1、第一章 函數、極限、連續第1節 函數基本內容學習一 基本概念和性質1函數的定義設有兩個變量和，變量的變域為，如果對于中的每一個值，按照一定的法則，變量有一個確定的值與之對應，則稱變量為變量的函數，記作：。 2函數概念的兩要素定義域：自變量的變化范圍對應關系：給定值,求值的方法。3函數的三種表示方法顯式：形如的稱作顯式，它最直觀，也是初等函數一般采用的形式。隱式：有時有些關系用顯式無法完全表達，這時要用到隱式，形如，如橢圓函數。參數式：形如平拋運動的軌跡方程稱作參數式。參數式將兩個變量的問題轉化為一個變量的問題，從而使很多難以處理的問題簡化。4函數的四個基本性質奇偶性：設函數在對稱區間上有定義，

2、如果對于恒有(或)，則稱為偶函數(或奇函數)。注：偶函數圖形關于軸對稱，奇函數的圖形關于坐標原點對稱。有界性：設函數在區間上有定義,如果,使得對一切,恒有：,則稱在區間上有界；若不存在這樣的，則稱在區間上無界.注：函數有無界是相對于某個區間而言的。周期性：設函數在區間上有定義,若存在一個與無關的正數，使對任一，恒有 則稱是以為周期的周期函數，把滿足上式的最小正數稱為函數的周期。單調性：設函數在區間上有定義，如果對,恒有：(或)則稱在區間上是單調增加(或單調減少)的；如果對于,恒有： (或)則稱在區間上是嚴格單調增加(或嚴格單調減少)的。5其它函數定義復合函數：設函數的定義域為，而函數的定義域是

3、值域為，若，則稱函數為的復合函數，它的定義域是。這里表示空集。反函數：設函數的值域為，如果對于中任一值，從關系式中可確定唯一的一個值，則稱變量為變量的函數，記為：，其中稱為函數的反函數，習慣上的反函數記為：。6初等函數常值函數 (為常數)，冪函數 ，定義域由確定，但不論如何，在內總有定義。指數函數 (且) 對數函數 ( 且) 三角函數 如；,；等反三角函數 ；,；,.以上六類函數稱基本初等函數。由基本初等函數經有限次加、減、乘、除、復合而成的函數稱初等函數。7分段函數一個函數在其定義域內，對應于不同的區間段有著不同的表達式，則該函數稱為分段函數。分段函數僅是說函數的表示形式，并不是說它是幾個函

4、數。常見的分段函數：符號函數 取整函數 表示不超過的最大整數；,當，其中為整數。狄利克萊(Dirichlet)函數 絕對值函數 基本題型訓練一 典型例題1判斷函數的等價性例1.1下列各題中，函數與是否相同？為什么？(1) (2) (3) ；(4) ；解：(1)不相同，因為的定義域是，而的定義域是。(2)不相同，因為兩者對應法則不同，當時，。(3)相同，因為兩者定義域、對應法則均相同。(4)不相同，因為兩者定義域不同。2求函數的定義域例1.2設的定義域為則的定義域為多少？解：函數的定義域是指的變化范圍，即。故對函數而言，的變化范圍為，由函數表達式的“變量無關性”，知：的定義域為。常見錯誤：。主要

5、是對定義域所指的變量取值范圍理解不深，誤認為，由此得到。3判斷函數奇偶性例1.4下列函數中哪些是奇函數，哪些是偶函數，哪些是非奇非偶函數？(1) (2) 解：(1)因為為奇函數，為偶函數，所以為奇函數。(2) ,故為奇函數4判斷函數的周期性例1.5下列哪些是周期函數？對于周期函數，指出其周期。(1) (2) 解 (1) 是周期函數，周期為；(2) 是周期函數，周期是25判斷函數單調性例1.6設在上有定義，且對任意，有證明在上單調增加。證明：設所以，而 所以 所以 即在上單調增加。6求反函數例1.7求函數的反函數解：令，則。所以， 即，所以，所以反函數即為所求。7復合函數求法例1.8設則等于多少

