1、概念理解教學的關鍵在于概念理解教學的關鍵在于“度度”溧陽市戴埠初級中學溧陽市戴埠初級中學 劉劉 靜靜 初中階段是學生數學能力形成的關鍵期，是學生從算術思維到代數思維、從形象思維想抽象思維的過度期。小學數學強化了算法，但算理強化不夠。很多學生都會求兩個數的最大公約數，但是對為什么要求最大公約數卻知之甚少。初中很多知識小學都學過，高中還要進一步學習，我們怎樣把握概念理解的“度”，這已成為初中數學概念教學的特點，使初中數學概念教學呈現出獨特的策略。新課程標準下對數學概念描述，改變了舊教材中刻板的知識結構體系和嚴謹的數學概念體系，不再特別關注概念表現形式，而是注重強調要關注概念的實際背景與形成過程，幫

2、助學生克服學習概念時只會死記硬背的學習方式，這給初中數學概念教學提供了思路。一、初中數學概念的特點分析 正確理解初中數學概念的特點是我們把我“度”的關鍵。因此，教師要關注數學概念的理解，幫助學生抓住該年度特點，真正理解概念的本質是學好數學的關鍵。在多年的教學中,我也分析了許多大大小小的概念的構成,總結出初中數學概念具有如下特點. 1、數學概念的承上啟下、數學概念的承上啟下 很多概念都是基于小學數學概念的進一步深化。比如,小學學習了分數、同分母分數想加減、異分母相加減和分數的基本性質.初中階段在有理數引入后,分數的概念有了擴展,雖然分數運算法則沒有變化,但是運算的數域發生了變化,導致學生解題困難

3、。代數式之后還要學習分式及其運算.這些知識對學生來說是不是新知識呢?這是一個值得研究的問題.高中生在實數和復數、抽象函數引入后,分數的概念又有所變化和引申。 可見,初中數學概念教學必須充分以小學數學概念的理解為基礎,以有助于高中深化為目標,把握好概念教學的深度。 2、定義表現的形象直觀、定義表現的形象直觀 由于初中生邏輯思維能力還不夠，所以初中數學概念主要是以形象、通俗的語言方式進行表達，而不是嚴格的數學定義。 比如，代數式的概念只說“像。的叫代數式”，到底什么方面像呢？概念并沒有明確，只能靠直觀感受。再如，“方程是含有未知數的等式“等概念都比較形象、直觀。這種定義易于理解，但卻不適合嚴格論證

4、。另外，初中數學中還存在大量的不定義概念，這些概念都是日常語言的固化，數學中沒有給出明確的定義而直接使用的。比如，相交、點、數等。 可見，初中數學概念不能像嚴格數學概念那樣全面分析概念的內涵和外延。它既有嚴格的數學語言表述，又有個別表述不嚴謹的現象，所以要把握好概念教學的難度。 3、概念體系的初步形成、概念體系的初步形成 初中數學概念已經初步建立了相互聯系。比如，三角形、四邊形、多邊形等，只有理解了三角形的概念，才能理解其他的同類型概念。通過各種數學對象的性質將小學不同的概念連接起來。 比如，平行四邊形、矩形、菱形和正方形等概念，通過邏輯分析，獲得這些概念的內涵的包含關系和外延的被包含關系。再

5、比如，加減法實現了等價相互轉換，字母、參數、變量、未知數等概念也趨于統一。 可見，初中概念教學應強化概念之間的聯系，但要把握好概念系統化的適度。 4、數學語言的獨立發展、數學語言的獨立發展 初中階段初步形成了比較嚴格的數學語言，特別是幾何圖形、幾何證明、幾何變換和代數運算等。幾何證明語言通常是“因為。所以。”，這些內容都有比較規范的表述要求，學生表述逐漸要求體現簡潔規范，言必有據等數學語言表達的特點。教學時要把握好語言表達、尺規操作和邏輯證明的適度要求。二、初中數學概念理解教學的策略 “度”是一個哲學概念。做任何事都有過猶不及的問題。因此，數學教學也要有個適度原則。初中階段數學概念的教學時學生

