1、概念理解教學(xué)的關(guān)鍵在于概念理解教學(xué)的關(guān)鍵在于“度度”溧陽市戴埠初級中學(xué)溧陽市戴埠初級中學(xué) 劉劉 靜靜 初中階段是學(xué)生數(shù)學(xué)能力形成的關(guān)鍵期，是學(xué)生從算術(shù)思維到代數(shù)思維、從形象思維想抽象思維的過度期。小學(xué)數(shù)學(xué)強(qiáng)化了算法，但算理強(qiáng)化不夠。很多學(xué)生都會求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，但是對為什么要求最大公約數(shù)卻知之甚少。初中很多知識小學(xué)都學(xué)過，高中還要進(jìn)一步學(xué)習(xí)，我們怎樣把握概念理解的“度”，這已成為初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的特點，使初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)呈現(xiàn)出獨特的策略。新課程標(biāo)準(zhǔn)下對數(shù)學(xué)概念描述，改變了舊教材中刻板的知識結(jié)構(gòu)體系和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)概念體系，不再特別關(guān)注概念表現(xiàn)形式，而是注重強(qiáng)調(diào)要關(guān)注概念的實際背景與形成過程，幫

2、助學(xué)生克服學(xué)習(xí)概念時只會死記硬背的學(xué)習(xí)方式，這給初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)提供了思路。一、初中數(shù)學(xué)概念的特點分析 正確理解初中數(shù)學(xué)概念的特點是我們把我“度”的關(guān)鍵。因此，教師要關(guān)注數(shù)學(xué)概念的理解，幫助學(xué)生抓住該年度特點，真正理解概念的本質(zhì)是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。在多年的教學(xué)中,我也分析了許多大大小小的概念的構(gòu)成,總結(jié)出初中數(shù)學(xué)概念具有如下特點. 1、數(shù)學(xué)概念的承上啟下、數(shù)學(xué)概念的承上啟下 很多概念都是基于小學(xué)數(shù)學(xué)概念的進(jìn)一步深化。比如,小學(xué)學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)、同分母分?jǐn)?shù)想加減、異分母相加減和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì).初中階段在有理數(shù)引入后,分?jǐn)?shù)的概念有了擴(kuò)展,雖然分?jǐn)?shù)運算法則沒有變化,但是運算的數(shù)域發(fā)生了變化,導(dǎo)致學(xué)生解題困難

3、。代數(shù)式之后還要學(xué)習(xí)分式及其運算.這些知識對學(xué)生來說是不是新知識呢?這是一個值得研究的問題.高中生在實數(shù)和復(fù)數(shù)、抽象函數(shù)引入后,分?jǐn)?shù)的概念又有所變化和引申。 可見,初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)必須充分以小學(xué)數(shù)學(xué)概念的理解為基礎(chǔ),以有助于高中深化為目標(biāo),把握好概念教學(xué)的深度。 2、定義表現(xiàn)的形象直觀、定義表現(xiàn)的形象直觀 由于初中生邏輯思維能力還不夠，所以初中數(shù)學(xué)概念主要是以形象、通俗的語言方式進(jìn)行表達(dá)，而不是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義。 比如，代數(shù)式的概念只說“像。的叫代數(shù)式”，到底什么方面像呢？概念并沒有明確，只能靠直觀感受。再如，“方程是含有未知數(shù)的等式“等概念都比較形象、直觀。這種定義易于理解，但卻不適合嚴(yán)格論證

