1、專題四：如何構建相遇問題的數學模型執教     劉  雯      東營市實驗學校設計     魏瑞霞      東營市實驗學校 本專題研究的基本理念：這里的“數學應用問題”是指運用數學知識和方法解決生活的實際問題。1建立數學模型是解決數學應用問題的本質。數學建模是20世紀下半葉，隨著計算機技術的發展而形成的數學思想方法，是數學應用問題的基本模式。我國著名教育專家張奠宙教授指出：“解決數學應用問題

2、的本質是數學建模。”數學課程標準明確指出：“義務教育階段的數學課程不僅要考慮學生自身的特點，更要遵循學生學習數學的心理規律，強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將數學實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程”。所謂數學模型，是指現實世界的某一事物系統，為了一個特定的目的，根據事物系統特有的內在規律，采用形式化的數學語言或數學符號，概括或近似地表達出來的一種數學結構。簡單地說，數學模型就是對實際問題的一種數學表述，是對現實原型的概括，是數學基礎知識與數學實際應用之間的橋梁。小學階段的數學建模通常是從實際生活原型或提供的實際背景出發，充分運用觀察與實驗、操作與比較、分析與綜合、抽象與概

3、括等思維方式，去掉非本質的東西，用數學語言或數學符號表述出數學模型，再運用數學模型解決一些實際問題。簡單地說，就是將當前的問題轉化為數學模型，然后用數學的方法去求解。數學課程標準解讀中指出：數學建模的建立過程大致如下框圖：              由此可知，數學建模的過程即解決問題的過程，解決問題是數學建模的載體，數學建模是解決問題的本質。在具體的教學實踐中，我們根據小學生的認知規律、年齡特點和教學內容的特征，遵照“問題情境建立模型應用拓展”的基本步驟，設計了構建

4、應用問題的數學模型的基本思路：創設問題情境，發現提出問題建立模型準備；自主整理信息，探究解決問題建立數學模型；解釋應用拓展，體驗數學價值應用數學模型。2落實兩個轉化是建立數學應用問題模型的途徑。數學建模的過程實質上就是解決問題的過程。我國著名的小學數學教育專家周玉仁教授指出：解決問題是一個系統工程。小學生解決問題的過程，實質上是完成認識上的兩個轉化：第一個轉化是從紛雜的實際問題中，篩選出有用信息，從而抽象成數學問題從生活原型中抽象出數學問題是“數學建模”的起點；第二個轉化是根據已抽象出來的數學問題，全面分析其中的數量關系，探索出解決問題的方法并求解，必要時回顧反思解決問題的過程分析數學問題，建

5、立數學模型是“數學建模”的核心。解決問題的“兩個轉化”相輔相成，缺一不可。反思傳統“應用題”的教學不難發現：過去教學特別重視第二個轉化，引導學生分析條件和問題間的關系，根據數量關系列式解答并檢驗這是解決數學應用問題必須具備的基本能力。但是，最大的缺失是忽視第一個轉化，問題采用文字形式由教材或教師直接出示，學生搜集、整理、加工信息的能力，及發現問題、提出問題的能力薄弱這也是我國傳統應用題教學中的一大弊病。鑒于此，在教學數學應用問題時，我們既重視“解決問題”的第一個轉化：從學生的生活實際出發，創設與學生的日常生活緊密聯系的上學情境，且采用動畫形式呈現，學生在現實而有趣的、富有挑戰性的問題情境的吸引

6、下，主動發現問題、提出問題，進而提煉生成完整的數學問題，幫助學生順利完成解決問題的第一個轉化；同時，我們也重視“解決問題”的第二個轉化：即放手讓學生自主整理信息理清數量關系；借助直觀圖形探明解題思路；明確解題方法，獨立列式解答自主建構應用問題的數學模型，幫助學生順利完成解決問題的第二個轉化。這樣，同時重視并扎實完成“兩個轉化”，讓學生有效經歷“解決問題”的全過程，從而大面積提高學生解決問題的能力，達到增強解決問題實效性的目的。3獲得數學思想方法是構建數學應用問題模型的核心。數學課程標準在課程總體目標中明確指出：通過義務教育階段的數學學習，學生能夠獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學

7、知識（包括數學事實、數學活動經驗）以及基本的數學思想方法和必需的應用技能；初步學會運用數學的思維方式去觀察、分析現實社會，去解決日常生活中和其他學科學習中的問題，增強應用數學的意識。孔企平先生在小學數學課程與教學論一書中也指出：解決問題活動的價值不只是獲得具體的結論，主要價值在于使學生初步學會從數學的角度發現問題、提出問題和解決問題；綜合運用數學知識方法解決簡單的實際問題；獲得分析和解決問題的一些基本方法，并在此基礎上形成解決問題的基本策略，掌握其思想方法。因此，教學數學應用問題時，我們著眼于學生的發展需要，根據課程標準的要求，設計了一明一暗兩條線：明線是指數學基礎知識和基本技能，即結合解決應