6、？解：當時，所以當時有；當時，所以時有，故。注：求復合函數一般用三種方法：分析法，代入法，圖示法。本題用的是分析法，下面分別介紹這三種方法。(1)分析法：是抓住最外層函數定義域的各區間段，結合中間變量的表達式及中間變量的定義域進行分析，從而得出復合函數的方法，該法適用于初等函數與分段函數或分段函數之間的復合。(2) 代入法：將一個函數中的自變量用另一個函數的表達式來替代，這種構成復合函數的方法，稱之為代入法，該法適用于初等函數或抽象函數的復合，這種方法在求復合函數時一般最先想到。(3) 圖示法：借助于圖形的直觀性達到將函數復合的一種方法，適用于分段函數，尤其是兩個均為分段函數的復合。關于圖示法

7、解題的一般步驟如下：先畫出中間變量函數的圖形；把的分界點在平面上畫出(這是若干條平行于軸的直線)；寫出在不同區間段上所對應的變化區間；將所得結果代入中，便得的表達式及相應的變化區間。關于這種方法我們會在后面的練習或者能力拓展中用到。二 能力拓展例1設F(x)是連續函數f(x)的一個原函數，表示“M的充分必要條件是N”，則必有(A)F(x)是偶函數f(x)是奇函數。 (B)F(x)是奇函數f(x)是偶函數。(C) F(x)是周期函數f(x)是周期函數。 (D)F(x)是單調函數f(x)是單調函數。 A解法一：任一原函數可表示為，且當F(x)為偶函數時，有，于是，即 ，也即，可見f(x)為奇函數；

8、反過來，若f(x)為奇函數，則為偶函數，從而為偶函數，可見選(A)。解法二：令f(x)=1，則取F(x)=x+1，排除(B)、(C)； 令f(x)=x， 則取F(x)=， 排除(D)；故應選(A)。例2設則等于 。(A) 0 (B)1 (C) (D) 解：由1得，1，故應選(B)函數理論框架圖第2節 極限與連續性基本內容學習一 基本概念1極限的概念定義2.1 一個正整數,當時，恒有 。若存在極限，稱收斂，否則稱發散。定義2.2 一個整數，當時，有定義2.3 正數，當時，有2數列、函數極限的基本性質與相關定理定理2.1(極限的不等式性質)設，若，則，當時，；若時，則。定理2.2(極限的唯一性)

9、設，則。定理2.3(收斂數列的有界性)設收斂，則有界（即）。定理2.4(極限的不等式性質) 設，若則>0，當時；若()，則。推論(極限的保號性) 若,則存在一個，當 時，(或)。定理2.5(極限的唯一性)設 ，則。定理2.6(夾逼準則) 設在的領域內，恒有，且，則。定理2.7(單調有界準則) 單調有界數列必有極限。3函數連續性定義定義2.1設函數在的某領域內有定義，給在處以增量，相應地得到函數增量。若極限，則稱在處連續。定義2.2設函數滿足條件：(1)在的某領域內有定義；(2)存在；(3)則稱在處連續。定義2.3若在內任一點均連續，則稱在內連續。定義2.4若在內連續，在處右連續(即)，在

10、處左連續(即)，則稱在內連續。4間斷點及分類間斷點定義 若在處出現以下三種情形之一：(1)在處無定義；(2)不存在；(3)。則稱為的間斷點。間斷點的分類：第類間斷點均存在。其中若，稱為可去間斷點。若,稱為跳躍間斷點。第類間斷點：至少有一個不存在。若之中有一個為，則稱為無窮間斷點。5閉區間上連續函數的性質(1)(連續函數的有界性)設函數在上連續，則在上有界，即常數，對任意的，恒有 。(2) (最值定理)設函數在上連續，則在上至少取得最大值與最小值各一次，即使得： (3) (介值定理)若函數在上連續，是介于與(或最大值與最小值)之間的任一實數，則在上至少一個，使得。(4) (零點定理或根的存在性定

11、理)設函數在上連續，且，則在內至少 一個，使得5無窮小及其階(1)無窮小與無窮大的定義定義2.5在某一過程中以零為極限的變量稱為無窮?。浚?。一個，當時，恒有。，當時，恒有。定義2.6在自變量的某一變化過程中，若函數的絕對值無窮增大，則稱函數為無窮大量。一個，當時，恒有一個，當時，恒有(2)無窮小與無窮大、無窮小與極限的關系；在同一極限過程中，。(3)無窮小階的概念定義2.7設在同一極限過程中，、為無窮小且存在極限。若，則稱是比高階的無窮小，記為若，則稱是比低階的無窮小。 若，則稱與是同階無窮小。 若，則稱與是等價無窮小，記為。若，則稱為的階無窮小。(4)等價無窮小的重要性質若，且存在，則該結

