1、核心熱點真題印證核心素養利用導數研究函數的性質2017，21；2018，21；2017，21；2018，21數學運算、邏輯推理利用導數研究函數的零點2018，21(2)；2018江蘇，19數學運算、直觀想象導數在不等式中的應用2017，21；2017，21；2016，20；2018，21數學運算、邏輯推理教材鏈接高考導數在不等式中的應用教材探究(引自人教A版選修11P99習題3.3B組 (3)(4)兩個經典不等式)利用函數的單調性證明下列不等式，并通過函數圖像直觀驗證.(3)ex1x(x0)；(4)ln xx0).試題評析1.問題源于求曲線yex在(0，1)處的切線及曲線yln x在(1，0)

2、處的切線，通過觀察函數圖像間的位置關系可得到以上結論，可構造函數f(x)exx1與g(x)xln x1對以上結論進行證明.2.兩題從本質上看是一致的，第(4)題可以看作第(3)題的推論.在第(3)題中，用“ln x”替換“x”，立刻得到x1ln x(x0且x1)，進而得到一組重要的不等式鏈：exx1x1ln x(x0且x1).3.利用函數的圖像(如圖)，不難驗證上述不等式鏈成立.【教材拓展】 試證明：exln x2.證明法一設f(x)exln x(x0)，所以(x)在(0，)單調遞增，所以當xx0時，f(x)0；當0 xx0時，f(x)2.法二注意到ex1x(當且僅當x0時取等號)，x1ln

3、x(當且僅當x1時取等號)，exx11xln x，故exln x2.【鏈接高考】 (2017全國卷)已知函數f(x)ln xax2(2a1)x.(1)討論f(x)的單調性；(1)解f(x)的定義域為(0，)，若a0時，則當x(0，)時，f(x)0，故f(x)在(0，)上單調遞增，當x(0，1)時，g(x)0；x(1，)時，g(x)0時，g(x)0，教你如何審題利用導數研究函數的零點【例題】 (2018全國卷)已知函數f(x)exax2.(1)若a1，證明：當x0時，f(x)1；(2)若f(x)在(0，)只有一個零點，求a.審題路線自主解答(1)證明當a1時，f(x)exx2，則f(x)ex2x

4、.令g(x)f(x)，則g(x)ex2.令g(x)0，解得xln 2.當x(0，ln 2)時，g(x)0.當x0時，g(x)g(ln 2)22ln 20，f(x)在0，)上單調遞增，f(x)f(0)1.(2)解若f(x)在(0，)上只有一個零點，即方程exax20在(0，)上只有一個解，令(x)0，解得x2.當x(0，2)時，(x)0.探究提高1.利用導數研究函數的零點主要考查直觀想象、邏輯推理、數學運算核心素養.考查的主要形式：(1)求函數的零點、圖像交點的個數；(2)根據函數的零點個數求參數的取值或范圍.2.導數研究函數的零點常用方法：(1)研究函數的單調性、極值，利用單調性、極值、函數零

5、點存在定理來求解零點問題；(2)將函數零點問題轉化為方程根的問題，從而同解變形為兩個函數圖像的交點，運用函數的圖像性質求解.【嘗試訓練】 已知三次函數f(x)x3bx2cxd(a，b，cR)過點(3，0)，且函數f(x)在點(0，f(0)處的切線恰好是直線y0.(1)求函數f(x)的解析式；(2)設函數g(x)9xm1，若函數yf(x)g(x)在區間2，1上有兩個零點，求實數m的取值范圍.解(1)f(x)3x22bxc，由已知條件得，所以f(x)x33x2.(2)由已知條件得，f(x)g(x)x33x29xm1在2，1上有兩個不同的零點，可轉化為ym與yx33x29x1的圖像有兩個不同的交點；令h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9，x2，1，令h(x)0得2x1；令h(x)0得1x1.所以h(x)maxh(1)6，又f(2)1，f(1)10，所以h(x)min10.數形結合，可知要使ym與yx33x29x1的圖像有兩個不同的交點，則1m6.故實數m的取值范圍是1，6).滿分答題示范利用導數研究函數的性質【例題】