1、2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系1第五章第五章 線性系統(tǒng)的根軌跡法線性系統(tǒng)的根軌跡法 5.1 5.1 根軌跡的基本概念根軌跡的基本概念 5.2 5.2 根軌跡的繪制規(guī)則根軌跡的繪制規(guī)則 5.3 5.3 廣義根軌跡廣義根軌跡 5.4 5.4 零度根軌跡零度根軌跡 5.5 5.5 系統(tǒng)性能分析系統(tǒng)性能分析2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系2本章重點本章重點 根軌跡的概念、幅值條件、根軌跡的概念、幅值條件、 相角條件相角條件 根軌跡的基本繪制規(guī)則根軌跡的基本繪制規(guī)則 等效傳遞函數(shù)的概念等效傳遞函數(shù)的概念 根軌跡的簡

2、單應用根軌跡的簡單應用2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系3一單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：一單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： (2)gkkGss s 試分析該系統(tǒng)的特征方程的根隨系統(tǒng)參數(shù)試分析該系統(tǒng)的特征方程的根隨系統(tǒng)參數(shù) 的變化在的變化在S S平面平面上的分布情況。上的分布情況。 gk例5-1系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程：220gssk特征方程的根是：特征方程的根是：1,211gsk 設(shè)設(shè) 的變化范圍是的變化范圍是0, 0, gk解解2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系4當當 時時, , 0gk 1

3、20,2ss 當當 時時, , 與與 為不相等的兩個負實根；為不相等的兩個負實根；01gk 1s2s當當 時，時， 為等實根；為等實根；1gk 121ss 該系統(tǒng)特征方程該系統(tǒng)特征方程的根，隨開環(huán)系的根，隨開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)統(tǒng)參數(shù)k k從從0 0變到變到時，在時，在S S平面平面上變化的軌跡如上變化的軌跡如圖所示。圖所示。1P2P0gk0gk1gkgK gKj S當當 時，時， 共軛復根。共軛復根。 1gk 1,211gsj k 性能2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系5 二、根軌跡與系統(tǒng)性能二、根軌跡與系統(tǒng)性能穩(wěn)定性穩(wěn)定性 當增益當增益K1K1由由0 0 ，

4、根軌跡不會越過虛軸進入，根軌跡不會越過虛軸進入s s平面右半平面右半邊，因此系統(tǒng)對所有的值都是穩(wěn)定的。如果系統(tǒng)特征方程的根邊，因此系統(tǒng)對所有的值都是穩(wěn)定的。如果系統(tǒng)特征方程的根都位于都位于s s平面的左半部，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。若根平面的左半部，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。若根軌跡穿越虛軸進入右半軌跡穿越虛軸進入右半s s平面平面, ,根軌跡與虛軸交點處的根軌跡與虛軸交點處的K K值，就是值，就是臨界穩(wěn)定的開環(huán)增益。臨界穩(wěn)定的開環(huán)增益。穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能 開環(huán)系統(tǒng)在坐標原點有一個極點，所以屬開環(huán)系統(tǒng)在坐標原點有一個極點，所以屬型系統(tǒng)型系統(tǒng), , 因而根軌跡上的因而根軌跡上的K K值就

5、是靜態(tài)速度誤差系數(shù)。如果給定系統(tǒng)的值就是靜態(tài)速度誤差系數(shù)。如果給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求，則由根軌跡圖確定閉極點位置的允許范圍。穩(wěn)態(tài)誤差要求，則由根軌跡圖確定閉極點位置的允許范圍。動態(tài)性能動態(tài)性能 當當 時時, , 所有閉環(huán)極點均位于實軸上所有閉環(huán)極點均位于實軸上, ,系統(tǒng)為系統(tǒng)為過過阻尼阻尼系統(tǒng)，其單位階躍響應為單調(diào)上升的非周期過程。系統(tǒng)，其單位階躍響應為單調(diào)上升的非周期過程。 當當 時，特征方程的兩個相等負實根，系統(tǒng)為時，特征方程的兩個相等負實根，系統(tǒng)為臨界阻臨界阻尼尼系統(tǒng)，單位階躍響應為響應速度最快的非周期過程。系統(tǒng)，單位階躍響應為響應速度最快的非周期過程。 當當 時，特征方程為一對共軛復根