12、論表明：在求極限過程中等價無窮小因子可以替換。()(5)確定無窮小階的方法利用洛必達法則 確定使得，則時，是的階無窮小。 洛必達法則：法則 (型)設函數滿足條件： ；在的領域內可導(在處可除外)且；存在(或)。則法則 (型)設函數滿足條件：；一個，當時，可導，且；存在(或)。則法則(型) 設函數滿足條件：；在的領域內可導(在處可除外)且；存在(或)。則同理法則(型)仿法則可寫出。泰勒公式 。若則。因此是的階無窮小(后面章節還會講到)。利用無窮小的運算性質 如若時，分別是的階與階無窮小，則是的階無窮小，當時，是的階無窮小。本章需要記憶知識1重點概念、性質函數的定義、函數連續的定義、間斷點及其類型

13、、夾逼準則、單調有界準則等。2重點公式；常用極限： 特例 基本題型訓練1求復合函數例 設，求。解：由題設分以下情況討論。 (1)當時，或， 即或， 即(2)當時， 或， 即或， 即綜上所述，2利用函數概念求函數表達式例 已知，求。解：令，則。于是從而。注：設，其中是已知函數，則有兩類問題：一是已知；二是已知。若f是已知，并存在反函數，則。若已知，并存在反函數，令，則，從而，即。 因此，這兩類問題都是求反函數問題。3求未定型函數極限例 求下列極限 解：原式 原式 1 原式 原式 ( ) 4求變限積分不等式的極限例 求極限解：原式=注：在驗證條件時，要用到以下結論:若連續，又 ，則。5由極限確定函

14、數中的參數例 確定的值，使 解：當 時，由 可得 原式 同理可得 故原式 故c=例 試確定常數 的值，使極限 存在，并求該極限值.解：原式 存在由 可得 ，即 則原式 同理由 可得 ，即 所以原式 6利用函數收斂準則求極限例1 (利用夾逼準則)_ _解： 且 又 由夾逼原則可得原式 例2 (利用單調有界準則)若序列的項滿足：(為正的常數)，且，(這里)。試證有極限，并求出它。解：由，又，今用數學歸納法證。這只須注意到：。又 ，故單調且有下界，從而其極限(時)存在，令其為。由 有 即 ，即，所以 。從而7求n項和數列的極限例 求解：<而，另一方面，>且，故由夾逼定理原式8求n項積數列

15、極限例 當時，原極限 9利用函數極限求數列極限例 求解：因為可化為求又因為，其中而，故原式=10無窮小的比較與無窮小的階的確定例 設函數，則f(x)在內(A) 處處可導 (B) 恰有一個不可導點(C) 恰有兩個不可導點 (D) 至少有三個不可導點 C 解：先求出f(x)的表達式，再討論其可導情形當時，； 當時，；當時，即 可見f(x)僅在x=時不可導，故應選(C)11函數連續性與間斷點類型的討論例 判斷間斷點并判別類型解：當 時， 當 時， 當 時， 即 ，所以 為函數 第一類間斷點12有關極限的證明例 設在連續, ,求證證明因，由極限的不等式性質可知，因此注： 若 ，類似可知，若 。13利用

16、泰勒公式求極限例 求下列極限(關于泰勒展式有關內容可參見第三章)(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；解 (1) 分母的次數為4， 只要把，展開到出現的四次冪即可。 故 原極限(2) 的展開式只要取到2項即可 原極限(3) 分子關于的次數為2。 原極限 (4) 故 練習題一1填空題(1) 已知 則 _(2) 設函數 有連續的導函數， ， ,若 在 處連續，則常數 (3) 設當 時， = 為 的 階無窮小，則 (4) (5) 已知 ，則 ， (6) _ _(7) (8) = (和為正整數且)(9)設在處間斷，則a與b應滿足的關系是 2 選擇題(1) 若函數 在 處連續，則 的值是 (2)

