0limnnu1nnu判斷級數發散判斷級數發散的第一步驟的第一步驟01limlimnunnn例如例如:調和級數調和級數 n131211但級數發散但級數發散(2)11)1(nnnn1) 1(limlimnnunnnn不存在不存在級數發散級數發散例例3. 判斷級數斂散性判斷級數斂散性:(1)11100nnn010011100limlimnnunnn級數發散級數發散(3) 12)1cos1(nnn021)2(121sin21lim21sin2lim)1cos1 (limlim22222nnnnnnunnnnn發散

6、故原級數發散.lim) 1()()()(3)(2)(.)(,111112101231201111收斂存在則項和為的前記項和為的前記nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaSanSnaSnaaaaaaanaaaaaanaanSna收收斂斂證證明明收收斂斂收收斂斂已已知知數數列列例例 111,)(,. 4nnnnnnnaaannax 數項級數的審斂法數項級數的審斂法一一.正項級數及其審斂法正項級數及其審斂法每一項都非負每一項都非負其部分和數列有界其部分和數列有界定理定理1(基本定理基本定理)正項級數正項級數 收斂的充要條件是收斂的充要條件是1nnu定理定理2(比較審斂法比較審斂法)1nnu設設

7、 和和 都是正項級數都是正項級數,1nnv且且)., 2 , 1( nvunn1nnu1nnv若若 收斂收斂,則則 收斂收斂;1nnu1nnv若若 發散則發散則 發散發散.注意注意: 定理定理2可以與第一節的性質相結合可以與第一節的性質相結合,靈活運用靈活運用.定理定理3(比較審斂法極限形式比較審斂法極限形式)設設 和和 都是正項級數都是正項級數,1nnu1nnv如果如果)0(limllvunnn則則 和和 同時收斂或同時發散同時收斂或同時發散.1nnu1nnv定理定理4.(比值審斂法比值審斂法)設設 是正項級數是正項級數,1nnu如果如果nnnuu1lim則則:10).1 (1).2(收斂收

8、斂;發散發散;1).3(無法確定無法確定.定理定理5.(根值審斂法根值審斂法)設設 是正項級數是正項級數,1nnu如果如果nnnulim則則:10).1 (1).2(收斂收斂;發散發散;1).3(無法確定無法確定.(證明略證明略)例例 證明證明 nn13121132收斂收斂并估計以并估計以 近似代替和近似代替和 S 所產生的誤差所產生的誤差nS01limlimnunnnn解解則級數收斂則級數收斂 321)3(1)2(1)1(1|nnnnnnnrnnnnnnnnn)1(1)1(1)1(1)1(1321 pppn131211例例: p-級數的斂散性級數的斂散性解解0p時時,級數顯然發散級數顯然發散

9、.因為因為 , 而而 發散發散,則則 p-級數發散級數發散nnp1111nn1p時時,)+=()()()(spppppppppn 它的各項不大于下面的等比級數各項它的各項不大于下面的等比級數各項+=+mppppppppppppp)()()()()()( 收斂收斂收斂收斂因此因此 p-級數的部分和有界級數的部分和有界,故收斂故收斂. 發散發散 收斂收斂1p1p10 p時時,例例5. 判斷級數斂散性判斷級數斂散性:1)2)(1(1).1 (nnn21)2)(1(1nnn而而 收斂收斂121nn收斂收斂1) 1(14).2(nnnnnnnnnnn24) 1(1422而而 發散發散1)211 (22n

10、n發散發散nnn1sin1).3(1231111sin1nnnnn而而 收斂收斂1231nn收斂收斂dxxxnn 1102)1().4(2310102)1(3210ndxxdxxxunnn 由由于于而 收斂231)1(32 nn收斂 1ln)(ln1).5(nnnnnnnnnenulnln)ln(lnlnln11)(ln1 時時時時，即即當當22lnlneenn 收斂例例6. 判斷級數斂散性判斷級數斂散性:!10).1 (1nnn)0( :!).2(1annannnnnnuu1lim1010!)!1(10lim1nnnnnnnnuu1limeanannnannnnn!) 1()!1(lim11

11、收斂收斂當當級數發散時級數收斂時,.,eaea1!nnnnneea此時原級數為時，比值法失效，當enneuunnnn)11 ( , 1)11 (110limnnu故發散發散:)(ln).3(1lnnnnnn1)1(2).4(nnnnnnulim1212lim)1(nnnnnennnnnnnnlnlimlnlim2lnln由于0lnlim2nnnnnnulim收斂收斂0 故故二二.任意項級數及其審斂法任意項級數及其審斂法各項為任意實數的級數1. 交錯級數:11) 1(nnnu,.)2 , 1, 0( ,) 1(1nuunnnn或定理6 (萊布尼茲定理)若交錯級數11) 1(nnnu滿足:0lim

