1、精選優質文檔-傾情為你奉上高三數學二輪專題復習教案：極限導數和復數一、本章知識結構：復數復數的概念復數與復數分類復數相等的充要條件共軛復數復數的模復數的運算復數的加法法則復數的減法法則復數的乘法法則復數的除法法則（abi）（cdi）（ac）（bd）i復數加法的幾何意義（abi）（cdi）（ac）（bd）i復數減法的幾何意義復平面上兩點間的距離dz1z2（abi）（cdi）（acbd）（adbc）ii二、重點知識回顧（一）極限1、數學歸納法是一種用遞歸方法來證明與正整數有關命題的重要方法，它是完全歸納法中的一種。論證問題分為兩步：證明當n取第一個值時結論正確；假設當n=k(k且k)時結論正確，證

2、明當n=k+1時結論也正確。由（1）、（2）斷定命題對于從開始的一切正整數都成立。2、數列極限的定義設是一個無窮數列，A是一個常數，如果對于預先給定的任意小的正數，總存在正整數N，使得只要正整數nN，就有|-A|，那么就說數列以A為極限（或A是數列的極限），記作=A。3、數列極限的運算法則如果=A，=B，那么(1) (±)=±=A±B；(2) (·)=·=A·B（3）（4）（c·）= c·=cA（c為常數）極限運算法則中的各個極限都應存在，都可推廣到任意有限個極限的情況，不能推廣到無限個。在商的運算法則中，要注意對

3、式子的恒等變形，有些題目分母不能直接求極限。4、特殊數列的極限（1）C=C（C為常數）（2） 0（|a|1）= 1（a=l 不存在（|a|1或a=-1）(3) =0(0的常數)(4) （當k=時）= 0（當k時 不存在（當k時）說明：欲求極限的式子中，含有項數與n有關的“和式”或“積式”，應先求和或積。5、常見的數列極限的類型和求法（1）“”型，分子、分母分別求和再轉化。（2）“”型，分子、分母先求和，再化簡，轉化為有極限。（3）“”型，將其看作分母為1的分式，轉化求極限。6、與和之間的關系=a =a。如果在點處左、右極限都存在并且等值，則在點處的極限也存在，并且與左、右極限值相同；如果 在處

4、的左、右極限至少有一個不存在，或者左、右極限都存在但不等值，則函數在點處沒有極限，這種關系也反映出、也都在處連續。（二）導數1.有關概念平均變化率：函數在某一點的導數：函數的導數2. 導數的幾何意義：是曲線上點（）處的切線的斜率說明：.導數的幾何意義可以簡記為“k=”,強化這一句話“斜率導數，導數斜率” .曲線在點（）處的切線方程為3.導數的物理意義：s=s(t)是物體運動的位移函數，物體在t=時刻的瞬時速度是說明：.物理意義在教材上只是以引例形式出現，教學大綱對它的要求不高，知道即可。.物理意義可以簡記為=4、幾種常見函數的導數公式 5、求導法則 ，（v0）6、復合函數求導 （三）復數1復數

5、及分類形如abi（a，bR）的數叫復數，其中a為實部，b為虛部，ii是虛數單位，且滿足ii21.復數zabi（a，bR）2復數相等的充要條件abiicdiiÛac，bd（a，b，c，dR）.特別地abii0Ûab0（a，bR）.3i的冪i4n1，i4n+1i，i4n+21，i4n+3i（nZ）.4復數的加法和減法（abi）±（cdi）（a±c）（b±d）i（a，b，c，dR）.5復數的乘法和除法復數的乘法按多項式相乘進行，即（abi）（cdi）acadibcibdi2（acbd）（adbc）i.復數除法是乘法的逆運算，其實質是分母實數化.6共軛

6、復數zabi與abi互為共軛復數。7復數的模設zabi，則復數的模：zr8復數與點的軌跡復數與復平面上的點是一一對應的。兩點間的距離公式：dz1z2；圓的方程：zPr（以點P為圓心，r為半徑）；三、考點剖析考點一：數學歸納法【內容解讀】數學歸納法的表述嚴格而且規范，兩個步驟缺一不可。第一步是命題遞推的基礎；第二步是遞推的依據，是論證過程的關鍵。在論證時，第一步驗算n=中的n不一定為1，根據題目的要求，有時可為2，3等。第二步證明n=k+1時命題也成立的過程中，歸納假設P（k）起著“已知條件”的作用，必須利用歸納假設P（k），恰當的通過推理和運算推出P（k+1），否則就不是數學歸納法。第二步證明

