1、線性代數的主要知識點第一部分行列式概念：1. n階行列式展開式的特點：共有 n!項，正負各半; 每項有n個元素相乘，且覆蓋所有的行與列； 每一項的符號為（1）（行）（列）2. 元素的余子式以及代數余子式Aj （ 1）i jMj3. 行列式的性質計算方法：1. 對角線法則2. 行列式的按行（列）展開（另有異乘變零定理）第二部分矩陣1.矩陣的乘積注意：不滿足交換率（一般情況下AB BA ）不滿足消去率（由AB=AC不能得出B=C）由AB=0不能得出 A=0或B=0若AB=BA則稱A與B是可換矩陣2 矩陣的轉置滿足的法則：（A B）T AT BT , （kA）T kAT ,（AB）T BTAT3矩陣

2、的多項式設（x） a。 a1xanxn, A為n階方陣，則（A） aoE a1Aan An稱為A 的n次多項式。對與對角矩陣有關的多項式有結論如下：1n（1）如果 A P P ，則（A） a0E a1AanA1Pa°EPPa1 P（2）若diag （aa2， an），則4逆矩陣：n階矩陣A, B，若ABn階矩陣A可逆 A 0 ；n 11Pan P = P ( )P 1()diag( (a(a?),(an)BA E，貝U A,B互為逆矩陣。r（A） n （或表示為R（A） n）即A為滿秩矩陣;A與E等價；A可以表示成若干個初等矩陣的乘積;A的列（行）向量組線性無關；A的所有的特征值均不

3、等于零求法：伴隨矩陣法:初等變換法：A,E初等行變換E, A 1或A初等列變換 Ee是單位矩陣EA 1性質：(1)矩陣A可逆，則A的逆矩陣是唯一的(2)設A是n階矩陣，則有下列結論 若A可逆，則A 1也可逆，且(A 1 A 若A可逆，則AT也可逆，且(At) 1 (A 1)T1 若A可逆，數k 0，則kA可逆，且(kA) 11k 若AB為同階矩陣且均可逆，則 AB也可逆，且(AB) 1 B 1A 15.方陣A的行列式：滿足下述運算規律(設 A,B為n階方陣， 為數)AtAA nA AB A B6伴隨矩陣：行列式A的各個元素的代數余子式州所構成的如下的矩陣A11An1A12A2nA12，稱為矩陣

4、 A的伴隨矩陣(注意行與列的標記的不同)AnAnn伴隨矩陣具有性質：AA* A* A AE常見的公式有： A*An 1A* A A 1(A*)1 *aA (A)(A 1)等7初等矩陣：由單位矩陣 E經過一次初等變換后所得的矩陣稱為初等矩陣。 三種初等變換對應著三種初等矩陣，分別記為：(1) E(i,j)(互換 E 的第 i、j 列) (2) E(i(k) (E的第i行乘以不為零的數 k ) (3) E(ij (k)(把E的j行的k倍加到第i行上)初等矩陣具有下述性質：初等矩陣的轉置仍為初等矩陣；初等矩陣都是可逆矩陣，其逆矩陣仍為初等矩陣且E(i,j) 1 E(i, j)、Ei(k) 1 Ei(

5、k 1)、Eij (k) 1 Ei,j( k);初等矩陣的行列式分別是-1, k, 1。&矩陣的初等變換：初等行變換：下面三種變換稱為矩陣的初等行變換： 對調兩行；記為ri rj對換第i與j行 以數k 0乘某一行中的所有元素；記為ri k第i行乘k 把某一行所有元素的 k倍加到另一行對應的元素上去；記為ri krj第j行k倍加到第i行上。把定義中矩陣的行換成列，即得矩陣的初等列變換的定義矩陣的初等行變換和初等列變換統稱矩陣初等變換矩陣的初等變換與初等矩陣的關系：設A是一個m n矩陣，則 對A施行一次初等行變換，相當于在 A的左邊乘以相應的m階初等矩陣； 對A施行一次初等列變換，相當于在

6、 A的右邊乘以相應的n階初等矩陣9矩陣的等價：如果矩陣 A經過有限次初等變換變成矩陣 B,就稱矩陣A與矩陣B等價。且若矩陣A經過有限次初等行變換變成矩陣B,就稱矩陣A與 B行等價；若僅經過初等列變換，就稱 A與 B列等價。設A, B為m n矩陣 A與B行等價m階可逆矩陣P，使得PA B A與B列等價n階可逆矩陣Q，使得AQ BA, B等價m階可逆矩陣P , n階可逆矩陣Q,使得PAQB利用矩陣的初等變換解矩陣方程AXB ,X A 1B，可以：(A B)初等行變換(E A1B)XAB ,1TTX BA ，可以：(A B )初等行變換(Ext)，從而解出X。10矩陣的秩：非零子式的最高階數。記為r

