1、精選優質文檔-傾情為你奉上第3章 導數的應用函數的極值與最值 【教學目的】：1. 理解函數的極值的概念；2. 掌握求函數的極值的方法；3. 了解最大值和最小值的定義；4. 掌握求函數的最值的方法；5. 會求簡單實際問題中的最值。【教學重點】：1. 函數極值的第一充分條件，第二充分條件；2. 導數不存在情況下極值的判定；3. 函數最值的求解方法；4. 函數的最值的應用?！窘虒W難點】：1. 導數不存在情況下極值的判定；2. 區分函數的駐點、拐點、極值點以及最值點；3. 區分極值點與極值，最值點與最值；4. 函數的最值的應用。【教學時數】：2學時【教學過程】：3.3.1函數的極值圖3-7從圖3-7可

2、以看出，函數在點、處的函數值、比它們近旁各點的函數值都大；在點、處的函數值、比它們近旁各點的函數值都小，因此，給出函數極值的如下定義： 一般地， 設函數在的某鄰域內有定義，若對于鄰域內不同于的所有，均有，則稱是函數的一個極大值，稱為極大值點；若對于鄰域內不同于的所有，均有，則稱是函數的一個極小值，稱為極小值點.函數的極大值與極小值統稱為極值，極大值點和極小值點統稱為極值點.注意 可導函數的極值點必是它的駐點，但反過來是不成立的，即可導函數的駐點不一定是它的極值點.極值的第一充分條件 設函數在點的鄰域內可導且，則（1）如果當取左側鄰近的值時，；當取右側鄰近的值時，則為函數的極大值點，為極大值；（

3、2）如果當取左側鄰近的值時，；當取右側鄰近的值時，則為函數的極小值點，為極小值；（3）如果當取左右兩側側鄰近的值時，不改變符號，則函數在處沒有極值.根據上述定理，求可導函數的極值點和極值的步驟如下：（1）確定函數的定義域；（2）求函數的導數，并求出函數的全部駐點以及不可導點；（3）列表考察每個駐點（及不可導點）左右鄰近的符號情況以及不可導點的情況，根據定理2.12判定極值點和極值.例2 求函數的極值.解（1）函數的定義域為；（2）；（3）令，得駐點.當時，導數不存在；（4）列表討論如下：不存在極大值 極小值由上表知，函數的極大值為，極小值為.極值的第二充分條件 設函數在點的鄰域內具有二階導數且

4、，則（1）當時，函數在處取得極大值；（2）當時，函數在處取得極小值.注意 當，且時，則上述方法失效，此時仍用第一充分條件來判定.3.3.2 函數的最大值與最小值求函數在閉區間上的最值的步驟如下： （1）求出函數的導數，并求出所有的駐點及不可導點；（2）計算函數在這些點和端點處的函數值；（3）將這些值加以比較，其中最大的為最大值，最小的為最小值.注意 （1） 在求函數的最大值或最小值時，如果已知該函數在某個區間內只有一個極值點，那么在包含該極值點的此區間內，極大值就是最大值，極小值就是最小值（2） 在求函數的最大值或最小值時，如果已知該函數在某個區間內完全單調，則兩個端點即為最值點，兩端點處的函數值較大的為最大值，較小的為最小值。例6 用一塊邊長為的正方形鐵皮，在其四角各截去一塊面積相等的小正方形，做成無蓋的鐵盒.問截去的小正方形邊長為多少時，做出的鐵盒容積最大？解 設截去的小正方形的邊長為，鐵盒的容積為.根據題意，得 ，于是，問題歸結為：求為何值時，函數在區間內取得最大值. ，令，解得，.因此，在區間內函數只有一個駐點，又由問題的實際意義知，函數的最大值在內取得.所以，當時，函數取得最大值.即當所截去的正方形邊長為時，鐵盒的