1、第九章多元函數(shù)微分法及其應用【教學目標與要求】1、理解多元函數(shù)的概念和二元函數(shù)的幾何意義。2、了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。3、 理解多元函數(shù)偏導數(shù)和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件， 了解全微分形式的不變性。4、理解方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計算方法。5、掌握多元復合函數(shù)偏導數(shù)的求法。6、會求隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導數(shù)。7、了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程。8了解二元函數(shù)的二階泰勒公式。9、理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極 值存在

2、的充分條件，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格郎日乘數(shù)法求條件極值，會求簡多元函數(shù)的最大 值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題。【教學重點】1、二元函數(shù)的極限與連續(xù)性；2、函數(shù)的偏導數(shù)和全微分；3、方向?qū)?shù)與梯度的概念及其計算；4、多元復合函數(shù)偏導數(shù)；5、隱函數(shù)的偏導數(shù)；多元函數(shù)極值和條件極值的求法；6、曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線；【教學難點】1、二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念；2、全微分形式的不變性；3、復合函數(shù)偏導數(shù)的求法；4、二元函數(shù)的二階泰勒公式；5、隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導數(shù)；6、拉格郎日乘數(shù)法，多元函數(shù)的最大值和最小值。【教學課時分配】（18學時）第1次課&#

3、167;1第2次課§ 2第3次課§ 3第4次課§ 4第5次課§ 5第6次課§ 6第7次課§ 7第8次課§ 8第9次課習題課【參考書】1 同濟大學數(shù)學系高等數(shù)學（下），第五版 高等教育出版社2 同濟大學數(shù)學系高等數(shù)學學習輔導與習題選解，第六版高等教育出版社3 同濟大學數(shù)學系高等數(shù)學習題全解指南（下），第六版高等教育出版社§9 1多元函數(shù)的基本概念一、平面點集n維空間1 區(qū)域由平面解析幾何知道當在平面上引入了一個直角坐標系后平面上的點P與有序二元實數(shù)組(X y)之間就建立了一一對應于是 我們常把有序?qū)崝?shù)組(X y)與平

4、面上的點P視作是等同的 這種建立了坐標系的平面稱為坐標平面二元的序?qū)崝?shù)組(X y)的全體即R2 R R (x y)| X y R就表示坐標平面坐標平面上具有某種性質(zhì)P的點的集合稱為平面點集記作E (xy)| (X y)具有性質(zhì) P例如平面上以原點為中心、r為半徑的圓內(nèi)所有點的集合是C (xy)| X2 y2 r2如果我們以點P表示(X y) 以IoPl表示點P到原點0的距離那么集合C可表成C P| | OPI r鄰域設Po(xoyo)是XOy平面上的一個點是某一正數(shù)與點Fb(XOyo)距離小于的點P(X y)的全體稱為點Po的鄰域 記為U(Pb即U(Po, ) PPPoI 或U(B) (,y)

5、(X Xo)2 (y yo)2鄰域的幾何意義U (Po)表示XOy平面上以點Po(xo yo)為中心、>o為半徑的圓的內(nèi)部的點P (X y)的全體點Po的去心鄰域 記作U(Pl ) 即U(P), ) Po PoP注如果不需要強調(diào)鄰域的半徑則用U (Po)表示點Po的某個鄰域點Po的去心鄰域記作U (Po)點與點集之間的關系任意一點P R2與任意一個點集 E R2之間必有以下三種關系中的一種(1) 內(nèi)點 如果存在點P的某一鄰域U(P) 使得U(P) E 則稱P為E的內(nèi)點(2) 外點 如果存在點P的某個鄰域U(P) 使得U(P) E則稱P為E的外點(3) 邊界點如果點P的任一鄰域內(nèi)既有屬于E

6、的點也有不屬于E的點 則稱P點為E的邊點E的邊界點的全體稱為E的邊界 記作 EE的內(nèi)點必屬于E E的外點必定不屬于 E 而E的邊界點可能屬于 E也可能不屬于E聚點如果對于任意給定的o 點P的去心鄰域U(P,)內(nèi)總有E中的點 則稱P是E的聚點由聚點的定義可知點集E的聚點P本身可以屬于E也可能不屬于E例如設平面點集E (xy)1X2 y2 2滿足1 X2 y2 2的一切點(X y)都是E的內(nèi)點 滿足x2 y2 1的一切點(X y)都是E的邊界 點 它們都不屬于E 滿足X2 y2 2的一切點(X y)也是E的邊界點它們都屬于E 點集E以及它的界邊E上的一切點都是 E的聚點開集如果點集E的點都是內(nèi)點則