6、系統(tǒng)為時，特征方程為一對共軛復根系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)欠阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應為阻尼振蕩過程，振蕩幅度或超調(diào)量隨單位階躍響應為阻尼振蕩過程，振蕩幅度或超調(diào)量隨 值的值的增加而加大，但調(diào)節(jié)時間不會有顯著變化。增加而加大，但調(diào)節(jié)時間不會有顯著變化。10gk1gk1gkgK2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系6設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為: : gk為根軌跡增益為根軌跡增益( (或根軌跡的放大系數(shù)或根軌跡的放大系數(shù)) ) 三、根軌跡的概念三、根軌跡的概念 ( )( )gkk N sGsD s 其中其中: : 1( )(),njjN ssz 1( )(

7、)njjD ssp 可得到系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為可得到系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為: : 1010kgN sGskD s 即：即：11()( )1( )()niingjjszN sD sksp 開環(huán)的零點開環(huán)的零點iz開環(huán)的極點開環(huán)的極點ip2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系7 根軌跡圖根軌跡圖是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根（閉環(huán)極點）隨開環(huán)系是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根（閉環(huán)極點）隨開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)由統(tǒng)某一參數(shù)由0 0變化到變化到時在時在S S平面上留下的軌跡。平面上留下的軌跡。由此可得到滿足系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的幅值條件和相角條件為：由此可得到滿足系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的幅值條

8、件和相角條件為： 1111()()1()()nniiiinngjjjjszszkspsp 11()()(1 2 ) ,0,1,2,3.mniiijszspkk 2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系8 我們可以把系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程的根描述成我們可以把系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程的根描述成: :凡是滿足幅值條件和相角條件的凡是滿足幅值條件和相角條件的s s值稱為特征方程值稱為特征方程的根的根即閉環(huán)極點。即閉環(huán)極點。因為因為 變化，因此不論什么變化，因此不論什么s s值值, ,總有一個總有一個 存在存在, ,使幅值條件得到滿足使幅值條件得到滿足, ,所以所以, ,實際上

9、只要滿足實際上只要滿足相角條件的相角條件的s s值就是閉環(huán)極點值就是閉環(huán)極點, ,而由此而由此s s值值, ,再由幅值條再由幅值條件可確定此時系統(tǒng)對應的件可確定此時系統(tǒng)對應的 值。值。gK0從gKgK2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系9規(guī)則一規(guī)則一 根軌跡的起點根軌跡的起點此時系統(tǒng)的閉環(huán)極點與開環(huán)極點相同此時系統(tǒng)的閉環(huán)極點與開環(huán)極點相同( (重合重合) )，把，把開環(huán)極點開環(huán)極點稱為根軌跡的起點稱為根軌跡的起點。當當 , ,必有必有由根軌跡的幅值條件可知：由根軌跡的幅值條件可知：111mjjngiiszkspis(i1,2,n)p 0gk 通常，我們稱

10、以開環(huán)根軌跡增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡為通常，我們稱以開環(huán)根軌跡增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡為普通根軌跡（或普通根軌跡（或 180180根軌跡根軌跡），簡稱根軌跡。），簡稱根軌跡。2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系10規(guī)則二規(guī)則二 根軌跡的終點根軌跡的終點由根軌跡的幅值條件可知：由根軌跡的幅值條件可知：結(jié)論：結(jié)論：根軌跡起始于開環(huán)極點根軌跡起始于開環(huán)極點 ，終止于開，終止于開環(huán)零點環(huán)零點 。(0)gk ()gk 111mjjngiiszksp 當當 時，必有時，必有 此時，系統(tǒng)的閉環(huán)極點與開環(huán)零點相同（重合），我們把此時，系統(tǒng)的閉環(huán)極點與開環(huán)零點相同（重

11、合），我們把開環(huán)零點稱為根軌跡的終點開環(huán)零點稱為根軌跡的終點。(1,2,)jszjm gk 如果開環(huán)極點數(shù)如果開環(huán)極點數(shù)n n大于開環(huán)零點數(shù)大于開環(huán)零點數(shù)m,m,則有則有n-mn-m條根軌跡終條根軌跡終止于止于S S平面的無窮遠處平面的無窮遠處( (無限零點無限零點) )，如果開環(huán)零點數(shù)，如果開環(huán)零點數(shù)mm大于開大于開環(huán)極點數(shù)環(huán)極點數(shù)n n，則有，則有m-nm-n 條根軌跡起始于條根軌跡起始于S S平面的無窮遠處。平面的無窮遠處。2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系11規(guī)則三規(guī)則三 根軌跡的分支數(shù)、連續(xù)性和對稱性根軌跡的分支數(shù)、連續(xù)性和對稱性 根軌跡的分