17、設 其中 則必有 (3) 函數在定義域內為 (A)有上界無下界. (B)有下界無上界. (C)有界,且. (D)有界且(4) _ (A) (B) (C) (D)4(5) 則_(A)1 (B)0 (C) (D)不存在(6) 設,則_(A) 有無窮多個第一類間斷點, (B) 自由一個可去間斷點(C) 有兩個跳躍間斷點 (D) 有3個可去間斷點3計算與證明(1) 求極限 (2) 設 試討論 在 處的連續性和可導性.(3) 試確定常數 的值，使極限 存在，并求該極限值.(4) 設 ，且 是 的可去間斷點，求 的值。(5) 設 求 的值。(6) 設 在 的某鄰域內二階可導，且 求 及 (7) 設是三次多

18、項式，且有，求。(8) 設函數在開區間內連續，且，試證：，使 。(9) 設在上連續，且，證明：一個，使得(10) 設，在上連續，且，則在內至少一個，使：(11)證明方程恰有3個實根.(12)求復合函數設,求參考答案1 (1)-1 (2)a+b (3) ， (4) (5) , (6) 2 (7) (8) (9) 2 (1) (A) (2) (D) (3) (C) (4) (A) (5) (D) (6) (D)3 (1) (2) 1 (3) , (4) , (5) , (6) (7) (8) 提示：用介值定理 (9) 提示：輔助函數，用零點定理 (10) 輔助函數，利用介值定理 (11) 可利用零

19、點定理 (12) 可利用前面講到的求復合函數當中的圖示法極限理論框架圖第二章 一元函數微分學本章要求1理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關系，理解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量(數三、數四不要求)，理解函數的可導性與連續性之間的關系。(數三、數四增加要求了解經濟意義（含邊際與彈性的概念）。2掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，掌握基本初等函數的導數公式。了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分。3了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數。4會求分段函數的導數，會求隱函數和參數方程所確定的函數以及反函

20、數的導數。(數三、數四參數方程求導不要求)5理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理泰勒定理，了解并會用(數三、數四不要求)柯西中值定理。6掌握用洛必達法則求未定型極限的方法(數三、數四會用洛必達法則求極限)。7理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數最大值和最小值的求法及其應用。8會用導數判斷函數圖形的凹凸性，會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數的圖形。9了解曲率和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑(數三、數四不要求)。第1節 導數與微分基本內容學習一 基本概念與定理1導數的概念定義1(函數在某點的導數)：設函數在的領域內有定義，給在處以增量

21、，函數和相應地得到增量，如果極限(1) 存在，則函數在點處可導，該函數值稱為函數在處的導數，記為 ， 即 令 ，則 (1) 定義2(左右導數)：函數在處的左、右導數分別定義為 左導數 右導數 定義3(函數在區間上可導)：如果在內每一點均可導；則稱該函數在內可導；若在內可導，且在和處分別具有右導數和左導數，則在上可導。2導數的幾何意義與物理意義導數的幾何意義：導數在幾何上可表示曲線在點處的切線斜率，曲線在點的切線方程及法線方程分別是及 ()導數的物理意義： 設表示直線運動，其中表示位移，t表示時刻，則表示在時刻t的瞬時速度，表示在時刻t的加速度。如果表示物理上的其他量，即導數表示該量的變化量。3

22、微分的概念定義4：如果函數在點x處的某鄰域內有定義，當自變量在點x取得增量時，函數的增量可表示為 其中A是與無關的量，是當時比高階的無窮小，則稱在x處可微，稱為在點x處的微分，記為或，即(1)由于當x為自變量時，同時可證，所以(1)又可寫成(函數的一階微分與其導數的關系)。二 基本定理1與導數有關的幾個基本定理(1)可微與可導之間的關系: 函數在x處可微在x處可導(2)可導與連續的關系：若函數在點處可導，則在點x處連續，但函數連續不一定可導。(3)導數與左右導數的關系：存在。基本知識記憶1導數的運算法則四則運算法則：設函數，在點可導則(1) (2) (3) 2反函數的運算法則 設在點的某鄰域內