7、稱E為開集閉集如果點集的余集EC為開集則稱E為閉集開集的例子 E (xy)1<X2 y2<2閉集的例子 E (xy)|1 X2 y2 2集合(xy)|1x2 y2 2既非開集也非閉集連通性 如果點集E內(nèi)任何兩點都可用折線連結(jié)起來且該折線上的點都屬于E 則稱E為連通集區(qū)域(或開區(qū)域) 閉區(qū)域y)x2y2有界集例如 E (xy)|1x2y22例如E連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域開區(qū)域連同它的邊界一起所構(gòu)成的點集稱為閉區(qū)域2對于平面點集E,O是坐標原點一個集合如果不是有界集集合(x y)x2y2X y1是無界閉區(qū)域(x其中無界集 例如集合(x y)l2 n維空間設n為取定的一個自然數(shù) 構(gòu)成的

8、集合即RnRRE如果存在某一正數(shù)r 使得U(O r)則稱E為有界點集就稱這集合為無界集2是有界閉區(qū)域 集合(x我們用Rn表示n元有序數(shù)組(xR (xX2y)l X yX2Xn)l1是無界開區(qū)域Xn)的全體所XiRiI 2nRn中的元素(X1X2Xn)當所有的X (i 1或O在解析幾何中立對應2通過直角坐標因而Rn中的元素X (x量Xi稱為點X的第i個坐標或n維向量坐標原點或n維零向量Xn)有時也用單個字母X來表示n)都為零時稱這樣的元素為R2(或R3)中的元素分別與平面(或空間)中的點或向量建Rn中的一個點或一個n維向Rn中的零元0稱為Rn中的X2Xn)也稱為X的第i個分量 特別地X2(X1R

9、n中的零元記為0多元函數(shù)概念例1圓柱體的體積 V和它的底半徑r、高h之間具有關系Vr2h這里 當r、h在集合(r h) | r>0h>0內(nèi)取定一對值(r h)時V對應的值就隨之確定例2 一定量的理想氣體的壓強p、體積V和絕對溫度T之間具有關系RTP V其中R為常數(shù)這里值就隨之確定當V、T在集合(V T) | V >0T>0內(nèi)取定一對值(V T)時 P的對應定義1設D是R2的一個非空子集稱映射f D R為定義在D上的二元函數(shù)通常記為Z f(x其中點集D稱為該函數(shù)的定義域y) (X y) D (或 Z f(P) P D)X y稱為自變量Z稱為因變量上述定義中與自變量x、y的

10、一對值(Xy)相對應的因變量Z的值 也稱為f在點(X y)處的函數(shù)值 記作f(x y) 即Z f(x y)值域 f(D) z Z f(x y) (X y) D函數(shù)的其它符號Z Z(X y) Z g(xy)等類似地可定義三元函數(shù)U f(x y Z) (XyZ)D以及三元以上的函數(shù)一般地把定義1中的平面點集D換成n維空間Rn內(nèi)的點集D 映射f D R就稱為定義在D上的n元函數(shù)通常記為Uf(X1X2Xn)(X1X2Xn)D或簡記為Uf(x)X (X1X2Xn)D也可記為Uf(P)P(X1X2Xn)D關于函數(shù)定義域的約定在一般地討論用算式表達的多元函數(shù) Uf(x)時就以使這個算式有意義的變元X的值所組

11、成的點集為這個多元函數(shù)的自然定義域因而對這類函數(shù)它的定義域不再特別標出 例如函數(shù)Z ln(xy)的定義域為(xy)| X y>0(無界開區(qū)域)函數(shù)Zarcsin(x2y2)的定義域為(xy)| x2y21(有界閉區(qū)域)二元函數(shù)的圖形 點集(x y z)|z f(x y) (X y) D稱為二元函數(shù)Z f(xy)的圖形二元函數(shù)的圖形是一張曲面三多元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限概念類似 無限接近于一個確定的常數(shù)A定義2 :設二元函數(shù)f(P)如果在P(X y)則稱A是函數(shù)f(xP0(x0yo)的過程中對應的函數(shù)值f(xy)當(X y) (xoyo)時的極限f(xy)的定義域為 DPo(xoyo)

