1、第 5 章 第 1 課時 直線與橢圓位置關系(一)1、掌握直線與橢圓位置關系各種處理方法2、掌握弦長問題、中點弦問題、面積問題、定點定值問題、最值范圍等問題3、進一步體會數形結合的思想方法自主學習回歸教材：1、研究直線與橢圓的方法 判別式 位置直線（幾何）轉化 直線方程 消y px2+qx+r=0（q0） 求根公式 交點橢圓 橢圓方程 韋達定理 弦長、弦中點等2、弦長的計算設斜率為k(k0)的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB|x1x2| ·|y1y2|.3、中點弦問題5、兩種常見設變量的方法設點法設k法課前自測題1、已知直線l過橢圓8x2

2、9y272的一個焦點，斜率為2，l與橢圓相交于M、N兩點，則弦|MN|=_破題切入點根據條件寫出直線l的方程與橢圓方程聯立，用弦長公式求出解由得11x218x90.由根與系數的關系，得xMxN，xM·xN.由弦長公式|MN|xMxN|·.2、已知點（4，2）是直線l被橢圓所截得的弦中點，則l方程是_3、若橢圓mx2ny21 (m>0，n>0)與直線y1x交于A、B兩點，過原點與線段AB的中點的連線斜率為，則的值為_4、橢圓1上任意一點P，M(0，6)，N(0，6)在橢圓上，則直線PM、PN的斜率乘積為_若為橢圓C：1(a>b>0)上任意兩個關于原點對

3、稱的點, 點為橢圓上異于的任意點，則直線PM、PN的斜率乘積為_證明設P(x，y)，則有1，得.又kPM(x0)，kPN(x0)，kPM·kPN·.故直線PM、PN的斜率之積為一定值5、過橢圓的上頂點A作兩條直線分別交橢圓于點B，C（不同于點A），且它們的斜率分別為k1，k2，若k1k2 = - 4，則直線BC過定點_例題講練直線過定點（點在橢圓上）例1、已知橢圓1(a>b>0)的離心率為，且過點A(0,1)(1)求橢圓的方程；(2)過點A作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于M，N兩點求證：直線MN恒過定點解：(1)由題意知，e，b1，所以a2c21，解得a2，所以

4、橢圓C的標準方程為y21.(2)設直線AM的方程為ykx1.聯立方程組得(4k21)x28kx0，解得x1，x20，所以xM，yM.同理可得xN，yN.則kMP，kNP，所以kMPkNP，故直線MN恒過定點P.變式1、已知橢圓兩焦點、在軸上，短軸長為，離心率為，是橢圓在第一象限弧上一點，且，過P作關于直線F1P對稱的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點。 （1）求P點坐標；2）求證直線AB的斜率為定值；（1）設橢圓方程為，由題意可得，方程為，設則點在曲線上，則 從而，得，則點的坐標為（2）由（1）知軸，直線PA、PB斜率互為相反數，設PB斜率為，則PB的直線方程為： 由得設則 同理可得，則

5、 所以：AB的斜率為定值變式2、如圖，在直角坐標系xOy中，已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，過點A(a，0)與B(0，b)的直線與原點的距離為 ，又有直線yx與橢圓C交于D，E兩點，過D點作斜率為k的直線l1直線l1與橢圓C的另一個交點為P，與直線x4的交點為Q，過Q點作直線EP的垂線l2（1）求橢圓的方程；（2）求證：直線l2恒過點QBADOEPl1l2yx:直線過定點（點不在橢圓上）例2、如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的離心率為，且右焦點F到左準線l的距離為3. （1）求橢圓的標準方程； （2）過F的直線與橢圓交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點P，C，

6、若PC=2AB，求直線AB的方程.【答案】（1）（2）或變式1、已知橢圓，其中心為O，A,B是橢圓上的兩點，連接OA，OB，它們的斜率分別為（1）若，求證：為定值。（2）若 求證：的定值 求證：原點O到AB的距離為定值變式2、如圖，橢圓經過點，且離心率為.(I)求橢圓的方程；(II)經過點，且斜率為的直線與橢圓交于不同兩點（均異于點），證明：直線與的斜率之和為2.【答案】(I) ； (II)證明略，詳見解析.第 5 章 第 1 課時 【課后檢測與評估作業】1.已知橢圓y21及點B(0，2)，過左焦點F1與B的直線交橢圓于C、D兩點，F2為其右焦點，求CDF2的面積解析F1(1,0)直線CD方程