23、單調連續，在點處可導且，則其反數在點所對應的處可導，并且有。3復合函數的運算法則若在點可導，而在對應點()可導，則復合函數在點可導，且。4基本導數與微分表(1) （常數） (2) (為實數) (3) 特例 (4) 特例 (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) 基本題型訓練1一元函數導數與微分概念的命題例 設在處連續，且，求。解：由導數定義 ，而在處連續 2幾類一元函數的導數與微分例 求下列函數的導數或微分(1) (2) 設 求解：(1) (2) 例 求由參數式確定的函數的導數設 求解：，將該式對求導，右端先對求導再乘上得=例

24、 求隱函數的導數或微分隱函數求導：由方程所確定的函數，稱為是變量的隱函數。隱函數導數的求法一般有三種方法：(1)方程兩邊對求導，要記住是的函數，則的函數是的復合函數。例如，等均是的復合函數。對求導應按復合函數連鎖法則做。(2)公式法。由知 其中，分別表示對和的偏導數。(3)利用微分形式不變性。在方程兩邊求微分，然后解出。舉例說明如下：例 設方程，求。方法一：，方法二：令 因為 ， 所以方法三：， 注：關于隱函數的三種方法，大家可以根據具體題目具體分析，采用適合題目的最好方法。分段函數的求導例 確定常數a和b，使得函數處處可導。解：由在處可導，得在處連續，由表達式知， 在是左連續的，于是， 在連

25、續。又在可導，在條件下，可改寫成。于是， =，因此在可導故僅當時， 處處可導。 注：對這類問題的依據是函數在某點可導則在該點處連續；函數在某點處可導，則在該點處左右導數相等這兩個性質，建立兩個特定常數之間的兩個關系式，然后再解出來。3變限積分的求導例 設連續且，則 解：這是含變限積分的恒等式，兩邊對求導得，令，即得4可導與連續命題的討論例 討論函數,在處的連續性與可導性.解：由于函數具有分段形式，我們可分別按定義求出來討論是否存在。按定義因此，因此在可導,因而也必連續。5導數概念的應用問題例 求平面曲線的切線方程或法線方程已知是周期為5的連續函數，它在的某鄰域內滿足關系式，其中是當時比的高階無

26、窮小，且 在處可導，求曲線在點處的切線方程。解：曲線在點處的切線方程，由周期性，故只需求與。又已知只給出 在處可導，所以利用導數定義求由連續性，有 即 故因此， 又 即 ， ()也即 ，故，所以要求的切線方程為。第2節 高階導數基本內容學習一 基本概念定義1 若導函數在點處可導，則稱在點處的導數為在點處的二階導數，記為，即 ，同樣可定義函數的階導數為。二 高階導數的求法直接法：所謂直接法是指求出所給函數的13階或4階導數后，分析所得結果的規律性，從而寫出階導數的方法。間接法：利用已知的高階導數公式，通過四則運算、變量代換、泰勒級數的方法求階導數。基本知識記憶常用高階導數公式（1）（2）（3）（

27、4）（5）（6）萊布尼茲公式：若均階可導，則 ，其中，基本題型訓練6 求一元函數的階導數例1 設，求。解：， ，例2 任意可導，且，求。解：對兩邊求導得： ， ， ， ，所以，例3 設，求解： 例4設求解：練習題二1填空題(1)曲線在點(0,1)處的法線方程為 。(2)設函數，則函數在點處的導數為 。(3)設方程確定是的函數，則 。(4)設函數由參數方程所確定，則 。(5)已知，則 。(6)設，則 。(7) 設函數由方程確定，則 。(8) ，則(9) 設為可導函數，則(10) 已知，則2選擇題(1) 設 是連續函數，且 ，則 (2) 設 ，則 在 處可導的充要條件為存在 存在 存在 存在(3)

28、 設，則使存在的最高階數為 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)4(4) 設，則在處的_。(A) 左、右導數都存在 (B) 左導數存在，但右導數不存在 (C) 左導數不存在，但右導數存在 (D) 左、右導數都不存在(5) 設是可導函數，且，則曲線在點處的切線斜率為 。(A) 1 (B) 2 (C) 0 (D)1(6) 設函數對任意均滿足，且，其中為非零常數，則(A) 在處不可導。 (B) 在處可導，且 (C) 在處可導，且(D) 在處可導，且(7) 設則(A) 在處不連續(B) 存在(C) 不存在，曲線在點(0,0)處不存在切線(D) 不存在，曲線在點(0,0)處有切線(8) 設在點處可