12、是D的聚點如果存在常數(shù)y)A對于任意給定的正數(shù)總存在正數(shù)使得當P(x, y) D U (Po,)時 都有成立If(P) A| |f(x y) A|則稱常數(shù)A為函數(shù)f(xy)當(Xy)(xgy0)時的極限記為f(x,y)或 f(x y) A (X y) (x0 y0)也記作Iim f(P) A或 f(P) A(P P0)P P)lim(x,y) (X0,y0)上述定義的極限也稱為二重極限例 4.設 f(x, y) (x2 y2)sin 丁 2 求證 Iim f(x,y) 0 X y(,y) (0,0)證 因為f(,y) o l(2 y2)sin1y? 0| 2 y2lsin1yd 2 y2可見

13、>0 取則當 0 J(X 0)2 (y 0)2即 P(Xly) D U(Ol )時 總有l(wèi) f( y) 0|因此Iim f(, y) 0(,y) (0,0)必須注意(1) 二重極限存在 是指P以任何方式趨于P0時函數(shù)都無限接近于A(2) 如果當P以兩種不同方式趨于P0時函數(shù)趨于不同的值則函數(shù)的極限不存在討論2y 2 2 y2 0函數(shù)f(x,y) X y在點(00)有無極限0 2 y2 0提示 當點P(X y)沿X軸趨于點(00)時Iim f(, y) Iim f(,0) Iim 0 0(, y) (0,0)X 0X 0當點P(X y)沿y軸趨于點(00)時Iim f (, y) Iim

14、f(0, y) Iim 0 0(,y) (0,0)y 0y 0當點P (Xy)沿直線y k有1.Xy 1k2kIim 22 Iim22(,y) (0,0) X2 Y X 02 k221 k2y k因此 函數(shù)f(y)在(00)處無極限極限概念的推廣多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)的情況類似例5求Iim沁Y)(,y) (0,2) XIim(,y) (0,2) XIimy IimIim y 12 2(,y) (Q2) Xy(,y) (0,2) Xy (,y) (0,2)四多元函數(shù)的連續(xù)性定義3設二元函數(shù)f(P) f (Xy)的定義域為DR)(Xoyo)為D的聚點 且PoD 如果Iim

15、f (x,y) f(xo,yo)(,y) (o,yo)則稱函數(shù)f(X y)在點Po(xoyo)連續(xù)如果函數(shù)f (xy)在D的每一點都連續(xù)那么就稱函數(shù)f (X y)在D上連續(xù) 或者稱f (Xy)是D上的連續(xù)函數(shù)二元函數(shù)的連續(xù)性概念可相應地推廣到n元函數(shù)f(P)上去類似的討論可知一元基本初等函數(shù)看成二元函數(shù)或二元以上的多元函數(shù)時自的定義域內(nèi)都是連續(xù)的例6設f(x,y) Sin X 證明f(xy)是R2上的連續(xù)函數(shù)證設Po(xoyo)R20由于Sin X在xo處連續(xù)故0 當 |x xo|時有|sin XSin xo|以上述作Po的鄰域U(Po)則當P(X y) U(Po)時顯然| f(x y)f(x

16、oyo)l|sin XSin xo|即f(xy) Sin X在點Po(xoyo)連續(xù)由Po的任意性知Sin X作為Xy的二元函數(shù)在R2上連續(xù)它們在各定義4設函數(shù)f(xy)的定義域為DPo(xoyo)是 D的聚點 如果函數(shù)f(x y)在點Po(xoyo)不連續(xù)則稱Po(xoyo)為函數(shù)f(x y)的間斷點例如Xy函數(shù)f (x, y)X2 y2 oX2 y2 o其定義域DR2O(o o)是D的聚點 f(x y)當(X y) (oo)時的極限不存在所以點O(o o)是該函數(shù)的一個間斷點1 又如 函數(shù)Z Sin p 2其定義域為 D (xy)| x2 y21 圓周C (xX y 1y)| x2 y21

17、上的點都是 D的聚點 而f(xy)在C上沒有定義當然f(xy)在C上各點都不連續(xù)所以圓周C上各點都是該函數(shù)的間斷點注間斷點可能是孤立點也可能是曲線上的點連續(xù)函數(shù)的商在分母不為零處仍可以證明多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù)連續(xù)多元連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)多元初等函數(shù)與一元初等函數(shù)類似多元初等函數(shù)是指可用一個式子所表示的多元函數(shù)這個式子是由常數(shù)及具有不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復合運算而得到的例如XX 2y Sin(X y)ex?" “都是多元初等函數(shù)1y2一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 或閉區(qū)域所謂定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域例7求 Iim

