1、抽象函數的定義域總結解題模板1已知f(X)的定義域，求復合函數 fg x的定義域由復合函數的定義我們可知，要構成復合函數，則內層函數的值域必須包含于外層函數的定義域之中，因此可得其方法為：若f(x)的定義域為 xw a,b，求出fg(x)中a . g(x) : b的解x的范圍，即為f g(x)的定義域。2已知復合函數fg x的定義域，求f(x)的定義域方法是：若fg x的定義域為a,b，則由a ： x ： b確定g(x)的范圍即為f (x) 的定義域。3已知復合函數fg(x)的定義域，求fh(x)的定義域結合以上一、二兩類定義域的求法，我們可以得到此類解法為：可先由fg x定義域求得f x的定

2、義域，再由f x的定義域求得fh x的定義域。4.已知f (x)的定義域，求四則運算型函數的定義域若函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的，其定義域為各基本函數定義域的交集，即先求出各個函數的定義域，再求交集。例1已知函數f (x)的定義域為-1, 1,求f (3x -5)的定義域.分析：若f (x)的定義域為a < x < b，則在fg(x) 1中, a < g(x) < b ,從中解得x 的取值范圍即為 f lg(x) 的定義域本題該函數是由u = 3x -5和f (u)構成的復合函數，其中x是自變量，u是中間變量，由于f (x)與f(u)是同一個函數，因此這里

3、是已知-1 < u w 5，即-1 w 3x -5 w 5，求x的取值范圍.解： f (x)的定義域為 I -1,5 丨， - 1 w 3x - 5 w 5 , w x w 0 .33故函數f(3x-5)的定義域為 40 .IL3 3變式訓練：若函數y二f (x)的定義域為 1 ,2，則f(log2x)的定義域為 。IL2分析：由函數y二f (x)的定義域為1 2可知:21log 2 x 二2。2解：依題意知：1log? x _ 2解之，得：.一2 _ x _42- f (log 2 x)的定義域為 上 | 2 _ x _ 4例2已知函數f(x2-2x2)的定義域為1.0,31,求函數f

4、 (x)的定義域.分析：若fg(x) 1的定義域為m< x < n，則由m < x < n確定的g(x)的范圍即為f(x)的定義域這種情況下，f(x)的定義域即為復合函數f lg(x) 1的內函數的值域。2 2本題中令 u = x -2x 2，貝U f (x -2x 2 f (u),由于f (u)與f (x)是同一函數，因此 u的取值范圍即為f (x)的定義域.2解：由 0 < x < 3，得 1 < x -2x 2 < 5 令 u = x2 - 2x 2，則 f (x2 - 2x 2) = f (u) , 1 < u < 5 .故f

5、 (x)的定義域為1,5 I變式訓練：已知函數''，_；1：的定義域為1亠；-1，則''，：-'的定義域為 解：由J2,54，得亠所以-二：J故填-:例3.函數' '' 1 定義域是 V，則'-的定義域是()A. B. ' -1C. ' ；-D.-3, 7分析：已知-的定義域，求"I的定義域，可先由'I定義域求得:-的定義域，再由的定義域求得的定義域解：先求一的定義域11l 的定義域是 一 I: ; ; I ,即的定義域是一二1,再求的定義域J'二心_1)的定義域是2,故應選A變式

6、訓練：已知函數f(2 x)的定義域是-1 , 1,求f(log 2x)的定義域.分析：先求2x的值域為M則log2X的值域也是M,再根據log2X的值域求定義域。解 /y=f(2 x)的定義域是-1 , 1,即-1 < xw 1, 2 < 2Xw 2.函數 y=f(log 2x)中 2 w log 2X w 2.即 log 2 2 w log 2X< log 24, 、2 w x w 4.故函數f(log 2X)的定義域為2 , 4例4若f (x)的定義域為-3, 5丨,求“X)二f (-x) f(2x 5)的定義域.分析：求由有限個抽象函數經四則運算得到的函數的定義域，其解