29、導，當自變量由增加到時，記為的增量，為的微分，等于(A) -1 (B) 1 (C) 2 (D) 3(9) 設函數在上可導，則(A) 當時，必有(B) 當時，必有.(C) 當時，必有. (D) 當時，必有(10) 設 在 處可導，則 為任意常數 為任意常數3計算與證明(1) 已知 ，求 。(2) 已知 ，其中 有二階連續的導數，且 1. 確定 的值，使 在 點連續；2.求 。(3) 證明 滿足方程： (4) 已知當 時， 有定義且二階可導，問 為何值時 是二階可導(5) 已知，求(6) 設可導函數滿足式中為常數，且，求(7) 設是上的非零函數，對任意有且證明參考答案1 (1) (2) 1 (3)

30、 (4) (5) 1 (6) (7) (8) (9) (10) 2 (1) A (2) B (3) C (4) B (5) A (6) D (7) (8) B (9) D (10) C3 (1) (2) (4) (5) (6) (7)已知條件，及導數定義本章知識網絡本章總結1本章難、重點內容(1)導數的極限定義、左、右導數的定義。 (2)導數的幾何意義和物理意義(3)求復合函數和隱函數的導數(4)函數在一點可導的判定，特別是分段函數在分段點可導的判定2 本章容易出錯的地方(1)連續函數未必是可導函數(2)可導的前提是導數存在(3) 復合函數求導時，在自變量的某點處是否可導取決于復合以后的形態，

31、而與要作復合的兩個函數在相應點是否可導無關第三章一元函數積分學本章要求1理解原函數的概念，理解不定積分和定積分的概念。2掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理(數三、數四要求了解)，掌握換元積分法與分部積分法。3會求有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數的積分(數三、數四不要求)。4理解積分上限的函數，會求它的導數，掌握牛頓萊布尼茨公式。5了解反常積分的概念，會計算反常積分。6掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力、質心等)及函數的平均值。(數三、數四要求會利用定積

32、分計算平面圖形的面積、旋轉體的體積和函數的平均值，會利用定積分求解簡單的經濟應用問題)。第1節 不定積分基本內容學習原函數與不定積分的概念與基本性質1原函數與不定積分的定義原函數：設函數在區間I中有定義，如果存在函數，使得對于區間I中任一個，均有或，則稱為在區間I中的一個原函數. 注：如果函數有原函數，則有無窮多個原函數，且其全部原函數可表示為（其中為任意常數）不定積分：函數在區間I中的原函數的全體，稱為在區間I中的不定積分，記為設為在區間I中的一個原函數，則被積函數，被積式，積分變量，積分常數.2原函數與不定積分的關系不定積分和原函數是兩個不同概念，前者是個集合，后者是該集合中的一個元素，因

33、此.設，均是在區間I中的原函數，顯然有 即有（*）但不一定成立（因為是任意取值，（*）式兩邊的不一定相等，所以不能隨意取掉）3求不定積分與求微分（導數）的關系互為逆運算(1)已知與未知相反 ，已知求是微分運算；已知求使得是積分運算。(2) 或; 或正因為原函數與導函數有互逆關系，而且不定積分就是全體原函數，所以對應于基本初等函數的導數公式，就有相應的基本積分公式： （） 4原函數的存在性設在區間上連續，則在區間上存在原函數(就是原函數，其中為某一定點)若在區間上有第一類間斷點，則在區間上不存在原函數。5原函數的幾何意義與力學意義設在上連續，則由曲線，軸及直線圍成的曲邊梯形的面積函數(指代數和軸

34、上方取正號，下方取負號)是的一個原函數，若為時間變量，為直線運動的物體的速度函數，則的原函數就是路程函數。6初等函數的原函數初等函數在定義域區間上連續，因而一定存在原函數，但它的原函數不一定是初等函數，如，等均積分不出來，即被積函數存在原函數，但原函數不是初等函數?；绢}型訓練1關于不定積分的計算積分法則最基本的積分方法是分項積分法，分段積分法，換元積分法和分部積分法。而換元積分法對不定積分又分第一換元積分法(湊微分法)與第二換元積分法，當被積函數或原函數分段表示時要用分段積分法。(1)分項積分法我們常把一個復雜的函數分解成幾個簡單的函數之和：，若右端的積分會求，則應用法則就可以積出，這就是分