8、用問題，理解運算順序，掌握運算方法，并應用解決實際問題；暗線是指數學思想方法，即在解決應用問題的過程中，學生運用并形成的模擬與實驗、操作與畫圖、摘錄與列表、分類與比較、綜合與分析等解決問題的一些基本方法策略，及數形結合、數學模型等數學思想方法。這樣，在落實數學雙基教學的過程中突出數學思想方法的教學，并將數學思想方法的教學有機地融合于基礎知識和基本技能的教學之中，實現數學思想方法教學與雙基教學的和諧統一。  本課題教與學的內容、目標及設計： 【教學內容】：青島版義務教育課程標準實驗教科書·小學數學四年級上冊第46頁。【內容簡析】：相遇問題隸屬于行程問題的范疇，是一種典型的數學

9、應用問題。相遇問題的學習是建立在學生已學“路程、時間、速度”的概念及其數量關系的基礎上，從研究一個物體的運動情況擴展到研究兩個物體的運動情況展開的。同時，學生學會解決兩、三步簡單實際問題的基礎知識、基本技能、解題經驗、方法策略等，都為構建相遇問題的數學模型提供了重要基礎。是今后進一步學習其它行程問題、工程問題等問題的基礎。【教學目標】： 1借助生活事例，運用模擬表演策略幫助學生理解“兩個物體”、“兩個地方”、“同時出發”、“相對而行”、“最后相遇”等關鍵詞的含義，逐步提煉形成相遇問題，理解相遇問題的基本結構特征；2結合具體情境，運用摘錄、表格、畫圖等策略引導學生整理信息、分析相遇問題的數量關系

10、，初步構建起相遇問題的數學模型，進而自主解決問題；3在解決問題的過程中，引導學生親身經歷“發現問題提出問題研究問題解決問題”的過程，形成解決問題的策略，積累解決問題的活動經驗，增強學生的數學應用意識及運用知識方法解決簡單實際問題的能力。【教學重點】：用畫線段圖的方法分析“相遇問題”的數量關系，構建數學模型；【教學難點】：理解相遇問題的基本特征，構建“速度和×時間=總路程”這一數學模型；【教具準備】：多媒體課件；【教學設計過程】：一、借助身邊事例，復習引入新知喚醒舊知模型，激活認知經驗。1教師出示問題，學生獨立解決，并回憶其數量關系。教師：在我們的身邊、在我們的生活中處處都有數學。如：

11、王明步行去上學，每分鐘走70米,5分鐘到達學校。王明家到學校相距多少米？ 2學生獨立解決后，集體反饋意見，并揭示其數量關系。出示：速度×時間=路程3教師小結，引入新知。教師：這是過去學習的一個物體運動的問題，我們今天一來起研究兩個物體運動的問題。【設計意圖：從學生的生活實際出發，設計一個與現實生活緊密聯系的上學情境，從學生的最近發展區出發，喚起學生對舊知模型“速度×時間=路程”的回憶，既激活學生已有的認知經驗，了解學生的學習起點，又幫助學生準確把握新舊問題的銜接點，找準新問題的生長點。以舊引新，導入新課。】二、創設現實情境，發現提出問題實現解決問題的第一個轉化（一）初次觀看

12、兩物體的運動過程，尋找新知學習的切入點喚起相遇問題的生活經驗。1媒體播放王明和李華上學的動畫情景，誘發學生觀察他們的運動過程。（動畫情景的內容大致如下：王明和李華分別住在學校的兩側，兩人同時從家出發，相對而行，經過5分鐘兩人同時到達學校。）2結合觀察到的運動現象，引導學生用語言描述他們兩人的運動過程。【設計意圖：借助動畫情景，一方面誘導學生初次感知兩個物體的運動，從直觀的角度感知“相遇問題”的特征；二方面借助學生的觀察和描述，了解學生對“相遇問題”已有經驗和認知基礎，幫助教師尋找新知學習的切入點和生長點；三方面通過觀察和用語言描述兩個物體的運動過程，培養學生的觀察、想象和語言表達能力。】（二）