12、支數(shù)即根軌跡的條數(shù)。根軌跡是描述閉環(huán)系統(tǒng)特根軌跡的分支數(shù)即根軌跡的條數(shù)。根軌跡是描述閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根（即閉環(huán)極點）征方程的根（即閉環(huán)極點） 在在s s平面上的分布，那么，根軌跡平面上的分布，那么，根軌跡的分支數(shù)就應等于系統(tǒng)特征方程的階數(shù)。的分支數(shù)就應等于系統(tǒng)特征方程的階數(shù)。 由由例例5-15-1 看出，系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益看出，系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益 （實變量）與復變量（實變量）與復變量s s有一一對應的關(guān)系。有一一對應的關(guān)系。gk 當當 由由0 0到到連續(xù)變化時，描述系統(tǒng)特征方程根的復變量連續(xù)變化時，描述系統(tǒng)特征方程根的復變量s s在平面上的變化也是連續(xù)的，因此在平面上的變化也是連續(xù)的，因此,

13、 ,根軌跡是根軌跡是n n條條連續(xù)連續(xù)的曲線。的曲線。gk 由于實際的物理系統(tǒng)的參數(shù)都是實數(shù)由于實際的物理系統(tǒng)的參數(shù)都是實數(shù), ,如果它的特征方程有復如果它的特征方程有復數(shù)根的一定是對稱于實軸的共軛復根，因此，根軌跡總是數(shù)根的一定是對稱于實軸的共軛復根，因此，根軌跡總是對稱對稱于實軸于實軸的。的。結(jié)論：結(jié)論：根軌跡的分支數(shù)等于系統(tǒng)的閉環(huán)極點數(shù)。根軌跡的分支數(shù)等于系統(tǒng)的閉環(huán)極點數(shù)。根軌根軌跡是連續(xù)且對稱于跡是連續(xù)且對稱于實軸實軸的曲線。的曲線。2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系12規(guī)則四規(guī)則四 實軸上的根軌跡實軸上的根軌跡 實軸上的根軌跡由相角條件可證實

14、軸上的根軌跡由相角條件可證: :設(shè)某段右側(cè)的零設(shè)某段右側(cè)的零, ,極點數(shù)分極點數(shù)分別為：別為：則則: : 即即右側(cè)開環(huán)零右側(cè)開環(huán)零, ,極點數(shù)的和為奇數(shù)時極點數(shù)的和為奇數(shù)時, ,該段為根軌跡該段為根軌跡。,zpNN11(12 )mnijzpijNNk 2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系13規(guī)則五規(guī)則五 漸近線漸近線 當開環(huán)極點數(shù)當開環(huán)極點數(shù) n n大于開環(huán)零點數(shù)大于開環(huán)零點數(shù)mm時時, , 系統(tǒng)有系統(tǒng)有n-mn-m條根軌條根軌跡終止于跡終止于S S平面的無窮遠處，這平面的無窮遠處，這n-mn-m條根軌跡變化趨向的直線條根軌跡變化趨向的直線叫做根軌跡的漸

15、近線，因此漸近線也有叫做根軌跡的漸近線，因此漸近線也有n-mn-m條條, , 且它們交于實且它們交于實軸上的一點。軸上的一點。漸近線與實軸的交點位置漸近線與實軸的交點位置 和與實軸正方向的交角和與實軸正方向的交角 分別為分別為: : 11nmijijPZnm 21,0,1,2,1kknmnm 2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系14（1）根軌跡漸近線的傾角 根據(jù)幅角條件： 當 時，零點 、極點 與 矢量復角可近似看成相等 得到 所以漸近線的傾角： 因共有(n-m)條漸近線，所以只要取(n-m)個不同的傾角即可。sjzips180 (21)aamnk180

