1、相交線，垂線（提高）知識講解撰稿：孫景艷審稿：趙煒【學習目標】1.了解兩直線相交所成的角的位置和大小關系，理解鄰補角和對頂角概念，掌握對頂角的性質；2.理解垂直作為兩條直線相交的特殊情形，掌握垂直的定義及性質；3.理解點到直線的距離的概念，并會度量點到直線的距離；4.能依據對頂角、鄰補角及垂直的概念與性質，進行簡單的計算.【要點梳理】知識點一、鄰補角與對頂角1鄰補角：如果兩個角有一條公共邊，并且它們的另一邊互為反向延長線，那么具有這種關系的兩個角叫做互為鄰補角要點詮釋：(1)鄰補角的定義既包含了位置關系，又包含了數量關系：“鄰”指的是位置相鄰，“補”指的是兩個角的和為180°(2)鄰

2、補角是成對出現的，而且是“互為”鄰補角(3)互為鄰補角的兩個角一定互補，但互補的兩個角不一定互為鄰補角(4)鄰補角滿足的條件：有公共頂點；有一條公共邊；另一邊互為反向延長線.2.對頂角及性質：（1）定義：由兩條直線相交構成的四個角中，有公共頂點沒有公共邊(相對)的兩個角，互為對頂角（2）性質：對頂角相等要點詮釋：(1)由定義可知只有兩條直線相交時，才能產生對頂角(2)對頂角滿足的條件：相等的兩個角；有公共頂點且一角的兩邊是另一角兩邊的反向延長線.3. 鄰補角與對頂角對比：角的名稱特征性 質相 同 點不 同 點對頂角兩條直線相交形成的角；有一個公共頂點；沒有公共邊.對頂角相等.都是兩條直線相交而

3、成的角；都有一個公共頂點；都是成對出現的.有無公共邊；兩直線相交時，對頂角只有2對；鄰補角有4對.鄰補角兩條直線相交而成；有一個公共頂點；有一條公共邊.鄰補角互補.【高清課堂：相交線403101 兩條直線垂直】知識點二、垂線1垂線的定義：兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫垂足要點詮釋：(1)記法：直線a與b垂直，記作：；直線AB和CD垂直于點O，記作：ABCD于點O.(2)垂直的定義具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性質，即有：CDAB2垂線的畫法：過一點畫已知直線的垂線，可通過直角三角板來畫，具體方

4、法是使直角三角板的一條直角邊和已知直線重合，沿直線左右移動三角板，使另一條直角邊經過已知點，沿此直角邊畫直線，則所畫直線就為已知直線的垂線(如圖所示)要點詮釋： (1)如果過一點畫已知射線或線段的垂線時，指的是它所在直線的垂線，垂足可能在射線的反向延長線上，也可能在線段的延長線上(2)過直線外一點作已知直線的垂線，這點與垂足間的線段為垂線段3垂線的性質：（1）在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直（2）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短簡單說成：垂線段最短要點詮釋：（1）性質（1）成立的前提是在“同一平面內”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”說明了垂線

5、的存在性和唯一性（2）性質（2）是“連接直線外一點和直線上各點的所有線段中，垂線段最短”實際上，連接直線外一點和直線上各點的線段有無數條，但只有一條最短，即垂線段最短在實際問題中經常應用其“最短性”解決問題4點到直線的距離：定義：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離要點詮釋：（1） 點到直線的距離是垂線段的長度，是一個數量，不能說垂線段是距離；（2）求點到直線的距離時，要從已知條件中找出垂線段或畫出垂線段，然后計算或度量垂線段的長度【典型例題】類型一、鄰補角與對頂角1如圖所示，AB和CD相交于點O，OM平分AOC，ON平分BOD，試說明OM和ON成一條直線。【答案與解析】解：

6、OM平分AOC，ON平分BOD（已知），AOC=2AOM，BOD=2BON（角平分線定義）。AOC=BOD（對頂角相等），AOM=BON（等量代換）。AON+BON=180°（鄰補角定義），MON=AON+AOM=180°（等量代換），OM和ON共線。【總結升華】要得出OM和ON成一條直線，就要說明MON是平角，從圖中可以看出AON是MON和平角AOB的公共部分，所以只要證明它們的非公共部分相等，即AOM和BON相等，本題得證。2.如圖所示，已知直線AB、CD相交于點O，OE平分BOD，OF平分COE，2:14:l，求【答案與解析】解：設1x，則24xOE平分BOD，BOD

7、212x2+BOD180°，即4x+2x180°， x30°DOE+COE180°，COE150°又 OF平分COE，COFCOE75°AOCBOD60°，AOFAOC+COF60°+75°135°【總結升華】涉及有比值的題設條件，如a:bm:n，在解題時設，這是常用的用方程思想解題的方法舉一反三：【變式】已知的補角是一個銳角，有3人在計算時的答案分別是32°、87°、58°，其中只有一個答案是正確的，求的度數【答案】解法1：的補角是一個銳角，是一個鈍角，即90&#

