1、溫州中學浙江中考復習專題一一二次函數知識點歸納二次函數知識點總結：1 .二次函數的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常數，a=0）的函數，叫做二次函數。這里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數a#0,而b,c可以為零.二次函數的定義域是全體實數.2 .二次函數y=ax2+bx+c的結構特征：等號左邊是函數，右邊是關于自變量x的二次式，x的最高次數是2.a,b,c是常數，a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項.二次函數的基本形式1. 二次函數基本形式：y=ax2的性質：結論：a的絕對值越大，拋物線的開口越小。總結：a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質a>0向上（。，

2、0）y軸x>0時，y隨x的增大而增大；x<0時，y隨x的增大而減小；x=0時，y有最小值0.a<0問卜(0,0)y軸x>0時，y隨x的增大而減小；x<0時，y隨x的增大而增大；x=0時，y有最大值0.22. y=ax+c的性質:結論：上加下減。總結:a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質a>0向上（0，c）y軸x>0時，y隨x的增大而增大；x<0時，y隨x的增大而減小；x=0時，y有最小值c.a<0問卜（0，c）y軸x>0時，y隨x的增大而減小；x<0時，y隨x的增大而增大；x=0時，y有最大值c.23. y=a（xhj的性質:結論

3、：左加右減。總結：a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質a>0向上（h，0）X=hxh時，y隨x的增大而增大；x<h時，y隨x的增大而減小；x=h時，y有最小值0.a<0問卜（h，。）X=hxh時，y隨x的增大而減小；x<h時，y隨x的增大而增大；x=h時，y有最大值0.24. y=a（xhj+k的性質:總結:7a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質a>0向上(h,k)X=hxh時，y隨x的增大而增大；x<h時，y隨x的增大而減小；x=h時，y有最小值k.a<0問卜(h,k)X=hxh時，y隨x的增大而減小；x<h時，y隨x的增大而增大；x=h時，y有最

4、大值k.二次函數圖象的平移1.平移步驟：將拋物線解析式轉化成頂點式y=a（xhj+k,確定其頂點坐標（h,k）；保持拋物線y=ax2的形狀不變，將其頂點平移到（h,k河，具體平移方法如下:y=a(x-h)2向上（k>0）【或下（k<0）】平移|k|個單位向右（h>0）或左（h<0）】平移|k|個單位向上（k>0）【或向下（k<0）】平移|k|個單位向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|個單位向上（k>0）【或下（k<0）平移|k|個單位y=ax 2+k_ 2y=ax2向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|個單位y=

5、a (x-h)2+k2.平移規律在原有函數的基礎上“h值正右移，負左移；k值正上移，負下移”.概括成八個字“左加右減，上加下減”.、二次函數y=ax-h2+k與y=ax2+bx+c的比較22.2請將y=2x+4x+5利用配方的形式配成頂點式。請將y=ax+bx+c配成y=a（xh）+k。總結:從解析式上看，y=a（x-h2+k與y=ax2+bx+c是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即y =ab 4ac -bx -2a 4a24ac-bk二4a四、二次函數y=ax2，bx，c圖象的回法五點繪圖法：利用配方法將二次函數y=ax2+bx+c化為頂點式y=a（xh）2+k,確定其開口方向

6、、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與y軸的交點（0,c）、以及（0,c）關于對稱軸對稱的點（2h,C）、與x軸的交點（x1,0）,（x2,0）（若與x軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x軸的交點，與y軸的交點.五、二次函數y=ax2bx，c的性質1.當a>0時，拋物線開口向上，對稱軸為x 二一,頂點坐標為2a2a2、b 4ac-b4a當x<-2a時，y隨x的增大而減小；當x>七時，y隨x的增大而增大；當x二-之時,y有最小2值 4ac-b4a2.當a <0時，拋物

7、線開口向下，對稱軸為bx 二一, 2a一 一 、 、一、 b4acb頂點坐標為 .，2a 4a.當x<一旦時，y隨2a2x的增大而增大；當 x>-2ay隨x的增大而減小；當x=-2時，y有最大值4acb2a4a六、二次函數解析式的表示方法1 .一般式：y=ax2+bx+c（a,b,c為常數，a#0）;2 .頂點式：y=a（xh）2+k（a,h,k為常數，a¥0）;3 .兩根式：y=a（xx1）（xx2）（a#0,X,x2是拋物線與x軸兩交點的橫坐標）.注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與x軸有交點，即b2-