16、 (21), 0,1,2,1akknmnm11()()180 (21), 0, 1, 2,mnjijiszspkk 2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系15（2）漸近線與實軸的交點 幅值條件： 當 ，則對應于 ，此時 ，上式可寫成： 上式左邊展開： 上式右邊展開 比較對應 s 冪項系數(shù)相等，求得： 所以漸近線相交于同一點1*1nmspspKszsz*K siiszsp12121)()(mnmnmnszzzppps1()n mn masnm s1212()()()anmnmpppzzz1212()()nmapppzzznm1212()()()()()()(

17、)n mnamspspspsszszsz2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系16已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù), ,試畫出該系統(tǒng)根軌跡的漸近線。試畫出該系統(tǒng)根軌跡的漸近線。 2(2)(1)(4)gkksGssss例5-21 1漸近線：漸近線：系統(tǒng)有系統(tǒng)有n=4,m=1,n-m=3n=4,m=1,n-m=3 三條漸近線與實軸交點位置為：三條漸近線與實軸交點位置為：13241解解實軸正方向的交角分別是實軸正方向的交角分別是0)(k6031)(k1802)(k6035漸近線如圖所示。漸近線如圖所示。 -4 -4 -3 -3 -2 -2 -1 -1

18、0 0j03000180060060B BC CA A2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系172022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系18規(guī)則六規(guī)則六 根軌跡的分離點、會（匯）合點根軌跡的分離點、會（匯）合點 根軌跡在根軌跡在s s平面上相遇，表明系統(tǒng)有相同的根。即在分離點平面上相遇，表明系統(tǒng)有相同的根。即在分離點和會合點處必有閉環(huán)特征重根和會合點處必有閉環(huán)特征重根, ,令閉環(huán)特征方程為令閉環(huán)特征方程為: : 12( )( )( )() ()()()0gdnF sk N sD sssss 如果令如果令 12112( )

19、()()()()()()()()0dndndF sdssssdsdsssss即可求得即可求得 ( )0dF sds2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系19故在重根處有故在重根處有: :( )( )( )( )( )0ggd k N sD sdF sk N sD sdsds因為：因為： 所以：所以： ( )( )gD skN s ( )( )( )0( )D sN sD sN s即：即： 2( )( )( )( )( )gdkD s N sD s N sdsNs 分離點分離點/ /會合點會合點: : 和和( )0dF sds0gdkds以上分析沒有考慮以上

20、分析沒有考慮 ( (且為實數(shù)且為實數(shù)) )的約束條件，所以的約束條件，所以只有滿足只有滿足 的這些解，才是真正的分離點（或會的這些解，才是真正的分離點（或會合點）。合點）。0gk 0gk 2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系20事實上，分離點還可由下式確定 因為 即 其中 即 所以-1111mnijijszsp( )( )( )( )N sD sN sD s ln( )ln( )ddN sD sdsds 1212( )()()()( )()()()mnN sszszszD sspspsp1212111ln( )111ln( )mndN sdsszszsz

21、dD sdsspspsp1111mnijijszsp( )( )( )( )0D s N sD s N s 2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系21一般來說一般來說: : 如果根軌跡位于實軸上兩相鄰的開環(huán)極點如果根軌跡位于實軸上兩相鄰的開環(huán)極點( (零點零點) )之間；則出現(xiàn)分離點之間；則出現(xiàn)分離點( (會合點會合點) ) 。如果根軌跡位于。如果根軌跡位于實軸上一個開環(huán)極點與一個開環(huán)零點之間，則或者既實軸上一個開環(huán)極點與一個開環(huán)零點之間，則或者既不存在分離點，也不存在會合點，或者既存在分離點不存在分離點，也不存在會合點，或者既存在分離點，又存在會合點。，

22、又存在會合點。 四重分離點四重分離點 復數(shù)分離點復數(shù)分離點2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系22的單位負反饋系統(tǒng)的的單位負反饋系統(tǒng)的( (180)根軌跡。根軌跡。繪制開環(huán)系統(tǒng)傳函數(shù)為繪制開環(huán)系統(tǒng)傳函數(shù)為例5-3( )(1)(2)gkkGss ss 1 1）此系統(tǒng)無開環(huán)零點，有三個開環(huán)極點，分別為：）此系統(tǒng)無開環(huán)零點，有三個開環(huán)極點，分別為： 01p12p23p2 2）漸近線：）漸近線：根據(jù)規(guī)則可知，系統(tǒng)根軌跡有三條分支，當根據(jù)規(guī)則可知，系統(tǒng)根軌跡有三條分支，當 分別從分別從開環(huán)極點開環(huán)極點 出發(fā)，出發(fā)， 時趨向無窮遠處，時趨向無窮遠處，其漸其漸近線夾角

