1、用拉格朗日方程推導單自由度的系統動力學方程拉格朗日方程在理論力學課程中已經介紹過，所以推導直接給出該方程如下： ddtEkqi-Ekqi+Epqi=Fi i=1,2,n (1)式中：Ek系統的動能； Ep系統的勢能； qi廣義坐標，它可以完全確定機械系統運動的一組獨立參數； Fi廣義力，當廣義坐標為一角位移時Fi為一個力矩，當廣義坐標為一線位移時Fi為一力；n系統的廣義坐標。單自由度系統只有一個廣義坐標，用q表示。對主動構件作回轉運動這種一般情況，常將主動構件的轉角選定為系統的廣義坐標。整個系統的能量和機械功均可表示為這個坐標的函數。1.系統的動能設機械系統中的第i個構件作一般平面運動，其動能

2、Eki表示為 Eki=12mivsi2+12Jsiwi2 (2)式中：mi構件i的質量； Jsi構件i相對于其質心的轉動慣量； vsi構件i質心的速度； wi構件i的角速度。作平動的構件的功能只含上式的第一項，作繞質心的定軸轉動的構件則只含第二項。機械系統全部構件的動能總和為： Ek=i=1lEki=i=1l(12mivsi2+12Jsiwi2) (3)式中l為活動構件總數。動能也可以表示為： Ek=12Jeq2 (4)式中： Je=i=1lmivsiq2+Jsiwiq2 (5)Je稱為系統的等效轉動慣量。這里分析的是廣義坐標q的變化規律因此q（稱為廣義速度）是隨時間變化的。2.系統的勢能對剛

3、體機械系統，不計構件的彈性變形和變形能，而且一般情況下，由構件的重量產生的勢能與動能相比數值也很小，因此拉格朗日方程中的勢能常常略去。3.系統的廣義力設Fk（k=1,2，m）和Mj（j=1,2，n）分別為作用于機械上的外力和外力距，則這些力和力矩的功率為： P=k=1mFkUkcosk+j=1n±Mjwj (6)式中：wj有外力距Mj作用的構件的角速度; vk外力Fk作用點的速度； kFk與vk夾角。式中第二項符號的確定方法為：當Mj與wj同向時取正號，反向取負號。廣義力的定義就是作用在廣義坐標處的一個力或力矩，它所作的功等于系統中全部力和力矩在同一時間內所作的功。因此，當廣義坐標為

4、一個角位移時，廣義力F為一等效力矩Me，它可以按下式計算： F=Me=k=1mFkUkcoskq+j=1n±Mjwjq (7)按照拉格朗日方程中的要求，將(4)表達的功能求導數得： Ekq=12Jeqq2 (8) Ekq=Jeq (9) ddtEkq=Jeq+Jeqq2 (10)將式7、式8和式10代入拉格朗日方程(1)可得到： Jeq+12Jeqq2=Me (11)這就是單自由度機械系統的動力學方程。1. 機械系統動力學簡介機械動力學作為機械原理的重要組成部分，主要研究機械在運轉過程中的受力，機械中各部分構件的質量和構件之間機械運動的相互關系，是現代機械設計的重要理論基礎。一般來說

5、，機械動力學的研究內容包括六個方面：（1）在已知外力作用下求機械系統的真實運動規律；（2）分析機械運動過程中各構件之間的相互作用力；（3）研究回轉構件和機構平衡的理論和方法；（4）研究機械運轉過程中能量的平衡和分配關系；（5）機械振動的分析研究；（6）機構分析和機構綜合。其主要研究方向是機械在力的作用下的運動和機械在運動過程中產生的力，并且從力和相互作用的角度對機械進行設計和改進的學科。2. 機械系統動力學的前期發展人類的發展過程中，很重要的一個進步特征就是工具的使用和制造。從石器時代的各種石制工具開始，機械的形式開始發展起來。從簡單的工具形式，到包含各類零件、部件的較為先進的機械，這中間的發