4、。另外，初中數(shù)學(xué)中還存在大量的不定義概念，這些概念都是日常語言的固化，數(shù)學(xué)中沒有給出明確的定義而直接使用的。比如，相交、點、數(shù)等。 可見，初中數(shù)學(xué)概念不能像嚴(yán)格數(shù)學(xué)概念那樣全面分析概念的內(nèi)涵和外延。它既有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言表述，又有個別表述不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)默F(xiàn)象，所以要把握好概念教學(xué)的難度。 3、概念體系的初步形成、概念體系的初步形成 初中數(shù)學(xué)概念已經(jīng)初步建立了相互聯(lián)系。比如，三角形、四邊形、多邊形等，只有理解了三角形的概念，才能理解其他的同類型概念。通過各種數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)將小學(xué)不同的概念連接起來。 比如，平行四邊形、矩形、菱形和正方形等概念，通過邏輯分析，獲得這些概念的內(nèi)涵的包含關(guān)系和外延的被包含關(guān)系。再

5、比如，加減法實現(xiàn)了等價相互轉(zhuǎn)換，字母、參數(shù)、變量、未知數(shù)等概念也趨于統(tǒng)一。 可見，初中概念教學(xué)應(yīng)強(qiáng)化概念之間的聯(lián)系，但要把握好概念系統(tǒng)化的適度。 4、數(shù)學(xué)語言的獨立發(fā)展、數(shù)學(xué)語言的獨立發(fā)展 初中階段初步形成了比較嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言，特別是幾何圖形、幾何證明、幾何變換和代數(shù)運算等。幾何證明語言通常是“因為。所以。”，這些內(nèi)容都有比較規(guī)范的表述要求，學(xué)生表述逐漸要求體現(xiàn)簡潔規(guī)范，言必有據(jù)等數(shù)學(xué)語言表達(dá)的特點。教學(xué)時要把握好語言表達(dá)、尺規(guī)操作和邏輯證明的適度要求。二、初中數(shù)學(xué)概念理解教學(xué)的策略 “度”是一個哲學(xué)概念。做任何事都有過猶不及的問題。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)也要有個適度原則。初中階段數(shù)學(xué)概念的教學(xué)時學(xué)生

6、數(shù)學(xué)能力形成的關(guān)鍵期。為了適度把握概念教學(xué)的內(nèi)容和要求，體現(xiàn)初中數(shù)學(xué)概念的特點，教師應(yīng)該建立整體觀念，把握教學(xué)過程中的“度”，促進(jìn)學(xué)生邏輯思維的快速發(fā)展。 1、根據(jù)學(xué)生的水平，明確數(shù)學(xué)概念的理解程度、根據(jù)學(xué)生的水平，明確數(shù)學(xué)概念的理解程度 根據(jù)初中數(shù)學(xué)概念有不同的要求和不同的表述，因此教學(xué)時要具體分析不同概念的教學(xué)內(nèi)容和深度要求。理解數(shù)學(xué)概念就是使學(xué)生明確概念“是什么”、“為什么”、“怎么說”和“怎么做”等內(nèi)容。 如，讀一“數(shù)軸”這個概念，可以這樣引導(dǎo)學(xué)生理解。（1）數(shù)軸是什么？（是一條直線，有原點、正方向、單位長度的直線。）（2）為什么要用數(shù)軸？（直觀表示數(shù)的大小和順序，實現(xiàn)數(shù)與形的相互表示

7、。）（3）怎樣交流或表述與數(shù)軸相關(guān)的知識與技能？（數(shù)與點的對應(yīng)關(guān)系，大小關(guān)系的 幾何表示，幾何語言與代數(shù)語言的轉(zhuǎn)換等。）（4）完成數(shù)軸的有關(guān)操作。（畫一條數(shù)軸，確定一個數(shù)在數(shù)軸上的位置，確定合理的單位，確定數(shù)的大小的方法等。） 這就是對數(shù)軸這個概念的適度理解，但如果要求所有學(xué)生都會把一個無理數(shù)表示在數(shù)軸上，則是理解的過度要求了。 當(dāng)然，同一個概念在不同學(xué)段出現(xiàn)時都會有不同程度的要求。比如，加法小學(xué)就學(xué)，初中也學(xué)，甚至博士也要學(xué)加法。這是因為加法的對象和意義是不斷變化的。概念的層次不僅表現(xiàn)在對象的變化，有時也表現(xiàn)在難度要求、知識鏈接和抽象程度等方面。比如，數(shù)軸與數(shù)的關(guān)系是基本要求，用數(shù)軸研究數(shù)的