7、的關鍵是“一湊假設，二湊結論”。數學歸納法的兩步分別是數學歸納法的兩個必要條件，兩者缺一不可，兩步均予以證明才具備了充分性，也就是完成了這兩步的證明才能斷定命題的正確性。【命題規律】數學歸納法一般出現在解答題中，與數列、函數等內容結合，難度屬中等偏難。例1、（2007全國1理22）已知數列中，（）求的通項公式；（）若數列中，證明：，解：（）由題設：，所以，數列是首項為，公比為的等比數列，即的通項公式為，（）用數學歸納法證明（）當時，因，所以，結論成立（）假設當時，結論成立，即，也即當時，又，所以也就是說，當時，結論成立根據（）和（）知，點評：本題考查數學歸納法的證明，與數列、不等式等結合，屬中

8、等偏難的試題。例2、（2008浙江）已知數列，記：，求證：當時，（）；（）；（）（）證明：用數學歸納法證明當時，因為是方程的正根，所以假設當時，因為 ，所以即當時，也成立根據和，可知對任何都成立（）證明：由，（），得因為，所以由及得，所以（）證明：由，得所以，于是，故當時，又因為，所以點評：本題主要考查數列的遞推關系，數學歸納法、不等式證明等基礎知識和基本技能，同時考查邏輯推理能力 考點二：極限的求解【內容解讀】極限主要包括數列極限和函數極限，掌握幾個重要極限的求法，極限的四則運算等內容；理解函數在一點處的極限，并會求函數在一點處的極限已知函數的左、右極限，會求函數在一點處的左右極限 【命題規

9、律】極限在高中數學和高等數學中起著橋梁作用，是中學數學與大學數學的銜接點，是高中數學的新增內容，是高考的熱點之一。一般以選擇題、填空題或解答題的形式出現，難度適中。例3、（2008陜西卷），則 1解：點評：數列極限是高考熱點題型之一，掌握幾種類型的求解方法。例4、（2008重慶卷）已知函數f(x)= ，點在x=0處連續，則 .解： 又 點在x=0處連續，所以 即 故點評：在點處的極限值等于這點的函數值，即。函數在處連續，反映在圖像上是的圖像在點x=處是不間斷的。例5、（2007湖北理）已知和是兩個不相等的正整數，且，則（ ）A0B1CD解：方法一 特殊值法，由題意取，則，可見應選C方法二 令，

10、分別取和，則原式化為所以原式=（分子、分母1的個數分別為個、個）點評：本題考察數列的極限和運算法則，可用特殊值探索結論，即同時考察學生思維的靈活性。當不能直接運用極限運算法則時，首先化簡變形，后用法則即可。本題也體現了等比數列求和公式的逆用。考點三：導數的相關問題【內容解讀】1、了解導數概念的實際背景，體會導數的思想及其內涵；2、通過函數圖象直觀地理解導數的幾何意義；3、能利用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數，能求簡單的復合函數的導數；4、了解函數的單調性與導數的關系，能利用導數研究函數的單調性，會求不超過三次的多項式函數的單調區間；5、了解函數在某取得極值的必

11、要條件和充分條件，會用導數求函數的極大值、極小值，以及閉區間上函數的最大值和最小值；體會導數方法在研究函數性質中的一般性有效性；5、會用導數的性質解決一些實際問題，如生活中的最優化問題等。【命題規律】考查導數的概念、切線方程、導數的計算等內容，在高考中經常以填空題或選擇題為主要題型，難度不大；考查單調性、極值、最值等問題及應用問題，以中檔題為主，題型以解答題為主。例6、(2008福建)如果函數的圖像如右圖,那么導函數的圖像可能是（）解：由原函數的單調性可以得到導函數的正負情況依次是正負正負,只有答案A滿足.點評：深刻理解函數的導數與函數單調性的關系是解答本題的關鍵。例7、(2008廣東文)設，

12、若函數，有大于零的極值點，則（A ）A B. C. D. 解：依題意，有有大于0的實根,數形結合令,則兩曲線交點在第一象限,結合圖像易得,選A.點評：畫出兩個函數的圖象，利用數形結合法求解，體現了數形結合的思想。例8、(2008湖北理)若f(x)=上是減函數，則b的取值范圍是（ ）A.-1，+ B.（-1，+） C.（-，-1） D.（-，-1）解：由題意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，故為正確答案點評：函數的導數小于零，則函數在該區間上是減函數，反之也成立。如果在某區間上函數的導數大于零，則函數在該區間上是增函數。例9、(2008全國卷文) 曲線在點處的切線的傾斜角為（ ）A30

13、°B45°C60°D120°解：，在點（1,3）處切線的斜率為：k3×1221，所以傾斜角為45°，選（B）。點評：本題考查導數的幾何意義，在某點處的切線的斜率問題。例10、（2008安徽文）設函數為實數。（）已知函數在處取得極值，求的值； （）已知不等式對任意都成立，求實數的取值范圍。解: (1) ，由于函數在時取得極值，所以 即 (2) 方法一：由題設知：對任意都成立 即對任意都成立 設 , 則對任意，為單調遞增函數 所以對任意，恒成立的充分必要條件是 即 ， 于是的取值范圍是 方法二：由題設知：對任意都成立 即對任意都成立 于是