6、數學能力形成的關鍵期。為了適度把握概念教學的內容和要求，體現初中數學概念的特點，教師應該建立整體觀念，把握教學過程中的“度”，促進學生邏輯思維的快速發展。 1、根據學生的水平，明確數學概念的理解程度、根據學生的水平，明確數學概念的理解程度 根據初中數學概念有不同的要求和不同的表述，因此教學時要具體分析不同概念的教學內容和深度要求。理解數學概念就是使學生明確概念“是什么”、“為什么”、“怎么說”和“怎么做”等內容。 如，讀一“數軸”這個概念，可以這樣引導學生理解。（1）數軸是什么？（是一條直線，有原點、正方向、單位長度的直線。）（2）為什么要用數軸？（直觀表示數的大小和順序，實現數與形的相互表示

7、。）（3）怎樣交流或表述與數軸相關的知識與技能？（數與點的對應關系，大小關系的 幾何表示，幾何語言與代數語言的轉換等。）（4）完成數軸的有關操作。（畫一條數軸，確定一個數在數軸上的位置，確定合理的單位，確定數的大小的方法等。） 這就是對數軸這個概念的適度理解，但如果要求所有學生都會把一個無理數表示在數軸上，則是理解的過度要求了。 當然，同一個概念在不同學段出現時都會有不同程度的要求。比如，加法小學就學，初中也學，甚至博士也要學加法。這是因為加法的對象和意義是不斷變化的。概念的層次不僅表現在對象的變化，有時也表現在難度要求、知識鏈接和抽象程度等方面。比如，數軸與數的關系是基本要求，用數軸研究數的

8、性質是重點，用數的性質研究幾何問題，或者用數軸研究函數變化則是更高的要求。 所以，教師教學概念時要根據學生的實際水平和特點，注意概念的理解程度，讓學生跳一跳，夠得到，又不能無度地增加難度，讓學生無所適從、無從下手。根據這一要求，教師必須由淺入深、化難為易，逐步抓住問題的實質，這不僅體現數學發展的規律，而且是學生漸進學習的關鍵。2、根據概念的邏輯關系，控制概念內涵與外延的講解程度、根據概念的邏輯關系，控制概念內涵與外延的講解程度 概念的內涵是指該概念所具有的本質屬性的總和。概念的定義是本質屬性中的一個決定性屬性組，類似于線性空間的基底的作用。一般來說，數學概念的定義都是短短幾句話，較為簡練。但是

9、，它包含了豐富的內涵和外延。例如，“平行線”的決定性屬性組就是“兩條直線，在同一平面內不相交”，它決定平行線的所有性質。所以講清概念的關鍵在于定義的理解。 例如，在教學“線段的垂直平分線”的定義時，就要指導學生抓住下列的要點。 （1）它是一條直線；（2）這條直線通過線段的中點； （3）這條直線垂直于線段。 其中（1）指出了它“是什么”圖形，（2）（3）指出了它是“怎么樣”的圖形。 通過這樣的劃分，學生對概念的邏輯關系就清清楚楚、一目了然。 概念的外延是指該概念所包含的對象的總和。也有一類概念時利用外延來定義的。例如，“數”這個概念的外延是所有數的集合，它包括正數、0、負數；如果糾結無限不循環小

10、數或者實數的性質就過了。“三角形”這個概念的外延是所有三角形的集合，它包括銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。這類概念必須通過對外延的理解來全面把握它所表現的對象。 理解概念就是讓學生講清楚這個概念的內涵和外延分別是什么，能夠比較準確地判斷概念都包括哪些對象，以及這些對象都具有哪些性質。只有弄清這兩個問題，才能對該概念有切實的掌握，也有助于培養學生思維的廣度和深度，提高學生的邏輯思維能力。但如果不控制概念內涵與外延的講解程度，就會出現一些似是而非的問題。比如，“a+b=b+a是不是方程”和”x+y=5是方程還是函數“之類的問題。3、根據概念定義的表述特點，確定概念的分析深度、根據概念定義的表述