35、項積分法。例1 求下列函數的不定積分 解：(2)分段積分法分段函數的定積分要分段進行計算，這里重要的是搞清積分限與分段函數的分界點之間的位置關系，以便對定積分進行正確的分段。被積函數中含有絕對值時，也可以看成分段函數，這是因為正數與負數的絕對值是以不同的方式定義的，0就是其分界點。例2 計算下列定積分 解：由于函數的分界點為1和1，所以由于函數的分界點為0，所以，令后，有(3)換元積分法第一換元積分法(湊微分法)設 則 常見的湊微分形式有以下若干種： 例3 求下列不定積分 ； ； ； 解： 第二換元積分法事實上，倒轉第一換元積分法的公式就是第二換元積分法的公式。常用的變量替換：三角替換、冪函數

36、替換、指數函數替換、倒替換下面具體介紹這些方法。1.三角函數代換被積函數含根式所作代換三角形示意圖例4 求下列不定積分 解：被積函數中含有，所以應作變換原式 令則原式 冪函數替換：被積函數是與或與的有理式時，常用冪函數替換或去掉根號。指數函數替換：被積函數由構成的代數式時，可考慮選用指數函數替換。例5 求 解：令原式令原式倒替換：令例6 求下列積分 解： 記則(4)分部積分法設具有連續的導數，則公式稱為分部積分公式.注：如何把被積函數分成兩部分，如何選取和。選取的原則：積分容易者選為；求導簡單者選為；在二者不可兼得的情況下，首先要保證的是前者。例7 求下列函數的不定積分 解：原式 原式= =

37、= 故 =原式= =練習題三(1)1求下列不定積分(1) (2) (3) (4)2求下列不定積分(1) （2） （3）3求下列函數不定積分(1) (2) (3) (4) (5) (6)4求下列不定積分(1) (2) (3) 5設 ，求 .6設當 時， 連續，求 參考答案1(1) (2) (3) (4) 2(1) (2) (3) 3 (1) (2) (3) (4)(5) (6) 4 (1) (2) (3) 5 6 第2節 定積分基本內容學習一 基本概念1 定積分 設函數在區間上有定義，在內任意插入個分點把分為個子區間用表示各子區間的長度，在每個子區間上任取一點 作如下和式令如果極限存在，且的劃分

38、和的取法無關，則該極限值就稱為函數在上的定積分，記為，其中，稱為被積函數，稱為被積式，稱為積分變量，稱為積分區間，分別稱為積分的上下限。2 定積分的幾何意義與力學意義設在上連續，在幾何上表示界于，曲線及直線之間各部分面積的代數和，在上方取正號，在下方取負號，若為時間變量，為作直線運動的物體的速度函數，則就是物體從時刻到所走過的路程。3函數的可積性可積的必要條件：在上可積，則在上有界?？煞e的充分條件：(1) 在上連續；(2) 在上有界且只有有限個間斷點；(3) 在上單調，以上函數類在上可積。4不定積分與變限定積分的關系設在區間上連續，則，其中為某定值。5定積分的基本性質（1）定積分只與被積函數和

39、積分限有關，而與積分變量無關，即（2） 特例： （3）（4）（5） （為常數）（6）6定積分的基本定理定理1 （定積分比較定理）設，則.推論：（1）當，時（2）定理2 （估值定理）設，其中為常數，則。定理3 （積分中值定理）若在上連續，則在上至少一個點，使也可寫成，所以積分中值定理也稱之為平均值公式。定理4 設在上連續，則變上限積分是的一個原函數。定理5 （牛頓萊布尼茲公式）設在上連續，是的一個原函數，則 定理6 （變上限積分求導）設函數在上連續，則變上限積分對可導，并且有推論1 設則推論2 設則推論3 設則 基本題型訓練二 關于定積分的計算(1) 利用牛頓萊布尼茲公式例1 解：原式(2) 定

40、積分的換元積分法定理 設函數在上連續，若變換滿足以下條件：（1）在上連續，且（2）并且當在上變化時，的值在上變化，則注：在定理的敘述中要注意：定義與區間，說明呈上升趨勢，實際上，呈下降趨勢也是允許的，即將定理中區間改為也是可以的；在定積分作變量替換時，一定要同時更換積分的上下限；我們知道不定積分的換元法有兩個，相應于第二換元積分法，在定積分換元法中就相當于把定積分變量左端的換成右端的；相應于第一換元積分法(湊微分法)，則是把右端的換成左端的。定積分的換元法統一在一個公式中，由于換元也相應的換積分限，就不必變量還原。例2 求下列定積分(1) (2) (3) 解：（1）令原積分故 原積分=0。（2