7、(A)或R (A)求法：A 初等行變換行階梯形矩陣B, R (A) =B的非零行的行數。相關公式：若 A是m n矩陣，則0 R(A) minn,m R(AT) R(A) A B R(A) = R(B) 若設A為m n矩陣，Pm ,Qn均為可逆矩陣，則r(A) r(PAQ) ，則 maxR(A), R(B) R(A,B) R(A) R(B)若A,B均為m n矩陣，則R(A B) R(A) R(B)11.分塊矩陣：主要記住：(1) 分塊對角矩陣：設 A為n階方程，若 A的分塊矩陣只有在主對角線上有非零子塊,Al其余子塊都為零矩陣，且非零子塊都是方塊，即其行列式與逆矩陣具有下述性質:A|A2AsA1

8、若A0, (i 1,2,s)，則 A 0 ,故 A 可逆,1并有：A.A21設A是m階方陣，B是n階方陣”且A a , Bb,則mn1 abA另有：(2)設有分塊矩陣HCB，其中A,B分別為m階、n階可逆矩陣，則矩陣 H可逆且H 1 A 1A 1CB 1B 1(3)設有分塊矩陣其中代B分別為m階、n階可逆矩陣，則矩陣H可逆且H 1A1B 1CA第三部分向量組1.線性組合：給定向量組A:2, m，對于任意一組實數，稱向量k1 1 k2 2km m為向量組的一個線性組合，k1, k2,km稱為該線性組合的系數。給定向量組A:1 , 2 , m和向量，如果存在一組數則向量 是向量組A的線性組合，也稱

9、向量可以由向量組A線性表示向量 能由向量組A線性表示方程組x1 1X2 2xm m有解矩陣A=(m)的秩等于矩陣B=( 1, 2)的秩2.等價：設有兩個向量組 A2 , m 及 B：s ,若B中的每個向量都可以由向量組A線性表示，則稱向量組B能由向量組A線性表示。若向量組A與向量組B能互相線性表示，則稱這兩個向量組等價。記為:(1 ,2 , s)主要結論：B的行向量組等價;B的列向量組等價km m 0 則稱向量組A是線性相關的，否則稱為 線性無關，(1)矩陣A與B若行等價，則A的行向量組與 若矩陣A與B若列等價，則A的列向量組與(2)向量組 B : b1,b2,b能由向量組A： a1, a2,

10、am線性表示存在矩陣K，使得B=AK方程AX=B有解R(A) R(代B)(3)向量組A： a1,a2,am與向量組B: b1, b2,b等價R(A)R(B) R(A, B),其中，A,B是向量組構成的矩陣(4)向量組B : b1,b2,b能由向量組A： a1,a2,a m線性表示，則R( b1,b2,bi) R( a1,a2,am)3線性相關與線性無關對向量組A:1 , 2, ,m，如果存在不全為零的一組數 k1,k2,km ?使得：ki ik2 2也就是說當且僅當k1,k2, ,km都是零時才能使(川)式成立，則1, 2, , m線性無關。 主要結論：(1)向量組 1, 2, , m線性相關

11、齊次線性方程組有非零解它所構成的矩陣 A(1,2, m )的秩小于m ；冋樣線性無關僅有零解R(A)(2)n個n維向量 1a11 , a12 ,a1n, 2a11a12a1 n線性相關行列式a21a22a2n0,an1an2ann(3) m個n維向量，線性相關；當維數 nm時，向量組m(a21 , a22 ,a2n)n( an1, an2 ,ann )線性無關行列式0定線性相關。特別地，n 1個n維向量必（4）若向量組A：1, 2, m線性相關 向量組B： 1,2, m, m 1 一定線性相關；反之，向量組 B 若線性無關向量組 A 線性無關或敘述為：整體無關，則任意部分無關；只要有一部分相關

12、，則整體相關；（5 ）若向量組A： 1, 2, , m線性無關，而向量組 B： 1, 2, , m，線性相關 必能由向量組 A線性表示，且表達式唯一（6） 若r維向量組1, 2, , m線性無關，則在每一個向量上再添加n r個分量所得到1 1 1的n維向量組1 , 2 , m也是線性無關的（7） 向量組A 1, 2, , m線性相關其中至少有一個向量是其余 m 1個向量的線性 組合 ；線性無關 每一個向量都不能由其余向量線性表示。（8） 如果向量組A： 1, 2, , s可由向量組B： 1, 2, , t線性表示，并且s t 向量組A：1, 2, s線性相關；（逆否命題：A : 1, 2, ,