18、y(,y) (1,2)Xy般地 求Iim f(P)時 如果f(P)是初等函數(shù)PPo且Po是f(P)的定義域的內(nèi)點則 f(P)在點Po處連續(xù)于是Iim f(P) f(F¾)例8求Iim亠(,y) (o,o) Xy五、多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1 (有界性與最大值最小值定理)在有界閉區(qū)域 D上的多元連續(xù)函數(shù)必定在D上有界且能取得它的最大值和最小值性質(zhì)1就是說 若f(P)在有界閉區(qū)域 D上連續(xù)則必定存在常數(shù)M 0使得對一切P D 有If(P)I M 且存在P1、P2 D 使得f(P1) maxf(P) P Df(P2) minf(P) P D性質(zhì)2 (介值定理)在有界閉區(qū)域 D上的多元連續(xù)函數(shù)

19、必取得介于最大值和最小值之間的任 何值小結(jié)1. 區(qū)域的概念；2. 多元函數(shù)的定義；3. 多元函數(shù)的極限及其求解；4. 多元函數(shù)的連續(xù)性。教學方式及教學過程中應注意的問題在教學過程中要注意區(qū)域的定義和多元函數(shù)的定義, 的重點，要結(jié)合實例，反復講解。師生活動設計課后習題：7，8， 9講課提綱、板書設計作業(yè) P63: 5( 2)( 4)( 6)，6( 2)( 3)( 5)( 6)多元函數(shù)的極限和連續(xù)性的理解是本節(jié)§ 92 偏導數(shù)、偏導數(shù)的定義及其計算法對于二元函數(shù)Z f(x y) 如果只有自變量X變化 而自變量y固定這時它就是X的元函數(shù) 這函數(shù)對X的導數(shù)就稱為二元函數(shù)Z f(xy)對于X的

20、偏導數(shù)定義 設函數(shù)Z f(x y)在點(xoyo)的某一鄰域內(nèi)有定義當y固定在yo而X在xo處有增量X時相應地函數(shù)有增量f(xoXyo)f(xo yo)如果極限存在則稱此極限為函數(shù) Zf(xlim f(xo,yo) f (XO) yo)X oy)在點(xoXyo)處對X的偏導數(shù) 記作例如類似地函數(shù)X Xo Xy yoX Xoy yoZX X xo y yo或 fx(xo,yo)x,yo) f (xo,yo)fx(Xo,yO) lXmofxoXf(x y)在點(Xo yo)處對y的偏導數(shù)定義為Iim f(o,yoy) f(×o,yo)y o記作xoyoxoyoy X Xo y yo或

21、fy(xoyo)偏導函數(shù)如果函數(shù)Z f(xy)在區(qū)域D內(nèi)每一點(X y)處對X的偏導數(shù)都存在那么這個偏導數(shù)就是 x、y的函數(shù)它就稱為函數(shù)Z f(xy)對自變量X的偏導函數(shù) 記作XZX或 fx(X)Y)偏導函數(shù)的定義式fx(x,y)lim f( ,y) f(,y)X oX類似地可定義函數(shù)Z f(x y)對y的偏導函數(shù)記為-Zy或 fy(X, y)y偏導函數(shù)的定義式fy(x,y) Iim f(,yy) f(,y)y oy討論下列求偏導數(shù)的方法是否正確f(o, yo)f(, y) X Xy yofy(X0,y0) fy(X,y)x Xoy yof(x0,y0) ddXf(X,y) x0fy(x0,y

22、0)舟 f(x0,y)y yo偏導數(shù)的概念還可推廣到二元以上的函數(shù)例如三元函數(shù)U f(x yZ)在點(X y Z)處對X的偏導數(shù)定義為f( ,y,z) f (,y,z)f(, y,z)IimX 0X其中(X y Z)是函數(shù)U f(x yZ)的定義域的內(nèi)點它們的求法也仍舊是一元函數(shù)的微分法問題例1求Z X2 3xy y2在點(12)處的偏導數(shù)例2求Z x2sin 2y的偏導數(shù)例 3 設 Z Xy(X 0,x 1)求證 X-1-Z 2zy X InXy例4求rX2 y2 Z2的偏導數(shù)例5已知理想氣體的狀態(tài)方程為PV=RT(R為常數(shù))求證因為RTVRTPPVR衛(wèi)VVTRT2所以弋RTRT IPV說明