12、).(,.)2 , 1( ;).(1nnnnuiinuui則級數收斂,且其和 ,其1uS 1|nnur證)()()(21243212nnnuuuuuuS 1543212)()(uuuuuuSn 單調有界12limuSSnnSuSSnnnnn)(limlim122121limuSSnn則同理.|121 nnnnuuur交錯級數例如 nn1)1(41312111,.)2 , 1( ;111).(1nunnuinn01limlim).(nuiinnn收斂且S1如果nSSnn1)1(41312111 則11|nrn2. 絕對收斂與條件收斂對于一般的任意項級數1nnu考慮1|nnu正項級數1|nnu收斂

13、,則1nnu絕對收斂1nnu收斂,而 發散,則1|nnu1nnu條件收斂例如111)1(nnn1211)1(nnn絕對收斂條件收斂定理7. 如果 絕對收斂,則 必收斂1nnu1nnu證設|)|(21nnnuuv則|, 0nnnuvv由1|nnu收斂知1nnv收斂而|2nnnuvu則1nnu收斂注意:(1) 逆命題不成立 (2) 如果用比值或根值審斂法判定 發散1|nnu1nnu則 發散(證明略)例712sinnnn221sinnnn121nn收斂收斂12sinnnn絕對收斂例81ln)1(nnnn1ln)1(nnnn對1lnnnn,.)4, 3(1lnnnnn發散而11nn發散1ln)1(nn

14、nn對0lim).(,.)4 , 3( ;).(1nnnnuiinuui收斂條件收斂)2.(ln)(xxxxf).(0ln1)(2exxxxf單調減少dxxennnxn111) 1(nnnnsin)1(1令令:nnnnnu)1(1sin1由于由于1)1(nn收斂收斂知知 收斂收斂nnn1sin11絕對收斂絕對收斂令令:dxxeunnxn1則則nnnxnnxneedxedxxeu1)11 (011由于由于1)1(nne收斂收斂dxxennnx 11所以所以 收斂收斂絕對收絕對收斂斂例92)1()1()1(nnnn例例10 判斷下列級數斂散性判斷下列級數斂散性,若收斂若收斂,是絕對收斂是絕對收斂,

15、還是條件收斂還是條件收斂,)1(1nnnu令法法1 由于由于nnun2111而而 發散發散11nn1)1(1nnn由比較判別法知由比較判別法知 發散發散 12121212111)1(1)1()1()1()1(2nknkknkkknkkknkkkkkks、記記法法11)1() 1()2(nnnn,1)1(2收斂而kkkk發散211kk發散故2)1()1(knnn)0()1()1()2(2 pnkpnn)1()1(1)1()1(1)1()1(1)1(u2nnonpnnnnnnpnpnpnpnpn 解解：)1()1(21 pppnnonpn,10時時故故當當 p1)1(12111絕絕對對收收斂斂及及

16、條條件件收收斂斂， npnpnpnnnpn條條件件收收斂斂故故)0()1()1(2 pnkpnn,1時時當當 p知知由由)1()1()1(ppnnnon 故故原原級級數數絕絕對對收收斂斂,0時時當當 p0)1()1( pnnnnu故故原原級級數數發發散散例例11.12| )1(|,12| )(| )( |, 0)( 0,)( 21)( ! 21)0( )0()(0)0( , 0)0(0)(0)(lim22220法知原級數絕對收斂法知原級數絕對收斂由正項級數的比較判別由正項級數的比較判別則則令令使使上連續上連續在包含原點的小閉區間在包含原點的小閉區間又又之間之間與與介于介于從而從而鄰域內有連續二

17、階導數鄰域內有連續二階導數在在及及nMnfnxxMxfMxfMxfxxfxfxffxfffxxfxxfx .)1(,0)(lim,0)().1(10絕絕對對收收斂斂證證明明且且鄰鄰域域內內有有連連續續二二階階導導數數在在設設 nxnfxxfxxf .12sinlim1sin)(sin)(sin)(sin1121122222222故故原原級級數數發發散散一一致致，應應為為發發散散的的斂斂散散性性與與記記 nnnnnnnnnnnvuvuvnnnnnnnnnnnnnnnnnnu 122)(sin).2(nnnn 收收斂斂證證明明收收斂斂設設 112|,).3(nnnnnaa.1),1(21|1212

18、22別別法法知知原原級級數數絕絕對對收收斂斂故故由由正正項項級級數數的的比比較較判判均均收收斂斂，及及而而 nnnnnnanana., 12lim2!5sin2!11別法知原級數絕對收斂別法知原級數絕對收斂再由正項級數的比較判再由正項級數的比較判收斂收斂法知法知由正項級數的比值判別由正項級數的比值判別記記 nnnnnnnnnnueuuunnnxn 15sin2!).4(nnnnxn 三、冪級數及其收斂性三、冪級數及其收斂性 形如形如00)(nnnxxa 202010)()(xxaxxaa的函數項級數稱為的函數項級數稱為冪級數冪級數, 其中數列其中數列), 1 , 0(nan下面著重討論下面著重