6、展過程經歷了不斷的改進與反復，也經歷了在國家內部與國家之間的傳播過程。機械的發展過程也經歷了從人自身的體力，到利用畜力、風力和水力等，材料的類型也從自然中自有的，過渡到簡單的人造材料。整個發展過程最終形成了包含動力、傳動和工作等部分的完整機械。人類從石器時代進入青銅時代、鐵器時代，用以吹旺爐火的鼓風器的發展起了重要作用。有足夠強大的鼓風器，才能使冶金爐獲得足夠高的爐溫，才能從礦石中煉得金屬。中國在公元前1000前900年就已有了冶鑄用的鼓風器，并漸從人力鼓風發展到畜力和水力鼓風。早在公元前，中國已在指南車上應用復雜的齒輪系統。古希臘已有圓柱齒輪、圓錐齒輪和蝸桿傳動的記載。但是，關于齒輪傳動瞬時

7、速比與齒形的關系和齒形曲線的選擇，直到17世紀之后方有理論闡述。手搖把和踏板機構是曲柄連桿機構的先驅，在各文明古國都有悠久歷史，但是曲柄連桿機構的形式、運動和動力的確切分析和綜合，則是近代機構學的成就。近代的機械動力學，在動力以及機械結構本身來說，具有各方面的重大突破。動力在整個生產過程中占據關鍵地位。隨著機械的改進，對于金屬和礦石的需求量增加，人類開始在原有的人力和畜力的基礎上，利用水力和風力對機械進行驅動，但是這也造成了很多工廠的選址的限制，并不具有很大的推廣性。而后來稍晚出現的紐科門大氣式蒸汽機，雖然也可以驅使一些機械，但是其燃料的利用率很低，對于燃料的需求量太大，這也使得這種蒸汽機只能

8、應用于煤礦附近。瓦特發明的具有分開的凝汽器的蒸汽機以及具有回轉力的蒸汽機，不僅降低了燃料的消耗量，也很大程度上擴大了蒸汽機的應用范圍。蒸汽機的發明和發展，使礦業和工業生產、鐵路和航運都得以機械動力化。蒸汽機幾乎是19世紀唯一的動力源。但蒸汽機及其鍋爐、凝汽器、冷卻水系統等體積龐大、笨重，應用很不方便。19世紀末，電力供應系統和電動機開始發展和推廣。20世紀初，電動機已在工業生產中取代了蒸汽機，成為驅動各種工作機械的基本動力。生產的機械化已離不開電氣化，而電氣化則通過機械化才對生產發揮作用。發電站初期應用蒸汽機為原動機。20世紀初期，出現了高效率、高轉速、大功率的汽輪機，也出現了適應各種水力資源

9、的大、小功率的水輪機，促進了電力供應系統的蓬勃發展。19世紀后期發明的內燃機經過逐年改進，成為輕而小、效率高、易于操縱、并可隨時啟動的原動機。它先被用以驅動沒有電力供應的陸上工作機械，以后又用于汽車、移動機械（如拖拉機、挖掘機械等）和輪船，到20世紀中期開始用于鐵路機車。蒸汽機在汽輪機和內燃機的排擠下，已不再是重要的動力機械。內燃機和以后發明的燃氣渦輪發動機、噴氣發動機的發展，還是飛機、航天器等成功發展的基礎技術因素之一。3. 機械動力學的發展過程經典力學的創立為機械動力學的發展奠定了理論基礎，兩次工業革命對機械動力學提出了要求，以及機械振動學和機械動力學理論的早期發展。經典力學是機械學科中很

10、重要的理論基礎，同時也是機械運動學和動力學的基礎。經典力學理論體系的創立和發展，在機械動力學的發展方面做出了巨大的貢獻，另一方面，機械學和機械動力學的發展直接相關的數學理論的發展也起到了極其重要的推動作用。經典力學、分析力學以及彈性力學等力學理論的進一步發展，在機械的動力以及結構發展起到了很大的促進作用。而微積分、微分方程理論、變分法、矩陣論和概率論等數學理論的發展更是將機械動力學推上了新的高度。19世紀英國數學家漢密爾頓用變分原理推導出漢密爾頓正則方程，此方程是以廣義坐標和廣義動量為變量，用漢密爾頓函數來表示的一階方程組，其形式是對稱的。用正則方程描述運動所形成的體系，稱為漢密爾頓體系或漢密