23、為：近線夾角為：0gk123ppp、gk 解解漸近線與實軸的交點為漸近線與實軸的交點為 002160 ,180n m0,1,2,n m 1kk 111nmijijPZnm 2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系23由上式可求由上式可求上式的根為上式的根為求分離點：求分離點：分離點必位于分離點必位于0 0至至-1 -1之間的線段上，之間的線段上，故故 為分離點為分離點d d的坐標。的坐標。10.423s 120.4231.577ss 2362gdkssds 3232 gksssj S0122022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自

24、動化系242022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系25規(guī)則七、根軌跡的出射角和入射角規(guī)則七、根軌跡的出射角和入射角由相角條件可直接得到由相角條件可直接得到 11(12 )mnijijk 出射角出射角: : 11,mnijijj k入射角：入射角：1,1mnijii kj2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系26規(guī)則八規(guī)則八 根軌跡與虛軸的交點根軌跡與虛軸的交點 根軌跡與虛軸的交點就是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的純虛根根軌跡與虛軸的交點就是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的純虛根（實部為零）。（實部為零）。 (1) (1) 用用 代入特征方程可得代

25、入特征方程可得js ( )( )|0gsjk N sD s 令此方程中虛部為零，即可求得令此方程中虛部為零，即可求得 根軌跡與虛軸的交點處根軌跡與虛軸的交點處的頻率為的頻率為 。用。用 代入實部方程，即可求出系統(tǒng)開環(huán)根代入實部方程，即可求出系統(tǒng)開環(huán)根軌跡臨界值軌跡臨界值 。ck(2) (2) 利用利用勞斯表勞斯表求取。求取。將勞斯表中將勞斯表中s s2 2行系數(shù)構(gòu)造的輔助方行系數(shù)構(gòu)造的輔助方程求得。若根軌跡與虛軸的交點多于兩個，則應取勞斯表程求得。若根軌跡與虛軸的交點多于兩個，則應取勞斯表中大于中大于2 2的偶次方行的系數(shù)構(gòu)造的輔助方程求得。的偶次方行的系數(shù)構(gòu)造的輔助方程求得。2022-3-7

26、北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系27規(guī)則九、根軌跡的走向 當n-m2滿足時，隨著Kg增加，一些根軌跡分支向左方移動，則另一些根軌跡分支將向右方移動。開環(huán)傳遞函數(shù)：特征方程： 當滿足n-m2 時，上式sn-1項將沒有同次項可以合并，通常把 稱為極點的“重心”。11()()( )( )()()gmnkszszG s H sspsp 111111()mmmmgimiinnnnjjjjksz szsp sp 1111( )( )nnnnjjjjG s H ssp sp 111mmmmggigmiik skz skz 1/nijpn 2022-3-7北京科技大學自動化學院自動

27、化系北京科技大學自動化學院自動化系28 當 Kg變化時，極點的重心保持不變。所以，為了平衡“重心”的位置，當一部分根軌跡隨著的增加向左方移動時，另一部分根軌跡將向右方移動。例*234( )( )()()()KG s H ss spspsp2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系29規(guī)則十、 根軌跡上kg值的計算根軌跡上任一點S1處的kg可由幅值條件來確定。即 = 1111111111 ()()ngmspspkG s H sszsz所引向量長度的乘積零點至所引向量長度的乘積極點至11111111s)s(H)s(Gs)s(H)s(G2022-3-7北京科技大學自

28、動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系30繪制根軌跡圖的法則繪制根軌跡圖的法則序號內(nèi) 容規(guī) 則1起點終點起始于開環(huán)極點（含無限極點），終止于開環(huán)零點（含無限零點）。2分支數(shù)、對稱性、連續(xù)性分支數(shù)等于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點數(shù) n（n m）， 或開環(huán)傳遞函數(shù)的零點數(shù) m（m n）。對稱于實軸且具有連續(xù)性。3漸近線n m條漸近線相交于實軸上的同一點：坐標為： 傾角為：4實軸上的分布實軸的某一區(qū)間內(nèi)存在根軌跡，則其右邊開環(huán)傳遞函數(shù)的零點、極點數(shù)之和必為奇數(shù)11nmijijapznm 180 (21)0,1,2,1aknmknm2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動