19、討論00 x0nnnxa nnxaxaxaa2210例如例如, 冪級數冪級數1,110 xxxnn為冪級數的為冪級數的系數系數 .即是此種情形即是此種情形. .的情形的情形, 即即 nnxxa)(0稱稱 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 ox發發 散散發發 散散收收 斂斂收斂 發散定理定理 1. ( Abel定理定理 ) 若冪級數0nnnxa,0點收斂在xx 則對滿足不等式0 xx 的一切 x 冪級數都絕對收斂.反之, 若當0 xx 0 xx 的一切 x , 該冪級數也發散 . 時該冪級數發散 , 則對滿足不等式阿貝爾 目錄 上頁 下頁 返回 結束 冪級數在 (, +

20、) 收斂 ;由Abel 定理可以看出, 0nnnxa中心的區間. 用R 表示冪級數收斂與發散的分界點,的收斂域是以原點為則R = 0 時, 冪級數僅在 x = 0 收斂 ;R = 時,0 R冪級數在 (R , R ) 收斂 ;(R , R ) 加上收斂的端點稱為收斂域收斂域.R 稱為收斂半徑收斂半徑 ， 在R , R 可能收斂也可能發散 .Rx外發散; 在(R , R ) 稱為收斂區間收斂區間.ox發發 散散發發 散散收 斂收斂收斂 發散發散機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理2. 若0nnnxa的系數滿足,lim1nnnaa;1R;R.0R1) 當 0 時,2) 當 0 時,3) 當

21、 時,則 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2) 若若, 0則根據比值審斂法可知則根據比值審斂法可知,;R絕對收斂絕對收斂 ,3) 若若,則對除則對除 x = 0 以外的一切以外的一切 x 原級發散原級發散 ,.0R對任意對任意 x 原級數原級數因此因此因此因此 0nnnxa的收斂半徑為的收斂半徑為說明說明: :據此定理據此定理1limnnnaaR因此級數的收斂半徑因此級數的收斂半徑.1R機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 四、求冪級數收斂域的方法四、求冪級數收斂域的方法 標準形式冪級數標準形式冪級數: 先求收斂半徑先求收斂半徑 R , 再討論再討論Rx 非標準形式冪

22、級數非標準形式冪級數通過換元轉化為標準形式通過換元轉化為標準形式直接用比值法或根值法直接用比值法或根值法處的斂散性處的斂散性 .求下列級數的斂散區間求下列級數的斂散區間:;)11 () 1 (12nnnxn.2)2(21nnnxn例例12:機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 1 解解:nnnnnna)11 (limlim當ex1因此級數在端點發散 ,enn1)11 (nneu nn)11 ( nn)11 ( )(01ne. )1,1(eee時,12)11 () 1 (nnnxn,1eR exe11即時原級數收斂 .故收斂區間為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 nnnx

23、n212)2()()(lim1xuxunnn解解: 因) 1(2121nnxn22xnnxn22,122x當時，即22x,2時當x故收斂區間為. )2,2(級數收斂;一般項nun不趨于0,nlim級數發散; 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例13.) 1(31的收斂半徑求冪級數nnnnxn解解: 分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級數,lim1nnaannnnalim極限不存在1)(kkx,24212kkkxk1)(kkx12112122kkkxk)()(1limxxnnn ,)4 (2x 411R)()(1limxxnnn ,)2(2x212R 原級數 =1)(kkx1)(kkx 其收斂半徑

24、4121,minRRR注意: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 求部分和式極限三、冪級數和函數的求法三、冪級數和函數的求法 求和 變換法 逐項求導或求積分nnnxa0)(*xS對和式積分或求導)(xS難直接求和: 直接變換,間接求和: 轉化成冪級數求和, 再代值求部分和等 初等變換法: 分解、套用公式（在收斂區間內） 數項級數 求和機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 nnnxa0例例14. 求冪級數.!) 12(1) 1(120的和函數nnnxnn法法1 易求出級數的收斂域為),(022)(! ) 12(1) 1(21nnnxn原式120! ) 12() 1(21nnnxnx)sin(21x

25、x,cos2sin21xxx ),(x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 法法2 先求出收斂區間, )(xS則xnnnxxxnnxxS01200d! ) 12(1) 1(d)(220! ) 12() 1(nnnxn21120! ) 12() 1(2nnnxnxxxsin2,cos2sin21)(xxxxS, ),(設和函數為),(x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例15:.) 1()2(1nnnnx;212) 1() 1(21nnnxn解解: (1) )(21121nnnx原式) 120(2x12)2(1nnxx222211xxx22xx222)2(2xx顯然 x = 0 時上式也正確,