8、性質(zhì)是重點，用數(shù)的性質(zhì)研究幾何問題，或者用數(shù)軸研究函數(shù)變化則是更高的要求。 所以，教師教學(xué)概念時要根據(jù)學(xué)生的實際水平和特點，注意概念的理解程度，讓學(xué)生跳一跳，夠得到，又不能無度地增加難度，讓學(xué)生無所適從、無從下手。根據(jù)這一要求，教師必須由淺入深、化難為易，逐步抓住問題的實質(zhì)，這不僅體現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律，而且是學(xué)生漸進(jìn)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。2、根據(jù)概念的邏輯關(guān)系，控制概念內(nèi)涵與外延的講解程度、根據(jù)概念的邏輯關(guān)系，控制概念內(nèi)涵與外延的講解程度 概念的內(nèi)涵是指該概念所具有的本質(zhì)屬性的總和。概念的定義是本質(zhì)屬性中的一個決定性屬性組，類似于線性空間的基底的作用。一般來說，數(shù)學(xué)概念的定義都是短短幾句話，較為簡練。但是

9、，它包含了豐富的內(nèi)涵和外延。例如，“平行線”的決定性屬性組就是“兩條直線，在同一平面內(nèi)不相交”，它決定平行線的所有性質(zhì)。所以講清概念的關(guān)鍵在于定義的理解。 例如，在教學(xué)“線段的垂直平分線”的定義時，就要指導(dǎo)學(xué)生抓住下列的要點。 （1）它是一條直線；（2）這條直線通過線段的中點； （3）這條直線垂直于線段。 其中（1）指出了它“是什么”圖形，（2）（3）指出了它是“怎么樣”的圖形。 通過這樣的劃分，學(xué)生對概念的邏輯關(guān)系就清清楚楚、一目了然。 概念的外延是指該概念所包含的對象的總和。也有一類概念時利用外延來定義的。例如，“數(shù)”這個概念的外延是所有數(shù)的集合，它包括正數(shù)、0、負(fù)數(shù)；如果糾結(jié)無限不循環(huán)小

10、數(shù)或者實數(shù)的性質(zhì)就過了。“三角形”這個概念的外延是所有三角形的集合，它包括銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。這類概念必須通過對外延的理解來全面把握它所表現(xiàn)的對象。 理解概念就是讓學(xué)生講清楚這個概念的內(nèi)涵和外延分別是什么，能夠比較準(zhǔn)確地判斷概念都包括哪些對象，以及這些對象都具有哪些性質(zhì)。只有弄清這兩個問題，才能對該概念有切實的掌握，也有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的廣度和深度，提高學(xué)生的邏輯思維能力。但如果不控制概念內(nèi)涵與外延的講解程度，就會出現(xiàn)一些似是而非的問題。比如，“a+b=b+a是不是方程”和”x+y=5是方程還是函數(shù)“之類的問題。3、根據(jù)概念定義的表述特點，確定概念的分析深度、根據(jù)概念定義的表述

11、特點，確定概念的分析深度 概念是反映客觀事物本質(zhì)屬性的思維形式，概念是通過定義描述的。因此，講授概念時，要幫助血紅素剖析定義的表述。但是由于初中數(shù)學(xué)概念具有一定的不嚴(yán)密性，所以在剖析定義時，一定要根據(jù)定義的性質(zhì)把握適當(dāng)?shù)姆治錾疃取１热纾^嚴(yán)格的內(nèi)涵定義，重點分析大小概念的差別。 例如，在教學(xué)“等腰三角形”時，要使噓聲緊緊地抓住它與一般三角形的區(qū)別，強(qiáng)調(diào)是一種特殊的三角形，特殊在“有兩條邊相等。但對于代數(shù)式、無理數(shù)、函數(shù)等不夠嚴(yán)格的概念，要關(guān)注概念的實際背景與形成過程，重點學(xué)習(xí)一種語言的表述方法，不要過分強(qiáng)調(diào)概念邊界的清晰。 可見，初中學(xué)生正處在從形象直觀到嚴(yán)謹(jǐn)邏輯過度的關(guān)鍵時期，教學(xué)時要根據(jù)定