29、化系31序號內(nèi)容規(guī) 則 5分離（會回合）點實軸上的分離（會合）點（必要條件）6出射角入射角復極點處的出射角： 復零點處的入射角：7虛軸交點（1）滿足特征方程 的 值；（2）由勞斯陣列求得（及kg相應的值）；8走向當 時 ， 一些軌跡向右，則另一些將向左。9kg計算 根軌跡上任一點處的kg：11( )( )00gdkd G s H sdsds或11180 (21)mnaijijj ak11180 (21)nmbjijii bk2,gnmk 0)()(1jHjGj11111( )( )gskG s H ss開環(huán)極點至向量 長度的乘積開環(huán)零點至向量 長度的乘積2022-3-7北京科技大學自動化學院自

30、動化系北京科技大學自動化學院自動化系32 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 試繪制根軌跡圖解：開環(huán)極點：0、-3、-1+j、-1-j 開環(huán)零點：-2，3個無限零點(1)漸近線：應有n-m=4 -1=3條漸近線，漸近線的傾角： 漸近線與實軸的交點： 2(2)( ) ( )(3)(22)gK sG s H ss sss180 (21)180 (21)60 ,1803kkn m12341()0 3 ( 1) ( 1) 213ppppzjjn m (2) (2) 實軸上的根軌跡：實軸上的根軌跡：0 -20 -2，- - -3 -3例5-42022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系3

31、3(3)極點-p3的出射角 ：不難求得極點-p1、-p2、-p4到-p3的幅角分別 、 、 ,有限零點-z1到p3的幅角為所以同理不難求得極點-p4處的出射角：(4)根軌跡與虛軸的交點： 方法一：由特征方程求： 特征方程 ：3135 26.6 90 3180 (21) (13526.690 ) 4526.6k 426.6432586(2)0gssssKs423(82)(-5(6) )0ggKjKjs 45 2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系34實部方程： 虛部方程： 解得：方法二：由勞斯陣列求：列出勞斯陣列 令s1行為零，即 得Kg =7，再根據(jù) 行s

32、2得輔助方程：42820gK35(6)0gk12301.611.61 (舍去)7gK 43212018256(34)/52(204 22)/(34)2ggggggggsKsKsKKsK KKsK234205ggKsK1.61 2(204 22)0ggKK2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系35S0j-3-2-2-1+j-1-j2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系362022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系37例5-535( )(3)(1)gkksG ss sTs, ,繪制以繪制以

33、T T為參數(shù)的根軌跡。為參數(shù)的根軌跡。 1gk 設(shè)某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：設(shè)某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 前面介紹的根軌跡繪制法則前面介紹的根軌跡繪制法則, ,只適用于以放大系數(shù)只適用于以放大系數(shù) 為參量為參量的情況的情況, ,如果變化參數(shù)為其它參數(shù)情況將如何處理？如果變化參數(shù)為其它參數(shù)情況將如何處理？gk解解根據(jù)根軌跡的定義根據(jù)根軌跡的定義, ,根軌跡是閉環(huán)極點隨某個參量變化在根軌跡是閉環(huán)極點隨某個參量變化在s s平面上留下的軌跡平面上留下的軌跡, ,故根軌跡上的點滿足閉環(huán)特征方程故根軌跡上的點滿足閉環(huán)特征方程 ：3510(3)(1)ss sTs 2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北

34、京科技大學自動化學院自動化系38是一樣的是一樣的, ,我們我們將具有將具有相同閉環(huán)特征方程的開環(huán)傳遞函數(shù)相同閉環(huán)特征方程的開環(huán)傳遞函數(shù)稱為稱為相互等效的開環(huán)傳遞函數(shù)相互等效的開環(huán)傳遞函數(shù)（簡稱為（簡稱為等效傳遞函數(shù)等效傳遞函數(shù)）。）。22(3)( )65kTssGsss(35)( )(3)(1)gkksG ss sTs 具有相同的閉環(huán)特征方程具有相同的閉環(huán)特征方程, ,則隨則隨T T從從 變化變化, ,其根軌跡其根軌跡0 總有一種等效開環(huán)傳遞函數(shù)總有一種等效開環(huán)傳遞函數(shù), ,可將變化參數(shù)位于放大系數(shù)可將變化參數(shù)位于放大系數(shù) 的位置的位置. .這時就可利用前面的規(guī)則了。這時就可利用前面的規(guī)則了。

