1、空間向量與立體幾何1 直線與平面、平面與平面的平行與垂直的向量方法設直線l的方向向量為a(a1，b1，c1)平面，的法向量分別為(a2，b2，c2)，v(a3，b3，c3)(以下相同)(1)線面平行laa0a1a2b1b2c1c20.(2)線面垂直laaka1ka2，b1kb2，c1kc2.(3)面面平行vva2a3，b2b3，c2c3.(4)面面垂直vv0a2a3b2b3c2c30.2 空間角的計算(1)兩條異面直線所成角的求法設直線a，b的方向向量為a，b，其夾角為，則cos |cos |(其中為異面直線a，b所成的角)(2)直線和平面所成角的求法如圖所示，設直線l的方向向量為e，平面的法

2、向量為n，直線l與平面所成的角為，兩向量e與n的夾角為，則有sin |cos |.(3)二面角的求法利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如圖所示，m，n即為所求二面角的平面角對于易于建立空間直角坐標系的幾何體，求二面角的大小時，可以利用這兩個平面的法向量的夾角來求如圖所示，二面角l，平面的法向量為n1，平面的法向量為n2，n1，n2，則二面角l的大小為或.1(用法向量判斷平行或垂直)若平面、的法向量分別為n1(2，3,5)，n2(3,7,3)，則平面與平面的位置關系是_2(空間向量平行的充要條件)若空間三點A(1,5，2)，B(2,4,1)，C(p,3，q2)共線，則pq_.3(異面直線

3、所成的角)如圖431所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，點E、F分別是棱AB、BB1的中點，則直線EF和BC1所成的角是_圖4314(空間向量的數量積)已知ABCDA1B1C1D1為正方體，()232；()0；向量與向量的夾角是60；正方體ABCDA1B1C1D1的體積為|.其中正確命題的序號是_5(二面角)過正方形ABCD的頂點A，引PA平面ABCD.若PABA，則平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是_6 (2012陜西)如圖所示，在空間直角坐標系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為()A

4、. B.C. D.7 (2013遼寧)如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點(1)求證：平面PAC平面PBC；(2)若AB2，AC1，PA1，求二面角CPBA的余弦值題型一利用空間向量證明平行與垂直例1如圖所示，平面PAC平面ABC，ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E、F、O分別為PA、PB、AC的中點，AC16，PAPC10.(1)設G是OC的中點，證明：FG平面BOE；(2)證明：在ABO內存在一點M，使FM平面BOE.反思歸納(1)空間中線面的平行與垂直的證明有兩種思路：一是利用相應的判定定理和性質定理去解決；二是利用空間向量法來論證(2)用向量法來證明平行與垂直

5、，避免了繁雜的推理論證，直接計算就行了，把幾何問題代數化尤其是在正方體、長方體、直四棱柱中相關問題的證明用向量法更簡捷，但是向量法要求計算必須準確無誤變式訓練1如圖，在直三棱柱ADEBCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M為AB的中點，O為DF的中點運用向量方法證明：(1)OM平面BCF；(2)平面MDF平面EFCD.題型二利用向量求空間角例1 (2013鄭州模擬)如圖433，已知點P在正方體ABCDABCD的對角線BD上，PDA60.圖433(1)求DP與CC所成角的大小；(2)求DP與平面AADD所成角的大小反思歸納1、利用空間向量坐標運算求空間角的一般步驟為：(1)建立恰

6、當的空間直角坐標系(2)求出相關點的坐標(3)寫出向量坐標(4)結合公式進行論證、計算(5)轉化為幾何結論2利用空間向量求兩異面直線所成的角，直線與平面所成的角的方法及公式為：(1)異面直線所成角(090)設a，b分別為異面直線a，b的方向向量，則：cos |cosa，b|.(2)線面角(090)設a是直線l的方向向量，n是平面的法向量，則sin |cosa，n|.變式訓練1如圖，三棱錐PABC中，PB平面ABC.PBBCCA4，BCA90，E為PC的中點(1)求證：BE平面PAC；(2)求二面角EABC的余弦值變式訓練2(2012課標全國)如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCAA1，

7、D是棱AA1的中點，DC1BD.(1)證明：DC1BC；(2)求二面角A1BDC1的大小變式訓練3(2013課標全國卷)如圖434，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)證明：ABA1C；圖434(2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值題型三 利用空間向量求二面角例3 (2013湖北高考)如圖435，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，直線PC平面ABC，E，F分別是PA，PC的中點圖435(1)記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關系，并加以證明(2)設(1)中的直線l與

8、圓O的另一個交點為D，且點Q滿足.記直線PQ與平面ABC所成的角為，異面直線PQ與EF所成的角為，二面角ElC的大小為，求證：sin sin sin .反思歸納 求二面角最常用的辦法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角其計算公式為：設m，n分別為平面，的法向量，則與m，n互補或相等，|cos |cosm，n|.變式訓練1(2013浙江高考)如圖436，在四面體ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2，M是AD的中點，P是BM的中點，點Q在線段AC上，且AQ3QC.(1)證明：PQ平面