8、4ac0時，拋物線的解析式才可以用交點式表示.二次函數解析式的這三種形式可以互化.七、二次函數的圖象與各項系數之間的關系1. 二次項系數a二次函數y=ax2+bx+c中，a作為二次項系數，顯然a#0.當a>0時，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之a的值越小，開口越大;當ac0時，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之a的值越大，開口越大.a的大小決定開口的大小.總結起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負決定開口方向,2. 一次項系數b在二次項系數a確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸.在a>0的前提下，當b>0時，一9<0,即拋物線的對稱軸在y軸左側

9、；2a當b=0時，2=0,即拋物線的對稱軸就是y軸；2a當b<0時，_9>0,即拋物線對稱軸在y軸的右側.在a<0的前提下，結論剛好與上述相反，即當b>0時，一上>0,即拋物線的對稱軸在y軸右側；2a當b=0時，2=0,即拋物線的對稱軸就是y軸；2a當b<0時，2<0,即拋物線對稱軸在y軸的左側.2a總結起來，在a確定的前提下，b決定了拋物線對稱軸的位置.總結：3. 常數項c當c>0時，拋物線與y軸的交點在x軸上方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為正；當c=0時，拋物線與y軸的交點為坐標原點，即拋物線與y軸交點的縱坐標為0;當c<0時，拋物線與

10、y軸的交點在x軸下方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為負.總結起來，c決定了拋物線與y軸交點的位置.總之，只要a,b,c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的.二次函數解析式的確定：根據已知條件確定二次函數解析式，通常利用待定系數法.用待定系數法求二次函數的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便.一般來說，有如下幾種情況：1 .已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；2 .已知拋物線頂點或對稱軸或最大(小)值，一般選用頂點式；3 .已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4 .已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式二、二次函數圖象的對稱二次函數圖象的對稱一般有五種情

11、況，可以用一般式或頂點式表達1.關于x軸對稱22y=ax+bx+c關于x軸對稱后，得到的解析式是y=-ax-bx-c;y=a(xh2+k關于x軸對稱后，得到的解析式是y=-a(x-h2-k；2 .關于y軸對稱22y=ax+bx+c關于y軸對稱后，得到的解析式是y=ax-bx+c；y=a(xh2+k關于y軸對稱后，得到的解析式是y=a(x+hj+k；3 .關于原點對稱22y=axbxc關于原點對稱后，得到的解析式是y=axbx-c;2y =a（x_h ） +k關于原點對稱后，得到的解析式是4.關于頂點對稱y =ax2 bx-c關于頂點對稱后，得到的解析式是2y =a（xh j +k關于頂點對稱后

12、，得到的解析式是2y =-a(x +h ) _k ；y=-ax -bx+c-; 2a2y =-a(x h +k .5.關于點（m,n稱22y=a（xh;+k關于點（m,n）對稱后，得至解析式是y=a（x+h_2m）+2nk根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發生變化，因此|a永遠不變.求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式.二次函數與一元二次方程：1 .二次函數與一元二次方程的關系（二次函數與x

13、軸交點情況）：一元二次方程ax2+bx+c=0是二次函數y=ax2+bx+c當函數值y=0時的特殊情況.圖象與x軸的交點個數： 當A=b2-4ac>0圖象與x軸交于兩點A（x1，0）,B（x2,0）（為¥*2）,其中的為，x2是一元二次b2-4ac萬程ax+bx+c=0（a#0）的兩根.這兩點間的距離AB=M乂=-.a 當A=0時，圖象與x軸只有一個交點；當A<0時，圖象與x軸沒有交點.1當a>0時，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實數，都有y>0；2'當ac0時，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實數，都有y<0.2 .拋物線y=ax2+bx+c的圖象與y軸一定相交，交點坐標為（0,c）;3 .二次函數常用解題方法總結：求二次函數的圖象與x軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程；求二次函數的最大（小）值需要利用配方法將二次函數由一般式轉化為頂點式；根據圖象的位置判斷二次函數y=ax2+bx+c中a,b,c的符號，或由二次函數中a,b,c的符號判斷圖象的位置，要數形結合；二次函數的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與x軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標與二次函數有關的還有二次三項式，