26、. )2,2(x故和函數為而在2xx0,)2(2)(222xxxS. 求下列冪級數的和函數：級數發散,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (2)nnxnn1111原式xnntt011dxnnttx01d1ttxd110tttxxd1100 x)1ln(x)1(ln11xx)1(ln)11(1xx) 10( xttnnxd110ttxnnxd110機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1) 1(nnnnx, )1(ln)11(1xx顯然 x = 0 時, 和為 0 ; 根據和函數的連續性 , 有)(xS110, )1(ln)11(1xxxx及0 0 x，1 1x，10 xx = 1 時, 級數也收

27、斂 . 即得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 00! )12() 1(! )2() 1(21nnnnnn例例16:0! ) 12(1) 1(nnnn解解: 原式=0! )12() 1(nnn1cos21的和 .1) 12(n211sin求級數機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 . 2 11數數的的收收斂斂域域，并并求求其其和和函函求求級級數數 nnnnx, 21lim1 nnnaaR = 2解：解：發發散散，時時，當當 121 2 nnx.2)1( 2 11收斂收斂時，時，當當 nnnx).2 , 2 x收收斂斂域域： 112)(nnnnxxS設設 121nnnnxx)21ln(1xx 0

28、x 0 210 )21ln(1)(xxxxxS.展開式展開式4=（由原級數知（由原級數知.）例例17解：解：. !)1)(1( )!1( 11的的和和的的和和函函數數，并并求求求求冪冪級級數數 nnnnnnnnx, 01limlim 1 naannnn. R 1 )!1( )S(nnnnxx 01 !)1(nnnxn 0 !)1(nnnxnx 01 ! nnnxx)e( xxx e )1( xxx 1!)1)(1( nnnn 12!1 nnn 11!1)!1( nnnnn1)e1( xxxx)1|e (1 xx= 2e (e 1 ) = e + 1 .展開式展開式 1.例例18四、函數的冪級數

29、和四、函數的冪級數和 直接展開法 間接展開法例例19:(1). 將函數2)2(1x展開成 x 的冪級數. 利用已知展式的函數及冪級數性質 利用泰勒公式解解:xx21)2(1221121x0221nnnx,22111nnnxn)2,2(x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1. 函數的冪級數展開法(2). 設)(xf0,arctan12xxxx0,1x, 將 f (x)展開成x 的冪級數 ,1241) 1(nnn的和. 解解:211x,) 1(02nnnx)1 , 1(xxarctanxxx02d11,12) 1(012nnnxn1 , 1x)(xf1212) 1(1nnnxn02212) 1(

30、nnnxn于是并求級數機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 02212) 1(nnnxn12112) 1(nnnxn)(xf1212) 1(1nnnxn1212) 1(1nnnxn12121121) 1(1nnnxnn,41) 1(21122nnnxn1 , 1x1241) 1(nnn 1) 1 (21f214機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ._, _),0( , 3 ._ . _)0( 2._ _ 1120o1o1o時時它它發發散散時時它它收收斂斂；當當當當叫叫級級數數為為若若正正項項級級數數發發散散，其其和和序序列列有有界界項項和和條條件件是是它它的的前前收收斂斂的的正正項項級級數數要要

31、條條件件是是定定義義的的。級級數數收收斂斂的的必必收收斂斂還還是是發發散散，是是用用級級數數 aarararaarnuuunnnnnnnn 充充 要要幾何幾何 |r| 1P 1比較法比較法比值比值法法根值法根值法交錯級數交錯級數), 2 , 1( 1 nuunn.0lim nnu. u1 un+1._ _,_ 10_. _ 9._ , 1|lim 1lim 8 ._ ._ 711*o*o111o11o且且新新級級數數的的和和為為，則則其其乘乘積積是是新新級級數數，兩兩個個絕絕對對收收斂斂級級數數其其和和，且且后后，新新級級數數絕絕對對收收斂斂級級數數各各項項重重排排則則級級數數或或者者，若若有有對對級級數數條條件件收收斂斂，是是指指級級數數絕絕對對收收斂斂，是是指指級級數數 nnnnnnnnnnnnnnnnnnvsuuuuuuuu收斂收斂若若 | 1 nnu, | 1發散發散若若 nnu收收斂斂而而 1 nnu必定發散必定發散仍然收斂仍然收斂不變不變 )()(1121122111vuvuvuvuvuvunnn s.）（收斂收斂則則收斂收斂若若）（收斂收斂可以可以則則發散發散發散發散若若）（發散發散則則發散發散收斂，收斂，若若）（收斂收斂收斂，則收斂，則若若）（收斂收斂收斂，則收斂，則若若）（收斂收斂，則級數，則級數若若）（收斂，則收斂，則若級數若級數 .,