23、的問題偏導數(shù)的記號是一個整體記號不能看作分子分母之商二元函數(shù)Z f(xf(0y0)f(xfy(0y0)f(0偏導數(shù)與連續(xù)性y)在點(0y0)的偏導數(shù)的幾何意義y0)是截線Z f(xy)y是截線Zf(0對于多元函數(shù)來說y0)在點M0處切線TX對X軸的斜率y)在點M0處切線Ty對y軸的斜率即使各偏導數(shù)在某點都存在也不能保證函數(shù)在該點連續(xù)例如f(,y)Xy-22X y0X2X2y2在點(00)有f(00)提示fy(00)但函數(shù)在點(00)并不連續(xù)f(,0) 0f(0, y) 0f(0,0) ddXf(,0) 0 fy(o,o) djyf(°-y) 0當點P(X y)沿X軸趨于點(00)時有

24、Iim f(, y) Iimf(X,0) Iim 0 0(, y) (0,0)X 0X 0當點P(X y)沿直線y k趨于點(00)時有.Xyrk2kIim 22 Iim 2廠22(,y) (00) X y X 0 k X 1 ky k因此Iim f (,y)不存在 故函數(shù)f(x y)在(00)處不連續(xù)(,y) (0,0)類似地可定義函數(shù)Z f( y)對y的偏導函數(shù)記為Z yfZy y或 fy(X, y)偏導函數(shù)的定義式fy(X, y)Iim f (X，yy)f(, y)y 0y二高階偏導數(shù)設函數(shù)Z f(y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導數(shù)X f(, y)y fy(X, y)則稱它們那么在D內(nèi)f(y)、f

25、y(y)都是X y的函數(shù)如果這兩個函數(shù)的偏導數(shù)也存在是函數(shù)Z f(y)的二偏導數(shù)按照對變量求導次序的為同有下列四個二階偏導數(shù)如果函數(shù)Z f( y)在區(qū)域D內(nèi)的偏導數(shù)f(y)、fy(xy)也具有偏導數(shù)則它們的偏導數(shù)稱為函數(shù)Z f(y)的二階偏導數(shù)按照對變量求導次序的不同有下列四個二階偏導數(shù)2zfy(x, y)2z2 f××(X, y)Xy X2zfyx(X, y)(丄)y2fyy(X,y)X2z"x2同樣可得三階、JZXfy(x,y)2ZX y四階、以及X(JZ yfy(X, y)稱為混合偏導數(shù)X(；)2Zy X2Z2yn階偏導數(shù)二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導

26、數(shù)例6設Z x3y23xy3 Xy1求X23ZX32ZX y由例6觀察到的問題2Zy X2ZX y定理如果函數(shù)Z f(xy)的兩個二階混合偏導數(shù)2-Z在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)y X X y2z那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導數(shù)必相等類似地可定義二元以上函數(shù)的高階偏導數(shù)例7驗證函數(shù)Z In X2 y2滿足方程證因為 Z In X2 y2 2n(x2 y2)所以ZXZyXX2 y2yX2y22Z(x2 y2) X2xy2 X2X2(x2 y2)2(x2 y2)2!z (x2 y2) y2y x2 y2 y2(x2 y2)2(x2 y2)2因此2 2X yT2272(X y )例&證明函數(shù)72(X y

27、1U丄滿足方程2uX22u2uZ2提示X2 y2 Z2UJrX2r2 X2U1 3xX2r3r42U1 3y2y2r3 r5U2U2y22U (Z2(2UX、其中r證同理XXX21r3丄X2因此一3X3x2T52UZ2丄r33z23x2)Tr)3( X2 r5y2 z2)x-(r3) X r6r31352 0r5x3r2jlXr6小結(jié)1偏導數(shù)的概念及有關結(jié)論：定義，記號，幾何意義，偏導數(shù)的存在與連續(xù)性；2偏導數(shù)的計算方法：求導的先后順序。教學方式及教學過程中應注意的問題在教學過程中要注意偏導數(shù)的定義以及偏導數(shù)的求法，特別是求導先后順序問題是本節(jié)的重點，要結(jié)合實例，反復講解。師生活動設計X1.設