11、特點，確定概念的分析深度 概念是反映客觀事物本質屬性的思維形式，概念是通過定義描述的。因此，講授概念時，要幫助血紅素剖析定義的表述。但是由于初中數學概念具有一定的不嚴密性，所以在剖析定義時，一定要根據定義的性質把握適當的分析深度。比如，較嚴格的內涵定義，重點分析大小概念的差別。 例如，在教學“等腰三角形”時，要使噓聲緊緊地抓住它與一般三角形的區別，強調是一種特殊的三角形，特殊在“有兩條邊相等。但對于代數式、無理數、函數等不夠嚴格的概念，要關注概念的實際背景與形成過程，重點學習一種語言的表述方法，不要過分強調概念邊界的清晰。 可見，初中學生正處在從形象直觀到嚴謹邏輯過度的關鍵時期，教學時要根據定

12、義的表述特點，把握好概念的分析深度，既要注意通過嚴謹的邏輯語言訓練提升邏輯思維能力，又要注意不能過高地要求學生進行的邏輯推理。 4、根據概念的抽象特點，控制應用情景的變式廣度、根據概念的抽象特點，控制應用情景的變式廣度 概念應用時概念理解的主要目的，也是監測概念是否理解的重要標志。典型應用不僅是簡單的套用，而且還包括變式應用和反例分析等方面。抓變式是指幾何概念要畫出它的變式圖形；代數概念要會列出“等價”的各種表現形式。例如，幾何中有關同位角、內錯角、同旁內角的概念，學生容易在圖(1)、圖（2）中找出。也可以稍作變式，如圖（3），將所截的兩條直線變為不平行的直線，學生經過認真的觀察和思考也能找出

13、來。但如果變為圖（4）、圖（5）那樣，兩條直線不平行且過交點的情況就有些過度了。 圖（1）圖（2）圖（3）圖（4）圖（5）又如，代數式中“非負數”的概念，可以有以下幾種表現方式。（1）a是一個非負數； （2）a是一個正數或0；（3）a是一個大于或等于0的數；（4）還可以用式子表示為a0。通過這幾種“等價”的表達方式，使學生對“非負數”這個概念有更為深刻和全面的理解。可見，適當的變式使學生對同一問題進行多角度、多方位的思考，有利于培養思維的變通性和靈活性。但要因人而異靈活處理，否則便會適得其反。選擇變式要注意把握變化的“度”，不要“變”得過于簡單，也不能太難。（5）、根據概念的互相聯系，把握思維

14、的訓練強度）、根據概念的互相聯系，把握思維的訓練強度 任何知識都是相互聯系的，只有將概念放到一個概念體系中，才能很好地發揮概念的價值，解決綜合性問題。數學作為一門基礎學科，具有系統性和連貫性，新舊知識聯系密切，對舊知識的理解和記憶，為學好新內容提供很大的幫助。因此，在講授新概念時，要密切聯系與它有關的舊概念。例如，“一元一次方程”的概念是建立在“元”、“次”和“方程”這三個概念基礎上的，只要抓住“一元一次方程”的本質，以后再講授“一元一次方程”、“一元一次不等式”等概念時，教師只要引導學生回憶已學過的有關知識，學生就會觸類旁通，達到事半功倍的效果。 對于容易混淆或難以理解的概念，可以通過分析、比較的方法，對某一類概念的相關聯系及區別進行分析。例如，矩形和菱形，它們既有聯系，又有區別。聯系是：都是平行四邊形，因而都具有平行四邊形的性質。區別是：矩形四個角都是直角，而菱形四條邊都相