11、爾頓動力學，它是經典統計力學的基礎，又是量子力學借鑒的范例。漢密爾頓體系適用于攝動理論，例如天體力學的攝動問題，并對理解復雜力學系統運動的一般性質起重要作用。拉格朗日動力學和漢密爾頓動力學所依據的力學原理與牛頓的力學原理，在經典力學的范疇內是等價的，但它們研究的途徑或方法則不相同。直接運用牛頓方程的力學體系有時稱為矢量力學；拉格朗日和漢密爾頓的動力學則稱為分析力學。動力學的基本內容動力學的基本內容包括質點動力學、質點系動力學、剛體動力學、達朗貝爾原理等。以動力學為基礎而發展出來的應用學科有天體力學、振動理論、運動穩定性理論，陀螺力學、外彈道學、變質量力學，以及正在發展中的多剛體系統動力學等。質

12、點動力學有兩類基本問題：一是已知質點的運動，求作用于質點上的力；二是已知作用于質點上的力，求質點的運動。求解第一類問題時只要對質點的運動方程取二階導數，得到質點的加速度，代入牛頓第二定律，即可求得力；求解第二類問題時需要求解質點運動微分方程或求積分。而兩次工業革命也對于機械工業和機械科學的發展，尤其是機構學和動力學的發展有很大的推動作用。第一次工業革命中蒸汽機車的發明和改進以及當時的機械發明，第二次工業革命的電氣時代中的汽輪機的誕生與發明，內燃機的發明與進步，一方面既是機械動力學的發展成果，另一方面也推動了自己學科的進步。此后機械動力學的發展趨勢，逐漸朝著機械和機械和運載工具的高速化和大功率化

13、、機械的精密化、機械的輕量化、機械的自動化方向發展。機械機構學和機構運動學的發展，包括了震動理論的建立和發展，其中包括了線性理論和非線性理論等。轉子動力學的起步，包含剛性轉子平衡技術、軸承轉子系統動力學的發展也是這一時期的重要理論進步。而機構學的建立，特別是理論運動學的發展，在機構學的德國學派和俄蘇學派中也有了長足的進步。在機構的演進和傳動機構的演進中，凸輪機構、連桿機構、間歇運動機構的演進，齒輪傳動、蝸桿傳動、鏈傳動和帶傳動、傳動系統的復雜化都為機械動力學的發展提供了條件。第二次世界大戰后科技的大發展為機械動力學的進一步發展提供了指導思想、方法和技術手段，機械工業的巨大進步向機械動力學提出了

14、新的要求，機械動力學在縱向形成為包括建模、分析、仿真、動力學設計與控制的綜合學科，在橫向形成了機構動力學、機械傳動動力學、轉子動力學、機器人動力學、機床動力學和車輛動力學等多個分支領域。系統論、控制論、和信息論的誕生，為機械動力學的發展提供了新的指導思想、理論和方法。電子計算機的發明，以及基于計算機的數值方法的進步，為機械動力學提供了全新的技術手段和數學工具。非線性科學的誕生和非線性振動理論的發展，強烈地影響到機械動力學的各個領域，從線性理論提升理論是一個質的飛躍。基于計算機計算的多體動力學的出現，為復雜系統的動力學建模與分析提供了新的理論和工具。信號分析理論和方法的進步是機械振動測試手段、狀

15、態監測技術以及故障診斷技術發展的基礎。從橫向的研究對象看，機械動力學中發展出機構動力學、機械傳動動力學、轉子動力學、機器人動力學、車輛動力學、機床動力學等分析領域；從動力學的研究內容看，機械動力學發展為動力學建模、動力學分析、動力學仿真、動力學設計、減振與動力學控制，以及狀態監測和故障診斷等一系列領域的內容豐富的綜合學科；從動力學建模的對象看，Newton研究的事單質點，Euler研究了單剛體，Lagrange啟動了多剛體系統的研究，而今天的機械動力學已發展到多彈性體系統、多柔性體系統的研究。從動力學的數學工具看，Newton在力學研究中發明了微積分，Lagrang使用了變分法，眾多學者在微分