35、gk2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系39解解(4) (4) 為使系統(tǒng)對速度輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零為使系統(tǒng)對速度輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零, ,加怎樣的環(huán)加怎樣的環(huán) 節(jié)可使系統(tǒng)穩(wěn)定。節(jié)可使系統(tǒng)穩(wěn)定。繪制繪制 的根軌跡，確定的根軌跡，確定: :例5-6(3) (3) 在該系統(tǒng)中增加一個怎樣的環(huán)節(jié)在該系統(tǒng)中增加一個怎樣的環(huán)節(jié), ,可使系統(tǒng)不論可使系統(tǒng)不論 怎樣變化都穩(wěn)定。怎樣變化都穩(wěn)定。gk(1)(1) 為何值系統(tǒng)非振蕩穩(wěn)定為何值系統(tǒng)非振蕩穩(wěn)定, ,振蕩穩(wěn)定振蕩穩(wěn)定, ,不穩(wěn)定不穩(wěn)定? ?(2) (2) 求使系統(tǒng)閉環(huán)主導極點具有阻尼比求使系統(tǒng)閉環(huán)主導極點具有阻尼比 ,

36、 ,確定確定 。gkgk0.707 ( )(1)(5)gkkGss ss (1)(1)分離點分離點: : 231250gdkssds720.48, 3.523s 舍 漸近線漸近線: : (21)1,23knm 2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系40與虛軸交點與虛軸交點: : 32()6()50gjjjk5 30gk 分離點處分離點處 的值的值gk0.48(1)(5) |1.128gsks ss由此可見由此可見: : 1.12830gk振蕩穩(wěn)定振蕩穩(wěn)定 無振蕩穩(wěn)定無振蕩穩(wěn)定01.128gk臨界穩(wěn)定臨界穩(wěn)定30gk 不穩(wěn)定不穩(wěn)定 30gk (2)(2)在在

37、 時時, ,極點為極點為: : 代入閉環(huán)特征方程代入閉環(huán)特征方程: :解得解得:s=-0.45+j0.45, :s=-0.45+j0.45, 0.707sj 3265|0gsjsssk2.07gk 2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系41 ( (一般一般a0,d0a0,d0為好為好, ,是最小相是最小相位系統(tǒng)位系統(tǒng)) )(4)(4)如果使系統(tǒng)速度輸入誤差為零如果使系統(tǒng)速度輸入誤差為零, ,則系統(tǒng)應是則系統(tǒng)應是II II型的型的, ,那么從開環(huán)零那么從開環(huán)零, ,極極點分布圖上可見點分布圖上可見: :應該附加兩個零應該附加兩個零點點, , 系統(tǒng)才可能完全穩(wěn)

38、定下來。漸系統(tǒng)才可能完全穩(wěn)定下來。漸近線近線: : 0,6ad(3)(3)增加一零點增加一零點(s+a(s+a) )有可能使系統(tǒng)完全穩(wěn)定有可能使系統(tǒng)完全穩(wěn)定, ,此時漸近線此時漸近線: : (21)12 knm 06a 否則否則, ,在在 時時, ,根軌跡有可能與縱軸相交。根軌跡有可能與縱軸相交。6a j S0125j S01252022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系42解解開環(huán)傳遞函數(shù)為：開環(huán)傳遞函數(shù)為： 繪制根軌跡繪制根軌跡, , 并證明有一段根軌跡為圓（并證明有一段根軌跡為圓（a,pa,p為實數(shù)為實數(shù)) )。例5-7()( )()gkksaG ss

39、sp0()180()sspsa 根據(jù)相角條件可知：根據(jù)相角條件可知：0()()(180() tgjpjtgaj令令 兩邊取正切變換：兩邊取正切變換：sj1pap 222()aaap2220aap圓心圓心 ， 半徑半徑2aap(- ,0)a2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系43下面驗證半徑是零點到分離點或匯合點的距離：下面驗證半徑是零點到分離點或匯合點的距離：分離點：由分離點：由 ，得，得0gdkds220sasap21,2saaap 221()saaap j S01221ap例：，2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動