28、Z f (U),方程U (U) yP(t)dt確定U是X, y的函數(shù)，其中 f(u), (U)可微,P(t), (U)連續(xù)，且 (U)1,求 p(y)-z P(X)-Z。X y2課后習題：5，6講課提綱、板書設計作業(yè) P69: 1 (4) (6) (8) ,4, 6 (3) , 8§ 9 3全微分及其應用、全微分的定義根據(jù)一元函數(shù)微分學中增量與微分的關系有偏增量與偏微分定義如果函數(shù)Z f(xy)在點(Xy)的全增量Z f(x X yy) f( y)可表示為Z A x B y o( )(, ( x)2 ( y)2)其中A、B不依賴于x、 y而僅與x、y有關則稱函數(shù)Z f(xy)在點(X

29、y)可微分f(xX y) f(x y)fx(xy) Xf(xX y)f(xy)為函數(shù)對X的偏增量fx(Xy)X為函數(shù)對X的偏微分f(xy y) f(x y)fy(y) yf(xy y)f(xy)為函數(shù))對y的偏增量f y(xy)y為函數(shù)對y的偏微分全增量Z f(x X y y)f(x y)計算全增量比較復雜我們希望用 X、y的線性函數(shù)來近似代替之記作dz 即稱A X B y為函數(shù)Z f(x y)在點(X y)的全微分dZ A x B y如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點處都可微分那么稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分可微與連續(xù)可微必連續(xù)但偏導數(shù)存在不一定連續(xù)這是因為如果Z f(xy)在點(Xy)可微則Z f(xX yy

30、) f(x y) a XB y o()于是Iim Z OO從而Iim(X, y) (0,0)f (X X, yy) limof(x, y)Z f (X, y)因此函數(shù)Z f(xy)在點(Xy)處連續(xù)定理1(必要條件)如果函數(shù)Z f(x y)在點(X y)可微分則函數(shù)在該點的偏導數(shù)-Z、一Z必定存在且函X y數(shù)Z f(xy)在點(Xy)的全微分為dz x yX y證設函數(shù)Z f(x y)在點P(X y)可微分 于是 對于點P的某個鄰域內(nèi)的任意一點P(XXyy)有ZAXByo() 特別當 y0時有f (XXy) f(xy) A X o(x|)上式兩邊各除以X再令X 0而取極限就得IimX 0f(x

31、,y)Xf(x,y) A從而偏導數(shù)X存在且Z XA同理可證偏導數(shù)-存在y且Z B y所以dzZXZyXy簡要證明設函數(shù)Zf(xy)在點(Xy)可微分于是有ZAXB y o()特別當 y O時有f (XXy) f(xy) A X o(|X)上式兩邊各除以X 再令X 0而取極限就得Iimf (X ,y)f(x,y)Iim AO(I Xl) AX 0XX 0X從而Z存在且-ZA同理Z存在且Z B所以dZ Z X Z yXXyyXy偏導數(shù)、-Z存在是可微分的必要條件但不是充分條件例如函數(shù)f (x, y)斗2 y2vx2 y2OX2 y2O) O但函數(shù)在(OO)不可微分窮小這是因為當(Xy)沿直線y X

32、趨于(OO在點(OO)處雖然有f x(OO) O及 f y(OO即 Zfx(OO) X fy(OO)y不是較高階的無Z f(O,O)Xfy(O,O) yO)時X yX X 1 O()2 ( y)2 ( )2 ( )22定理2(充分條件)如果函數(shù)Z f(x y)的偏導數(shù) 、-Z在點(Xy)連續(xù)則函數(shù)在該點可微分X y定理1和定理2的結(jié)論可推廣到三元及三元以上函數(shù)按著習慣x、y分別記作dx、dy并分別稱為自變量的微分貝U函數(shù)Z f(x y)的全微分可寫作dz -ZdX -Zdy X y二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理疊加原理也適用于二元以上的函數(shù)例如函數(shù)U

33、f (X y Z)的全微分為du -UdX -Udy -UdZ XyZ例1計算函數(shù)Z X2y y2的全微分例2計算函數(shù)Z eXy在點(2 1)處的全微分例3計算函數(shù)U X Sin * eyZ的全微分小結(jié)1. 全微分的定義；2. 可微、可導、連續(xù)性之間的關系。教學方式及教學過程中應注意的問題在教學過程中要注意全微分的定義，可微、可導、連續(xù)性之間的關系是本節(jié)的重點，要結(jié)合實例，反復講解。師生活動設計1.函數(shù)Z f(X, y)在(xO,y°)可微的充分條件是()(A) f(x,y)在(xO,y°)連續(xù)；(B) fx(, y), fy(, y)在(0在0()o, yo)的某領域內(nèi)存