13、模擬兩物體的運動過程，理解相遇問題的基本特征構建相遇問題的運動模型。1媒體再次播放上述動畫情景，教師和一名學生模擬情境，現場表演王明和李華的運動過程。（1）教師和學生在同一個位置。學生會發現應該從兩個不同的地方出發，板書“兩個地方”。（2）師比學生晚走了一會兒，大約3步的時間。學生會發現兩個人應該同時出發，板書“同時出發”。（3）教師走的方向不對，拐彎走了。學生會發現兩人應該面對面走。教師指出“面對面”在數學上稱之為“相對而行”，板書“相對而行” 。（4）師生最后走一遍正確的，兩人同時到達學校，也就是說兩人在學校相遇了，板書“最后相遇”。2現場模擬表演后，引導學生用上“兩個物體”、“兩個地方、

14、”“同時出發”、 “相對而行”、“最后相遇”這幾個關鍵詞描述他們的運動過程。3同桌兩人邊打手勢演示邊用上“兩個物體”、“兩個地方、”“同時出發”、 “相對而行”、“最后相遇”等關鍵詞描述他們兩人的運動過程。【設計意圖：這是建立數學模型的必要階段。我們都知道，數學模型是關于現實世界為某種目的的一個抽象的、簡化的數學結構。同時，建立數學模型的目的是為了科學、有效地描述自然現象和社會現象，進而解決實際問題。因此，任何數學模型的建立都有具體的現實情境。教學這節課時，教師要創造學生比較熟悉的、且親身經歷的、含有數學問題的上學情景。這樣，從學生熟悉的生活實例入手創設問題情境，采用模擬表演、打手勢等直觀生動

15、的演示方式描述王明和李華的運動過程，一是激發學生的數學學習興趣，調動學生眼、耳、手、口等多種感官并用，吸引學生積極主動地投入到探究學習活動中來；二是借助學生已有的生活經驗和認知基礎，讓學生了解數學問題的實際背景，并引導學生理解“同時出發”、“相對而行”、“最后相遇”等關鍵詞的含義，掌握相遇問題的基本特征，初步建立相遇問題的模型雛形，為建立數學模型做好準備；三是引導學生學會用數學的眼光觀察自己的生活，感受到生活中處處有數學，數學能幫助我們解決許許多多簡單的實際問題，體驗數學的意義和價值。】（三）添加相關信息，提煉生成相遇問題構建相遇問題的語言模型。1在動畫情境中添加王明和李華的速度信息，引導學生

16、填上信息，并再次描述兩人的運動過程。速度信息為：王明每分鐘走70米，李華每分鐘走60米。2根據動畫情境中的相關信息，引導學生提出相關的數學問題。教師：根據情境中的相關信息，誰能提出一個數學問題？學生可能會提出以下幾方面的問題：問題1：王明走了多少米？問題2：李華走了多少米？問題3：王明比李華多走了多少米？問題4：王明和李華一共走了多少米？問題5：他們兩家相距多少米？3教師定向，提煉生成完整的相遇問題。教師：同學們真了不起！發現并提出了這么多的數學問題，下面我們先來研究解決“他們兩家相距多少米？”這一問題。多媒體出示該問題：王明和李華同時從家出發，相對而行。王明每分鐘走70米，李華每分鐘走60米

17、。經過5分鐘兩人在學校相遇，他們兩家相距多少米？學生讀題后，教師揭示課題：這個問題就是這節課我們要研究解決的相遇問題。教師板書課題：相遇問題【設計意圖：在初步理解相遇問題基本特征的基礎上，添加相應的數學信息，提煉生成完整的數學問題，一方面幫助學生把“生活問題”轉化為“數學問題”，順利完成解決問題的第一個轉化；二方面幫助學生構建起相遇問題的語言模型；三方面培養學生根據數學信息發現數學問題、提出數學問題的能力。】三、自主解決問題，構建數學模型實現解決問題的第二個轉化（一）運用解題策略，自主整理信息構建起相遇問題的圖形模型。1放手讓學生運用已有的解決問題的策略，自主進行信息整理。教師：這個問題中的信

18、息較多，且數量之間的關系不易發現。下面請同學們用自己喜歡的方法將信息加以整理，比比看誰整理信息的方法最好，能將題中信息最簡潔明了地呈現給大家。學生自主整理信息，教師巡視指導，順便了解學生整理信息的基礎。根據以前解決問題的基礎和經驗，學生可能用到以下整理信息的策略：策略1：摘錄。      策略2：列表。                     速度