12、義的表述特點，把握好概念的分析深度，既要注意通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬚Z言訓(xùn)練提升邏輯思維能力，又要注意不能過高地要求學(xué)生進(jìn)行的邏輯推理。 4、根據(jù)概念的抽象特點，控制應(yīng)用情景的變式廣度、根據(jù)概念的抽象特點，控制應(yīng)用情景的變式廣度 概念應(yīng)用時概念理解的主要目的，也是監(jiān)測概念是否理解的重要標(biāo)志。典型應(yīng)用不僅是簡單的套用，而且還包括變式應(yīng)用和反例分析等方面。抓變式是指幾何概念要畫出它的變式圖形；代數(shù)概念要會列出“等價”的各種表現(xiàn)形式。例如，幾何中有關(guān)同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念，學(xué)生容易在圖(1)、圖（2）中找出。也可以稍作變式，如圖（3），將所截的兩條直線變?yōu)椴黄叫械闹本€，學(xué)生經(jīng)過認(rèn)真的觀察和思考也能找出

13、來。但如果變?yōu)閳D（4）、圖（5）那樣，兩條直線不平行且過交點的情況就有些過度了。 圖（1）圖（2）圖（3）圖（4）圖（5）又如，代數(shù)式中“非負(fù)數(shù)”的概念，可以有以下幾種表現(xiàn)方式。（1）a是一個非負(fù)數(shù)； （2）a是一個正數(shù)或0；（3）a是一個大于或等于0的數(shù)；（4）還可以用式子表示為a0。通過這幾種“等價”的表達(dá)方式，使學(xué)生對“非負(fù)數(shù)”這個概念有更為深刻和全面的理解。可見，適當(dāng)?shù)淖兪绞箤W(xué)生對同一問題進(jìn)行多角度、多方位的思考，有利于培養(yǎng)思維的變通性和靈活性。但要因人而異靈活處理，否則便會適得其反。選擇變式要注意把握變化的“度”，不要“變”得過于簡單，也不能太難。（5）、根據(jù)概念的互相聯(lián)系，把握思維

14、的訓(xùn)練強(qiáng)度）、根據(jù)概念的互相聯(lián)系，把握思維的訓(xùn)練強(qiáng)度 任何知識都是相互聯(lián)系的，只有將概念放到一個概念體系中，才能很好地發(fā)揮概念的價值，解決綜合性問題。數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，具有系統(tǒng)性和連貫性，新舊知識聯(lián)系密切，對舊知識的理解和記憶，為學(xué)好新內(nèi)容提供很大的幫助。因此，在講授新概念時，要密切聯(lián)系與它有關(guān)的舊概念。例如，“一元一次方程”的概念是建立在“元”、“次”和“方程”這三個概念基礎(chǔ)上的，只要抓住“一元一次方程”的本質(zhì)，以后再講授“一元一次方程”、“一元一次不等式”等概念時，教師只要引導(dǎo)學(xué)生回憶已學(xué)過的有關(guān)知識，學(xué)生就會觸類旁通，達(dá)到事半功倍的效果。 對于容易混淆或難以理解的概念，可以通過分析、比較的方法，對某一類概念的相關(guān)聯(lián)系及區(qū)別進(jìn)行分析。例如，矩形和菱形，它們既有聯(lián)系，又有區(qū)別。聯(lián)系是：都是平行四邊形，因而都具有平行四邊形的性質(zhì)。區(qū)別是：矩形四個角都是直角，而菱形四條邊都相