34、在;(C) Z f(, y) X fy(, y) y 當.X)y)20時是無窮小量;(D) Z f(, y) X fy(, y) y" 2 2J( ) ( y)2課后習題：5講課提綱、板書設計作業(yè) P75: 1( 1)( 3)，3當.()2 ( y)2時是無窮小量§S 9 4多兀復合函數(shù)的求導法則設Zf(UV)而U(t)V(t) 如何求dzdt設Zf(UV)而U(Xy) V(X y) 如何求和Xy1復合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形定理1如果函數(shù)U(t)及 V(t)都在點t可導函數(shù)Z f(uV)在對應點(U V)具有連續(xù)偏導數(shù)則復合函數(shù)dz Z du dt U dtZ f

35、 (t)Z dvV dt(t)在點t可導且有簡要證明1 因為Z f(uV)具有連續(xù)的偏導數(shù)所以它是可微的即有ZdU U又因為U 及V%tdtdzdu-ZdVV(t)都可導因而可微dv Vdtdt即有代入上式得dzZdUldtU dt丄需dt (丄譽VdtUdt-ZdV)dtV dt從而dzdt 簡要證明Z duU dtZ dvV dt取得增量t時U、V及Z相應地也取得增量U、V及 Z由 Z f(U2當tV）、IU(t)及 V（t）的可微性有ZZUU -V v 。（）-o( t)卒tVdt0(t) 0()(UdU dtZ dV)V dt7t (-UV)O(t) o()ZZdUZ dv(ZU晉0(

36、)tUdtV dtt令t 0 上式兩邊取極限即得dzZdUZ dvdtUdtV dt注Iim o(t o t）Iim。（）、（t 0U)2 (tV) 2 0(dU)2dt3o推廣設Zf (UVW)U(t)V(t) W(t) 則Z f(t)(t)對t的導數(shù)為dzZ dUZ dVZ dwdtU dtV dtW dt上述dz稱為全導數(shù)dt2復合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形定理2如果函數(shù)U(Xy)V(Xy）都在點(Xy）具有對X及y的偏導數(shù)函數(shù)Z f（UV）在對應點（UV）具有連續(xù)偏導數(shù)則復合函數(shù)Zf (X y)(X y)在點(X y)的兩個偏導數(shù)存在且有ZZUZVZZUZ VXUXVXy UyV

37、 y推廣設Z f(U VW )U(Xy)V(Xy)W(X y)貝 UZZUZ VZWZZ UZVZWXUXVXWXyU yVy Wy討論(1)設 Z f(U V) U(Xy)V(y)則-ZZXy提示ZZUZZ UZ dvXUXyU yVdy(2)設 Zf(u X y)且U (X y)則Z 一ZXyZf UfZfUf提示XU XXy Uy y這里 Z與一f是不同的Z是把復合函數(shù)Z f (Xy) XXXX數(shù) 是把f(u X y)中的U及y看作不變而 對X的偏導數(shù)Xy中的y看作不變而對X的偏導-Z與丄也朋類似的區(qū)別y y(X3.復合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)定理3如果函數(shù)U函數(shù)Z f(uV)在對應點

38、(Uy)的兩個偏導數(shù)存在eus in Vf (X, y, Z)UVSin tf(Xf(X又有多元函數(shù)的情形(X y)在點(X y)具有對X及對y的偏導數(shù)V)具有連續(xù)偏導數(shù)則復合函數(shù)Z函數(shù)V(y)在點y可f (X y) (y)在點且有Z dvV dyXyex2y 求 禾口 -ZX yy2Z2而 Z x2sin yetV cos t求全導數(shù)dzXyZ)f具有二階連續(xù)偏導數(shù)y)的所有二階偏導數(shù)連續(xù)(1)()2X由直角坐標與極坐標間的關系式得U f(X y)f( CoS Sin )F(其中Xcos ySin y2應用復合函數(shù)求導法則2wW及X X Z把下列表達式轉(zhuǎn)換成極坐標系中的形式)y arcta