8、176;180°，由已知三人計算出的答案分別為32°、87°、58°，可知解法2：由題意可知是一個鈍角，即如果，那么，不滿足；如果，那么，不滿足；如果，那么，滿足，所以此人計算的答案正確所以【總結升華】在處理數學問題中的誤選答案問題時，常采用驗算法，如本題的解法2：先利用假設求出相應的的度數，再驗證是否正確3.（1）如圖（1），已知直線a、b相交于點 O，則（1）圖中共有幾對對頂角?幾對鄰補角？（2）如圖（2），已知直線a、b、c、d是經過點O的四條直線，則圖（2）中共有幾對對頂角（不含平角）?幾對鄰補角？【答案與解析】解：（1）2對對頂角，4對鄰補角。

9、（2）將圖（2）拆分為下圖：通過觀察圖形不難發現a、b、c、d四條直線兩兩相交，最多有6個交點，而由（1）知：每個交點處有兩對對頂角，有四對鄰補角，對頂角的對數：（對）；鄰補角的對數:(對)答：圖中共有12對對頂角，24對鄰補角【總結升華】本例分析問題的方法是通過直線的移動，將直線相交于一點轉化為直線兩兩相交這樣移動，可將抽象的問題直觀化因為n條直線兩兩相交，最多有個交點每個交點處有兩組對頂角，故n條直線相交于一點共有n(n-1)對對頂角，2n(n-1)對鄰補角。舉一反三：【變式】若有180條直線相交于一點，則可形成_對對頂角（不含平角）【答案】32220類型二、垂線4下列語句：兩條直線相交，

10、若其中一個交角是直角，那么這兩條直線垂直。一條直線的垂線有無數條。空間內過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；兩條直線相交成四個角，如果有兩個角相等，那么這兩條直線垂直。其中正確的是。【答案】【解析】解此題必須嚴格按照垂線的定義“兩條直線相交成直角”及垂線的性質“過平面內任意一點，即過直線上或直線外任意一點，有且僅有一條直線與已知直線垂直”來作判斷。正確；正確，過任意一點都可以作；對于只有在“同一平面內”才成立，因為空間內，當這點在直線上時，過這點并非只有一條直線與已知直線垂直，故錯誤；錯誤，必須是兩個鄰角相等，如下圖：【總結升華】應用垂線的定義及垂線的性質時要把握其中的本質要求：關于垂線的定

11、義：要判斷兩條直線是否垂直，只需看它們相交所成的四個角中，是否有一個角是直角，兩條線段垂直，是指這兩條線段所在的直線垂直；關于垂線的性質：平面內，過任意一點有且僅有一條直線與已知直線垂直，這條性質說明了已知直線的垂線的“存在性”和“唯一性”，尤其值得注意的是性質中的“任意一點”可能在這條已知直線上，也可能在這條已知直線外。舉一反三：【變式】在鐵路旁有一城鎮，現打算從城鎮修一條和鐵路垂直的道路，這種方案是唯一的，是因為()A經過兩點有且只有一條直線B兩點之問的所有連線中，線段最短C在同一平面內，兩直線同時垂直同一條直線，則這兩直線也互相垂直D在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直【答

12、案】D 提示：注意區分直線性質與垂線性質 5.如圖，直線AB與CD相交于點O，OECD，OFAB，DOF65°，求BOE與AOC的度數。【答案與解析】解：OFAB，OECD(已知)BOFDOE90°(垂直定義)BODBOFDOF90°65°25°BOEDOEBOD90°25°65°。AOCAOBBOECOE180°65°90°25°。【總結升華】利用垂直的定義，及同一條直線上的三點組成一個平角可以幫助我們求解圖中某些角的大小。【高清課堂：相交線403101 例4變式（1）】舉

13、一反三：【變式】如圖，若OM平分AOB，且OM ON，求證：ON平分BOC.【答案】解：如圖，OM平分AOB1=2又OM ON3=90°2由圖可得：4=180°223=180°22 （90°2）=90°23=4ON平分BOC6.如圖所示，一輛汽車在直線形公路AB上由A向B行駛，M、N分別是位于公路兩側的村莊(1)設汽車行駛到公路AB上點P位置時，距離村莊M最近；行駛到點Q位置時，距離村莊N最近，請在圖中的公路AB上分別畫出點P和點Q的位置(保留作圖痕跡)(2)當汽車從A出發向B行駛時，在公路AB的哪一段路上距離M、N兩村莊都越來越近?在哪一段路上距離村莊N越來越近，而離村莊M越來越遠?(分別用文字表述你的結論，不必說明)【答案與解析】解：(1)過點M作MPAB，垂足為P，過點N作NQAB，垂足為Q，點P、Q就是要畫的兩點，如圖所示(2)當汽