14、對任意都成立，即于是的取值范圍是點評：函數在某點處取得極值，則在這點處的導數為0，反過來，函數的導數在某點的值為0，則在函數這點處取得極值。例11、(2008廣東文)某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房。經測算，如果將樓房建為x（x10）層，則每平方米的 平均建筑費用為560+48x（單位：元）。為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為多少層？（注：平均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用=）解：設樓房每平方米的平均綜合費為元，依題意得則，令，即，解得當時，；當時，因此，當時，取得最小值，元.答：為了使樓房每平方米

15、的平均綜合費最少，該樓房應建為15層。點評：本題是導數在實際問題中的應用，求最值問題，經常就是求函數的導數，在極值處取得最值。例12、(2008湖北理)水庫的蓄水量隨時間而變化，現用t表示時間，以月為單位，年初為起點，根據歷年數據，某水庫的蓄水量（單位：億立方米）關于t的近似函數關系式為V（t）=（）該水庫的蓄求量小于50的時期稱為枯水期.以i-1tt表示第1月份（i=1,2,12）,同一年內哪幾個月份是枯水期？（）求一年內該水庫的最大蓄水量（取e=2.7計算）.解：（）當0t10時，V(t)=(-t2+14t-40)化簡得t2-14t+40>0,解得t4，或t10，又0t10，故0t4

16、.當10t12時，V（t）4（t-10）（3t-41）+5050,化簡得（t-10）（3t-41）0,解得10t，又10t12,故 10t12.綜合得0<t<4,或10<t12,故知枯水期為1月，2月，3月，4月，11月，12月共6個月.()()知：V(t)的最大值只能在（4，10）內達到.由V（t）= 令V(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).當t變化時，V(t) 與V (t)的變化情況如下表：t(4,8)8(8,10)V(t)+0-V(t)極大值由上表，V(t)在t8時取得最大值V(8)8e2+50-108.52(億立方米).故知一年內該水庫的最大蓄水量是108.32億

17、立方米點評：本小題主要考查函數、導數和不等式等基本知識，考查用導數求最值和綜合運用數學知識解決實際問題能力.考點四：復數【內容解讀】本章重點是復數的概念及代數形式的運算.難點是復數的向量表示和復數的三角形式及其運算.【命題規律】復數的概念及其運算是高考命題熱點，從近幾年高考試題來看，主要考查復數的概念及其運算，難度不大。例11、(2008福建理) 若復數是純虛數，則實數a的值為（）A.1B.2C.1或2D.-1解：由得,且。點評：本題主要考查復數的概念，注意純虛數一定要使虛部不為0。例12、(2008江西理) 在復平面內，復數對應的點位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限解：

18、因所以對應的點在第四象限，選（D）。點評：本題考查復數的幾何意義及三角函數的知識，每一個復數在復平面內都有一個點與之對應。例13、(2008湖南理)復數等于( )A.8 B.8 C.8iD.8i 解：由,易知D正確. 點評：本題考查復數的運算，掌握1。例14、(2008上海文)若是實系數方程的一個虛根，且，則 解：設,則方程的另一個根為,且，由韋達定理，得：所以 xy···111CAB點評：本題考查一元二次方程根的意義、共軛復數、復數的模等知識。例15、設復數z滿足|z|z| = 2，求|z1|的最小值解：由題設知，復數z在復平面內對應的點集是線段AB，如圖所示，

19、線段AB上B點到C點距離最短|BC |=1，|z1|的最小值為1點評：在分析問題和解決問題時，要注意解析語言的意義及運用，要掌握圖形語言、符號語言及文字語言的互化，自覺地由“形”到“數”與由“形”變“數”地運用數形結合的思維方法四、方法總結與2009年高考預測（一）方法總結1.極限的概念和運算法則是微積分中最重要的工具，也是學好導數的基礎。它是歷年高考的重點考查內容，多與分類討論相結合。通常與數列結合的題目要多一些，解答時要求先求出數列的通項公式或是前項和公式再求極限。求函數的極限時，經常要用到常見函數的極限及兩個重要極限（解決函數極限的小題時可用洛畢達法則）。通過恒等變形用函數極限的四則運算法則求相關函數的極限，或利用初等函數在其定義域內每一點處的極限值等于該點函數值求函數的極限或利用函數的極限判定函數在給定點處的連續性。歸納法也是本章常見的考查點，一定要注意用數學歸納法解題時的步驟。2.導數是中學限選內容中較為重要的知識，由于其應用的廣泛性，為我們解決所學過的有關函數問題提供了一般性