39、n 丄XUUUUXUyUXXX2UUUUyUXUyyy2得cosSin兩式平方后相加得U ysinU cos再求二階偏導數(shù)同理可得兩式相加巳22uX22UX2全微分形式不變性設 Z f(u(-ucos(-ucos22cos22去丿)2(”U Sin)Sin2u Sin cosU 2sin cos U sin22u Sin 222-Sin2U 2sin2uCoS22u 12122u Sin cos2u CoS22V)具有連續(xù)偏導數(shù)如果Z f(uV)具有連續(xù)偏導數(shù)U COS21_2u2 2U)則有全微分dz -ZdU dvUV而 U (X y) V(Xy)也具有連續(xù)偏導數(shù)則dz dx X-Zdyy

40、Z（丿dx 丄dy）二dx dy） UX y V X y-ZdU dv UV由此可見無論Z是自變量U、V的函數(shù)或中間變量 U、V的函數(shù) 它的全微分形式是一樣的這個性質(zhì)叫做全微分形式不變性例6設Z eusin V U Xy VXy利用全微分形式不變性求全微分解 dz -ZdU -ZdVeusin VdUeucos VdVUVeUsi n V(y dx Xdy ) eUcos V(dx dy)(ye USin V e UCoS V)dx (Xe US in V e UCoS V )dyexy y Sin(X y) cos(x y)dxexy x Sin(X y) CoS(K y)dy小結(jié)1復合函數(shù)

41、求導的鏈式法則“分段用乘，分叉用加，單路全導，叉路偏導”；2.全微分形式不變性。教學方式及教學過程中應注意的問題在教學過程中要注意復合函數(shù)求導的鏈式法則“分段用乘，分叉用加，單路全導，叉路偏導”，全微分形式不變性，要結(jié)合實例，反復講解。師生活動設計1. 已知 f(,y)yx2 1， f(, y)ly2 2x,求 f2(,y)y22. 設函數(shù)Z f(x,y)在點(1,1)處可微，且f(1,1)1， |(1,1) 2， |(1,1) 3，Xy(X) f (X, f (x,x),求-d 3(x) |x1dx講課提綱、板書設計作業(yè) P82： 2，4，6，9，10§95隱函數(shù)的求導法則、一個方

42、程的情形隱函數(shù)存在定理1設函數(shù)F(X y)在點P(Xoyo)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導數(shù)F(Xoyo) 0Fy(Xoyo) 0 則方程F(X y) 0在點(xoyo)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)y f(x)匕滿足條件yf(x°)并有dyFXdxFy求導公式證明將yf(x)代入 F(X y) 0得恒等式F(X f(x)0等式兩邊對X求導得dX0由于Fy連續(xù)且Fy(X0y0)得所以存在(X0yo)的一個鄰域在這個鄰域同F(xiàn)y 01dy FX dX Fy1驗證方程 的隱函數(shù)y解定理1可知設 F(X y)方程X2y2f(X)2 2X y2 2X y0在點(01)的某一鄰域

43、內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導數(shù)、當X 0并求這函數(shù)的一階與二階導數(shù)在X 0的值則 FX 2xFy 2y F(01)0Fy(01)2 0 因此由0在點(01)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導數(shù)、當X 01的隱函數(shù)y f(x)dyFXXdy0dx Fy ydxX 0d2yy Xyyx(A)ydx2y2y2時yy2 X2Jy3 Yl隱函數(shù)存在定理還可以推廣到多元函數(shù)一個二元方程F(X y) 0可以確定一個一元隱函數(shù)一個三元方程F(X y Z) 0可以確定一個二元隱函數(shù)隱函數(shù)存在定理2設函數(shù)F(X y Z)在點P(xoyozo)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導數(shù)且F(xoyoZo) 0Fz(oyozo)0則方

44、程F(X y z) 0在點(xoyozo)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確ZFXXFZZyFyFZ公式的證明將Zf(xy)代入F(X yZ)o得 F(X y f(xy) o將上式兩端分別對X和y求導得FXFZ-Z oFyFZ-Z oXy因為FZ連續(xù)且Fz(xoyoZO)o所以存在點(xoyozo)的一個鄰域使Fz o于是得定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)Z f( y)它滿足條件Zof(oyo)并有ZFXZFyXFZyFZ2z例2 設 X2y2 Z24zo求-Z2X2解設F(Xy Z)X2y2Z24z 則 FX 2x Fy 2z 4Z2xXXFZ2z42 ZJZ (2 X)Xf (2 X)億)(2 X)2 2X2(2 z)2(2 z)2(2 z)3、方程組的情形在一定條件下由個方程組F(X yUV)OG(XyU V) o可以確疋一對二兀函數(shù)U u(x y)V V(X y)例如方程XU yVo和yUXV 1可