9、BCD；(2)若二面角CBMD的大小為60，求BDC的大小題型四利用向量求空間距離例4 如圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BABC2，0，異面直線A1B與AC成60的角，點O、E分別是棱AC和BB1的中點，點F是棱B1C1上的動點(1)求證：A1EOF；(2)求點E到面AB1C的距離；(3)求二面角B1A1CC1的大小反思歸納求點面距的常用方法：直接法：即尋找或作出與該距離相對應的垂線段，此法的關鍵是確定垂足的位置，然后借助于直角三角形求解；等體積法：把所求的距離轉化為三棱錐的高，再通過變換三棱錐的頂點，由同一棱錐的體積是不變的，求出相應的距離變式訓練1如圖所示，在四棱錐PABCD中，

10、底面ABCD是邊長為2的正方形，平面PBC底面ABCD，且PBPC.(1)求證：ABCP；(2)求點B到平面PAD的距離；(3)設面PAD與面PBC的交線為l，求二面角AlB的大小題型五 利用空間向量解決探索性問題例5 (2013長沙模擬)如圖437所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中點圖437(1)求直線BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一點F，使B1F平面A1BE？證明你的結論反思歸納 空間向量最適合于解決這類立體幾何中的探索性問題，它無需進行復雜的作圖、論證、推理，只需通過坐標運算進行判斷解題時，把要成立的結論當作條件，據此列方程或

11、方程組，把“是否存在”問題轉化為“點的坐標是否有解，是否有規定范圍的解”等，所以使問題的解決更簡單、有效，應善于運用這一方法解題變式訓練1(2013濰坊模擬)已知正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，AA1，點D為AC的中點，點E在線段AA1上圖438(1)當AEEA112時，求證DEBC1；(2)是否存在點E，使二面角DBEA等于60，若存在求AE的長；若不存在，請說明理由典例(12分)如圖，在三棱錐PABC中，ACBC2，ACB90，APBPAB，PCAC，點D為BC的中點(1)求二面角APDB的余弦值；(2)在直線AB上是否存在點M，使得PM與平面PAD所成角的正弦值為，若存在，求出點M

12、的位置；若不存在，說明理由閱卷老師提醒(1)利用空間向量求二面角的平面角時，應注意觀察二面角是銳角還是鈍角如果兩個平面的法向量分別是m，n，兩個平面所成的銳二面角的大小為，則cos |cosm，n|.在一般的二面角大小計算中要根據這個二面角的實際大小，確定其余弦值的正、負號的選取(2)探索性問題一定要寫出結論1 在空間中，已知(2,4,0)，(1,3,0)，則異面直線AB與DC所成角的大小為()A45 B90 C120 D1352 在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，則AC1與平面BB1C1C所成角的正弦值為()A. B. C. D.3如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a

13、，M、N分別為A1B和AC上的點，A1MANa，則MN與平面BB1C1C的位置關系是()A相交 B平行C垂直 D不能確定4 在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱長相等，側棱垂直于底面，點D是側面BB1C1C的中心，則AD與平面BB1C1C所成角的大小是()A30 B45 C60 D905 在一直角坐標系中已知A(1,6)，B(3，8)，現沿x軸將坐標平面折成60的二面角，則折疊后A、B兩點間的距離為_6 已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E為C1D1的中點，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為_專題限時規范訓練一、選擇題1 已知點G是ABC的重心，O是空間任一點，若，則的值為()A1 B2

14、C3 D42 若不同直線l1，l2的方向向量分別為，則下列直線l1，l2中既不平行也不垂直的是()A(1,2，1)，(0,2,4)B(3,0，1)，(0,0,2)C(0,2，3)，(0，2,3)D(1,6,0)，(0,0，4)3 在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD平面ABCD，ABPDa.點E為側棱PC的中點，又作DFPB交PB于點F.則PB與平面EFD所成角為()A30 B45C60 D904 如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AA12，ACBC1，則異面直線A1B與AC所成角的余弦值是()A. B. C. D.5 已知a(1,1,0)，b(1,0,3)，且

15、kab與2ab垂直，則k的值為()A. B1 C. D26 如圖，過正方形ABCD的頂點A，引PA平面ABCD.若PABA，則平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是() A30 B45C60 D907 正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，點M在AC1上且，N為B1B的中點，則|為()A.a B.a C.a D.a8 將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角ABDC，則下面結論錯誤的為()AACBDBACD是等邊三角形CAB與平面BCD所成的角為60DAB與CD所成的角為60二、填空題9 到正方體ABCDA1B1C1D1的三條棱AB、CC1、A1D1所在直線的距離相等的點：有且只有1個

16、；有且只有2個；有且只有3個；有無數個其中正確答案的序號是_10如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，點E、F分別是棱AB、BB1的中點，則直線EF和BC1所成的角是_11在四面體PABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，設PAPBPCa，則點P到平面ABC的距離為_12底面是正方形的四棱錐ABCDE中，AE底面BCDE，且AECDa，G、H分別是BE、ED的中點，則GH到平面ABD的距離是_13直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，BAC30，BC1，AA1，M是CC1的中點，則異面直線AB1與A1M所成的角為_三、解答題13如圖所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC為等腰直角三角形，BAC