13、 s線性無關且可由向量組 B 1, 2, , t線性表示s t ）4最大（極大）線性無關組：設有向量組A,如果在A中能選出r個向量1, 2, , r ,滿足（ 1）向量組 A0 ：1, 2, r 線性無關；（2）向量組A中任意r 1個向量（如果 A中有r 1個向量的話）都是線性相關的那么稱1,2, r是向量組A的一個最大（極大）線性無關部分組條件（2）也可以改為：向量組 A中任意一個向量都可以由1, 2, , r線性表示，結論 ： 一個向量組的極大無關組是它的線性無關部分組中個數最多的那一個 一個向量組的極大無關組不是唯一的 向量組的任意一個極大無關組所含向量的個數是唯一確定的 若向量組1,

14、2, s線性無關，其極大無關組就是其本身 任一向量組和它的極大無關組等價 向量組1, 2, s中任意兩個極大無關組等價5向量組的秩：向量組1, 2, , s中極大無關組所含向量的個數 r稱為向量組A的秩。記為： r （1,2, s）主要結論：（1）如果向量組 1, 2, s與向量組1, 2, t等價，則它們的秩相等(2) 如果向量組1, 2, , s可由向量組1, 2, , t線性表示，且r( 1, 2, , s) r , r( 1, 2, , t) p ，則 r p(3) 矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩6向量空間：設 v為n維向量的集合，如果集合 v非空，且集合 v對于

15、加法及乘數兩種運 算封閉，那么就稱 v為向量空間。(1) 設，是兩個已知的n維向量，則集合 V x, R 是一個向量空間。稱為由向量，所生成的向量空間。(2) 向量空間的基 -設V為向量空間，如果 r個向量 1, 2, r V，且滿足1, 2, , r線性無關； V中任何一個向量都可以由1, 2, , r線性表示則稱向量組 1, 2, , r是向量空間V的一個基，r稱為向量空間V的維數，并稱V為r維 向量空間。(3)在R中取疋一個基a1 ,a2,a3，再取一個新基b1,b2,b3，設A ( a1,a2,a3),1B( b1,b2,b3)，則 P = AB稱為從舊基到新基的過渡矩陣7.向量的內積

16、：X1y1x2(1)設有n維向量x,y2令y，令 x, yX°1X22Xn ,Xnynx, y稱為向量x與y的內積.當x與y都是列向量時，有x, y xT y .(2)內積具有下列性質(其中X, y,z為n維向量，為實數)： x,y y,x ; x,yx,y ; x y,z x, z y,z.當 x o 時，x,x o ；當 X o 時，X, X o施瓦茨(Schwarz)不等式2X, yX,x y, y 向量的長度：|XI = Jx, X'x12x22xn2 , IX稱為n維向量x的長度。(范數) 向量的正交-當x, y 0時，稱向量x與y正交.(5)正交向量組-兩兩正交的

17、非零向量組稱為正交向量組 正交向量組的性質若n維向量r是一組兩兩正交的非零向量組，則r線性無關.(6)施密特(Schimidt)正交化過程：設 Q,a2, ar是線性無關的:取 bai ； b2a2込bi，br ar也bi,bibi,bbib2,arb2,b2b2br i ,a r , b bbr i . br i,br ibi ,b2, ,br兩兩正交，且bi,b2, ,br與ai,a2, a等價第四部分線性方程組1.解的判定：3iiXiQ2X2a1n xnbi線性方程組b2其系數矩陣與增廣矩陣分別記為:A ajamiXiami2X2amnXnbmaiiai2ainCiai2ai nbia2

18、ia22a2n_a2ia22a2nb2,A 或(A,b )=amiam2amnamiam2amnbma2iXi822X2mna2n Xn則方程組的矩陣表示形式為:Axaiiaina2ia2nbib2若記：i，則方程組的向量形式為:a miam2a mnbmXi iX2 2Xn判定定理:n元非齊次線性方程組nXb有解r(A)r(A)且有唯一解r(A) r(A)，有無窮多解r(A)r(A) n對應的齊次線性方程組821 Xiami Xia2X2ai n Xn822 X2a2n Xn稱謂原方程組的導出組。ami2X2amn Xn有結論：n元齊次線性方程組僅有零解系數矩陣的秩r(A) nn元齊次線性方程組有非零解系數矩陣的秩r(A) n若系數矩陣A為方陣，則有：n元齊次線性方程組僅有零解n元齊次線性方程組有非零解