7、法是：先求出各個函數的定義域，然后再求交集._3 wx w 5解：由f (x)的定義域為1-3, 51 ,則(x)必有' 解得-4 w x w 0 .13 w 2x + 5 w 5,所以函數(x)的定義域為1-4 ,0 1.變式訓練:已知函數二的定義域是，的定義域。分析：分別求f(x+a)與f(x-a)的定義域，再取交集。解：丁由已知,0 <z + a<1V-<02a < a <l + a<l 函數1的定義域是.八-1 2例5若函數f(x+1)的定義域為,2,求f(x)的定義域.2分析：已知f(x+1)的定義域為,2, x滿足w xw 2,于是2 2

8、v x + 1 v 3,得到2.一 12f(x)的定義域，然后f(x )的定義域由f(x)的定義域可得.解：先求f(x)的定義域:由題意知-再求 fh(x)1< x< 2,2的定義域：1則一v x+ 1 v 3，即f(x)的定義域為22，3， 1 v x2 v 3,解得一23 v x v或2 v xv3 .2 2,2f(x )的定乂域是x| 3 v xv -或 v xv3 .2 2例6、某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為 x、y(單位：m)的矩形.上部是等腰直角三 角形要求框架圍成的總面積 8亦問x、y分別為多少(精 確到0.001m)時用料最省？分析：應用題中

9、的定義域除了要使解析式有意義外，需考慮實際上的有效范圍。實際上的有效范圍，即實際問題要有意義，一般來說有以下幾中常見情況：(1) 面積問題中，要考慮部分的面積小于整體的面積；(2) 銷售問題中，要考慮日期只能是自然數，價格不能小于0也不能大于題設中規定的值(有的題沒有規定)；(3) 生產問題中，要考慮日期、月份、年份等只能是自 然數，增長率要滿足題設；1 2S三角形'S矩形二xy x 8 ,4(4)路程問題中，要考慮路程的范圍。本題中總面積為由于 xy 0 ,于是-x2 : 8，即 x 4 2。又 x 0 ,.4x的取值范圍是0：x：42。解：由題意得218-乞 8xy+ x2=8,

10、.y= 4= 4xx-(0<x<4、2).4已框架用料長度為l=2x+2y+2(x )=( - , 2 )x+ 164 . 6一4一2 .22x當(3 +、. 2 )x= 16 ,即x=8 4 . 2時等號成立.2x此時，x 2.343,y=2. 2 2.828.故當x為2.343m,y為2.828m時，用料最省.變式訓練：13. （2007 北京理，19）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為2r,短半軸長為r.計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底 CD的端點在橢圓上.記CD=2x，梯形面積為S.（1）求面積S以x求面積S的最大值.解（1）依題意，以AB

11、的中點0為原點建立直角坐標系O-xy （如圖），則點C的橫坐標為x,點C的縱坐標y滿足方程解得 y=2 一 r2 -X2 (0<x<r).S=1 (2x+2r) 2 . r2 x22=2(x+r) -. r2 -x2,其定義域為x|O<x<r.2222(2)記 f(x)=4(x+r) (r -x ),0<x<r,貝U f ' (x)=8(x+r)(r-2x).1 r令 f' (x)=0,得 x= r.因為當 0<x< 時，f' (x)>0;2 2r1當一<x<r時,f ' (x)<0，所以f

12、 ( r )是f(x)的最大值.22因此，當x=lr時，S也取得最大值，最大值為，（»夢2.即梯形面積S的最大值為 r2.2鞏固訓練（各專題題目數量盡量一致，各題均附答案及解析）1. 設函數的定義域為11 ,貝U（1） 函數冷）的定義域為。（2） 函數扛五的定義域為。分析：做法與例題1相同解：(1)由已知有-、，解得:故的定義域為(2)由已知，得:二心；解得I ；故 - -' f的定義域為L'.2、 已知函數-''：的定義域為I->-,貝珥，；的定義域為。分析：做法與例題2相同。解：由,得.丨所以-二：二1，故填I'I3、 已知函數-''：的定義域為I 一 ,則y=f(3x-5)的定義域為分析：做法與例題3相同。解：由 J G,得.-|< I