7、為y2x2，由得9x216x60，而>0，設C(x1，y1)，D(x2，y2)，則|CD|，|CD|.F2到直線DC的距離d，故SCDF2|CD|·d.9設橢圓C：1(ab0)過點(0,4)，離心率為.(1)求C的方程；(2)求過點(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的中點坐標解：(1)將(0,4)代入橢圓C的方程得1，b4.又e得，即1，a5，C的方程為1.(2)過點(3,0)且斜率為的直線方程為y(x3)，設直線與C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線方程y(x3)代入C的方程，得1，即x23x80.解得x1，x2，AB的中點坐標，(x1x26).即中點為（，

8、）.5設橢圓1(a>b>0)的左，右焦點分別為F1，F2.點P(a，b)滿足PF2F1F2.(1)求橢圓的離心率e.(2)設直線PF2與橢圓相交于A，B兩點若直線PF2與圓(x1)2(y)216相交于M，N兩點，且MNAB，求橢圓的方程審題視角第(1)問由PF2F1F2建立關于a、c的方程；第(2)問可以求出點A、B的坐標或利用根與系數的關系求AB均可，再利用圓的知識求解規范解答解(1)設F1(c,0)，F2(c,0)(c>0)，因為PF2F1F2，所以2c.整理得2()210，得1(舍)，或.所以e.4分(2)由(1)知a2c，bc，可得橢圓方程為3x24y212c2，直線

9、PF2的方程為y(xc)A，B兩點的坐標滿足方程組消去y并整理，得5x28cx0.解得x10，x2c.8分得方程組的解不妨設A(c，c)，B(0，c)，所以ABc.于是MNAB2c.12分圓心(1，)到直線PF2的距離d.因為d2()242，所以(2c)2c216.整理得7c212c520，得c(舍)，或c2.所以橢圓方程為1.16分*17. 如圖，圓O與離心率為的橢圓T：1(a>b>0)相切于點M(0,1)(1)求橢圓T與圓O的方程；(2)過點M引兩條互相垂直的直線l1，l2與兩曲線分別交于點A，C和點B，D(均不重合)若P為橢圓上任意一點，記點P到兩直線的距離分別為d1，d2，

10、求dd的最大值；若3·4·，求直線l1與l2的方程解：(1)由題意知，b1，c2b2a2，解得a2，b1，c，故橢圓的方程為y21，圓O的方程為x2y21.(2)設P(x0，y0)因為l1l2，則ddPM2x(y01)2，因為y1.所以dd44y(y01)232.因為1y01，所以當y0時，dd取得最大值，此時點P.設直線l1的方程為ykx1，由解得A；由解得C.將A，C中的k置換成可得B，D，所以，.由3·4·，得，解得k±，所以直線l1的方程為yx1，l2的方程為yx1或直線l1的方程為yx1，l2的方程為yx1.設橢圓（）的右焦點為，右頂

11、點為，已知，其中 為原點，為橢圓的離心率.（）求橢圓的方程；（）設過點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點，若，且，求直線的斜率的取值范圍.【解析】（2）（）解：設直線的斜率為（），則直線的方程為.設，由方程組，消去，整理得.解得，或，由題意得，從而.由（）知，設，有，.由，得，所以，解得.因此直線的方程為.設，由方程組消去，解得.在中，即，化簡得，即，解得或.所以，直線的斜率的取值范圍為.例5.橢圓的中心在原點O，短軸長為，左焦點為，直線與軸交于點A，且，過點A的直線與橢圓相交于P，Q兩點.（1）求橢圓的方程.（2）若，求直線PQ的方程. 解：（1）設，則，解得4，c1，所以橢圓方程為。4分（2）設PQ的方程為因為PFQF，所以，即，8分聯立得消去y，得，10分由，得11分所以.12分代入（*）式化簡，得8k21，所以則直線PQ的方程為.14分已知橢圓的兩個焦點分別為，點與橢圓短軸的兩個端點的連線相互垂直