41、）令原積分又因為所以原積分 故 原積分常見錯誤：理由是在處為“零”。（3）令則原式因為所以所以原積分習題三(2)1填空題(1)= (2)_ (3)_ (4)_(5)_ (6) _(7)_ (8)設連續,則_(9)_ (10) 設連續,且,則=_2計算與證明(1) 由方程確定為的函數，求 (2) 設當時，可導，且滿足方程，求. (3) 設函數可導，且.證明： (4) 設求 (5) 求積分 (6) 設函數在區間上連續,并設.求 (7) 設.求參考答案1(1)ln2 (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)2(1) (2) (3) 設(4) (5) (6) (7) ,

42、第3節 積分中值定理、定積分的應用、廣義積分基本知識學習一 基本定理定理1(費爾馬定理)若函數滿足條件：(1)函數在的某鄰域內有定義，并且在此鄰域內恒有 或 (2) 在處可導。則有 定理2 (洛爾定理) 設函數滿足條件：(1)在閉區間上連續；(2)在內可導；則在內一個，使 定理3 (拉各朗日中值定理) 設函數滿足條件： (1)在上連續；(2)在內可導；則在內一個，使 定理4 (柯西中值定理) 設函數，滿足條件：(1)在上連續；(2)在內，均存在，且則在內一個，使 二 基本概念1泰勒公式 設函數在點處的某鄰域內具有階導數，則對該鄰域內異與的任意點，在與之間至少一個，使得 其中 稱為在點處的階泰勒

43、余項。令，則階泰勒公式 (1)其中 ，在0與之間。(1)式稱為麥克勞林公式。常用五種函數在處的泰勒公式(1) 或 (2) 或 (3) 或 (4) 或 (5) 或 2 無窮限的廣義積分概念 (無窮積分)(1)(2)(3)若極限存在，則無窮積分收斂，否則發散。注意： (3)中右邊若有一個極限不存在,則便發散。3 判斷廣義積分的收斂準則準則1 設在上連續，且,()若當時，,則收斂。()若當時，,則發散。準則2設在上連續,且()若,則收斂。() 若,則發散。注意：積分區間為及有類似準則。4 無界函數的廣義積分(瑕積分)(1)，(當時,)(2) ，(當時,)(3) ，(當時,)若右邊的極限存在,則瑕積分

44、收斂，否則發散。注意：(3)等式右邊的兩個極限若有一個不存在，則瑕積分發散。5 判斷瑕積分收斂的準則準則3設在上連續， 且，()當時， 則收斂。() 當時， 則發散。準則4設在上連續，且()若,則收斂。() 若,則發散。注意：為瑕點時有類似的判斂準則。6 函數：.函數的性質: ;當為自然數時,基本題型訓練3積分值的比較或積分符號的判斷例 比較下列定積分的大?。?） （2）解：（1）積分區間相同,被積函數連續,只須比較被積函數的大小,由 故（2）被積函數連續,積分區間不同,先通過變量替換,轉化為積分區間相同的情形,再比較被積函數, =4估計積分值例 估計下列各積分值（1） （2）解：（1）令“”

45、.于是因此由估值定理有（2）由估值定理有而故5由函數方程求積分例 設且，求解：題目中由函數方程給出了，要先要求出再求積分。由，得,則,即,故6廣義積分的計算例 求下列廣義積分 (1) ； (2)； (3)解：(1) 為的瑕點。 (2) 為的瑕點,因此該廣義積分為混合型的。,故 原廣義積分.(3) 為的瑕點。 例 位于曲線下方,軸上方的無界圖形的面積是_ 解：,故應填1例 已知,則_ 解：由于而7有關積分等式與不等式的證明 關于積分等式的證明解題攻略：利用中值定理證明具有某種性質的點存在的問題，關鍵就是尋找輔助函數，其中的技巧之一是要善于從結論推條件，如果看到結論有形式，馬上想到可能需要構造有項