16、方程的定性分析和求解方面做出了貢獻。二戰后，動力學的計算逐步地、完全地實現了計算機化；同時各種復雜的微分方程，包括袋鼠微分方程，剛性微分方程的數值方法也取得迅速發展。此外，機械動力學的發展也離不開各類建模方法的多樣化。其中包含了多剛體系統的建模方法：Newton-Euler的矢量力學方法、Lagrange的分析力學方法和Kane的多體動力學方法；微幅振動彈性系統的建模方法：動態子結構方法和傳遞矩陣法；驗建模方法；柔體系統動力學的建模方法：彈性動力分析方法。機械系統動力學建模的精細化則有，精細地估計系統的剛度、阻尼和摩擦計入材料非線性計入幾何非線性關于沖擊振動的研究復雜機械系統中多種物理場的耦合

17、。運動學以及運動學軟件的發展也至關重要，其中有ADAMS軟件和其他的有限元分析軟件，而虛擬樣機技術也起到了極大的作用。4. 機械系統動力學發展方向4.1 機器人動力學20 世紀60 年代，機器人學誕生并快速地發展起來，它是機構學、機械電子學、計算機科學和信息科學等多學科綜合而成的前沿學科。各種工業機器人已越來越廣泛地應用于噴漆、搬運、焊接和裝配等工業生產線上，各種特種機器人則應用于海洋探測、外空探索等領域。機器人機構學成為機構學中異常活躍的一個分支。為了提高機器人的速度，高速、柔性機器人已經出現。機器人機構的復雜性遠遠超過了一般的平面機構，而且機器人的動力學必須考慮控制。并聯機器人是機器人學及

18、機構學領域多年來的熱門研究課題，目前，在并聯機器人結構設計及運動學分析方面國內外都己取得大量成果，但在并聯機器人動力學方面的工作卻很少，只有一些初步成果。如果想要提高并聯機器人的工作能力，特別是動剛度和精度，就必須從其動力學這一根本問題上下工夫。可以說，并聯機器人能否在加工機床、重型及精密操作等場合得到很好的應用，最終是取決于動力學這一關鍵問題的解決程度。在此領域中，系統建立并聯機器人動力學模型和分析方法、全面認識其動力特性、從而改善和提高其性能、最終設計出具有良好動力學品質的并聯機器人，在這一系列研究課題中還有許多工作要做。同時，如能考慮并聯機器人中部件的變形，與柔性機器人結合起來，還可以開

19、發出柔性并聯機器人這一新的研究方向，這對進一步提高機器人性能、擴展機器人研究領域都是具有積極作用的。4.2 柔性多體系統動力學近40年來，國內外專家學者不斷創造性地提出和改進各種多體系統動力學方法。依據不同的動力學原理（方法），柔性多體系統動力學建模主要基于兩類基本方法：矢量力學方法和分析力學方法。Newton/Euler（N/E）方法是典型的矢量力學方法，其特點是對每個物體做隔離分析，物理意義明確，刻劃了系統完整的受力關系，是目前動力學實時分析控制的主要手段。分析力學方法主要包括由dAlember原理出發導出的Lagraage方法及由Gauss極小值原理出發導出的LiLov方法等，主要以La

20、grange方法為代表，其特點是將系統作為整體考慮，在建模過程中不出現約束反力，列寫運動微分方程規格化，方程數目最少，所得方程為常微分方程，處理的是標量，但推導過程繁冗，所得方程很長。4.3 三維可視化仿真機械系統動力學三維可視化仿真是機械系統動力學研究的一個熱點問題。上世紀80年代以來，基于多體系統動力學理論，開發出了許多著名的多體系統商業可視化軟件包，比較知名的有ADAMS、DADS、MADYMO等，為工程技術領域提供強有力的計算機輔助分析的工具。隨著多體系統理論和仿真算法的不斷發展，這些軟件的分析功能在不斷增強，版本也在不斷升級，也逐漸可以同有限元技術在大型結構分析中的應用相媲美。國內一些大學的力學系和機械系與十多年前就開始跟蹤國際前沿的研究，在基礎理論和方法上取得了許多重要的進展和成果。但較之國外，在應用和軟件的產業化方面還存在著很大的差距，而這正是我國當前所急需的。5. 機械系統動力學的未來展望近代機械發展的一個顯著特點是，自動調節和控制裝置日益成為機械不可缺少的組成部分。機械動力學的研究對象已擴展到包括不同特性的動力機和控制調節裝置在內的整個機械