40、化系44如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的放大系數(shù)的放大系數(shù) 為負為負, ,gk的的相角條件相角條件, ,此根軌跡稱為此根軌跡稱為 根軌跡。根軌跡。前面討論的根軌跡均是滿足前面討論的根軌跡均是滿足 ()1112mnjjijszspk 180設(shè)設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為：開環(huán)傳遞函數(shù)為：11()( )()mgiiknjjkszG ssp其其閉環(huán)特征方程為閉環(huán)特征方程為: : 11()10()mgiinjjkszsp對應的即是零度對應的即是零度 根軌跡。根軌跡。(0 ) 相角條件為相角條件為: : 112mnjjijszspk 2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院

41、自動化系45 在繪制在繪制 根軌跡時，只需在根軌跡時，只需在 根軌跡的畫法規(guī)則中，根軌跡的畫法規(guī)則中，與與相角條件有關(guān)的規(guī)則作相應的修改。相角條件有關(guān)的規(guī)則作相應的修改。0180規(guī)則三規(guī)則三 實軸上的根軌跡實軸上的根軌跡 實軸上，若某線段右側(cè)的開環(huán)實數(shù)零、極點個數(shù)之和為實軸上，若某線段右側(cè)的開環(huán)實數(shù)零、極點個數(shù)之和為偶偶數(shù)數(shù)，則此線段，則此線段為為根軌跡的一部分。根軌跡的一部分。規(guī)則四規(guī)則四 漸近線漸近線 漸近線與實軸的交漸近線與實軸的交點位置點位置 和與實軸正方向的交角和與實軸正方向的交角 分分別為：別為：11nmijijPZnm2,0,1,2,n m 1n mkk2022-3-7北京科技大

42、學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系46規(guī)則六、根軌跡的出射角和入射角規(guī)則六、根軌跡的出射角和入射角入射角：入射角：由相角條件可直接得到由相角條件可直接得到: : 112mnijijk出射角出射角: : 1,1,mnkijijj k1,1mnkijii kj 2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系47 由修改后的規(guī)則三知，實軸上的根軌跡是由0至+線段和由-1至-2線段。 由修改后的規(guī)則四知，漸近線與實軸正方向的夾角分別是: 0(k = 0)、120(k = 1)、-120 (k = 2)。 漸近線與實軸的交點為-1。已知已知正反饋正反饋系統(tǒng)的

43、開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試繪制該系統(tǒng)的根軌跡圖。試繪制該系統(tǒng)的根軌跡圖。 )2)(1()()(sssKsHsGr例5-8解解2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系48 由規(guī)則五求出的極值方程的解有兩個，即 ， ，由于是正反饋，實軸上的根軌跡改變了。因為 不在實軸根軌跡上，舍去?？梢?，雖然規(guī)則五沒改變，但在確定分離點時應考慮規(guī)則三變化。 58. 1242. 0120.42 sswj1) 0(PKr=rK0120-120-1rKrK3) 0(PKr=) 0(2=rKP-22a 根軌跡如圖所示。可看出，有一根軌跡如圖所示?？煽闯?，有一條從起點到終點全

44、部位于條從起點到終點全部位于S S平面右平面右半部的根軌跡，這意味著無論半部的根軌跡，這意味著無論KrKr為為何值，系統(tǒng)都存在何值，系統(tǒng)都存在S S平面右半部的平面右半部的閉環(huán)極點，表明閉環(huán)極點，表明系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的。在開環(huán)傳遞函數(shù)相同的情況下，負在開環(huán)傳遞函數(shù)相同的情況下，負反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性比正反饋系統(tǒng)好。反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性比正反饋系統(tǒng)好。2022-3-7北京科技大學自動化學院自動化系北京科技大學自動化學院自動化系49 一、閉環(huán)主導極點的概念一、閉環(huán)主導極點的概念 在工程實際中，常常用主導極點的概念對系統(tǒng)進行分析，這樣可使系統(tǒng)分析簡化。在工程實際中，常常用主導極點的概念對系統(tǒng)進行分析，這樣可使系統(tǒng)分析簡化。下面研究閉環(huán)傳遞函數(shù)的系統(tǒng)。下面研究閉環(huán)傳遞函數(shù)的系統(tǒng)。 閉環(huán)主導極點閉環(huán)主導極點指的是閉環(huán)極點中離虛軸最近，