19、時間分路程總路程王明70米分5分70×570×5+60×5李華60米分5分60×5                                        

20、;             策略3：畫示意圖。      策略4：畫草圖。（略）策略5：操作法擺紙條。       2組織學生以小組為單位交流各自整理信息的方法，互相學習，取長補短；同時，組長做好記錄，看本組內出現了幾種不同的整理信息的方法。3以小組為單位匯報整理信息的方法，教師適時組織學生互相質疑問難，補充完善。4引導學生對各種整理信息的方法加以分析與比較，溝通各種

21、方法的內在聯系，理清各種方法的異同點，突出畫線段圖整理信息的優越性和必要性。教師：同學們真了不起，想到了這么多整理信息的方法。仔細比較這些方法，你認為哪種方法最直觀形象，讓我們一眼就能看明白題目的意思？在學生獨立思考的基礎上，小組內交流意見，達成共識后向全班匯報。5重點講解畫線段圖整理信息的方法，幫助學生構建相遇問題的圖形模型。教師：這些整理信息的方法雖然所表達的題意相同，但畫圖的方法更能直觀想象地表示出題意。其中，畫線段圖尤為簡潔明了。教師邊將畫線段圖的要領，邊在黑板上畫出線段圖。     【設計意圖：整理信息的過程即分析數量關系的過程，而分

22、析數量關系則是解決問題的關鍵。活動中，放手讓學生運用已有的知識基礎、方法策略和活動經驗，用自己喜歡的方法對問題情境中相關聯的信息加以梳理。一方面借助整理信息，將抽象難懂的文本信息轉化為形象易懂的圖畫、圖表信息，幫助學生直觀形象地理清信息之間的關系，架構起信息與信息之間、信息與問題之間的內在聯系，為有效解決問題做好鋪墊；二方面加強對各種解題策略的分析與比較，重在梳理已有的解題策略，溝通各種方法的聯系，理清各種方法的異同，突出畫線段圖整理信息的優越性和必要性；三方面在“自主整理組內交流展示匯報分析比較提煉升華”等一系列活動中，有意識地引導學生獲得解決問題的策略，積累解決問題的經驗，提高解決問題的能

23、力。】（二）獨立列式計算，自主解決問題構建相遇問題的算式模型。  教師：“兩家相距多少米”這個問題，該怎樣解決呢？（2）    學生獨立列式計算，教師挑選解法不同的學生板演。主要出現以下兩種解法：解法1:  70×560×5            解法2：（7060）×5        =350300   &

24、#160;                  =130×5        =650（米）                     =650（米）2請解

25、法不同的學生向大家說明自己的解題思路。學生可能出現兩種分析、解決問題的思路：思路1：從已知信息入手，逐步求得要解決的問題，即綜合法。思路2：從要求問題入手，找尋已知信息，逐步解決問題，即分析法。【設計意圖：這是建立數學模型的關鍵階段。即在學生自主整理信息，理清數量關系，明確解題思路，探究計算方法的基礎上，學生獨立列式解答，建構起了相遇問題的算式模型。】（三）分析比較解法，抽出數量關系構建相遇問題的本質模型。1結合學生的不同解法和分析思路，引導學生抽出相應的數量關系。即：王明走的路程李華走的路程=總路程；       速度和 ×

26、; 時間 = 總路程2利用多媒體課件重點動態演示第二種解法的分析思路，直觀形象地幫助學生理解5個（70+60）的意義，進一步理解這種解題方法。最后的成像如下：       3總結：引導學生從基礎知識的學習、方法策略的獲得，解題經驗的積累等方面談談自己的收獲和體會。【設計意圖：這是建立數學模型的重要階段。即根據相遇問題的結構特征和建立相遇模型的目的，引導學生對分析解決問題的過程進行觀察與比較、分析與綜合、抽象與概括，引領學生提煉出相遇模型背后所蘊含著的結構性知識，并運用形式化的數學符號刻畫出這種數學結構“速度和×時間=總速度”

27、，從而建立相遇問題的基本模型。】四、解釋應用拓展，解決實際問題運用數學模型，體驗數學的價值。【設計意圖：建立數學模型的目的是更好的描述自然現象和社會現象，從而幫助人們更好地去認識自然、認識社會，改造自然、改造社會。通過建立數學模型可以教給學生一些數學思想方法，為將來進一步學習和將來的社會實踐打下堅實的基礎；對所建立的數學模型進行合理的解釋、應用，才能使所建立的數學模型具有生命活力。因此，設計了“基本練習鞏固新知，拓展練習揭示本質和延伸練習靈活運用”三個層次，對相遇問題進行解釋和應用。這樣，學生在生活化的內容，數學化的探索中獲得的知識、方法、經驗等。數學模型只有在解釋和應用于生活中時，才能煥發出

28、數學的魅力和價值。】1基本練習，鞏固新知。               【設計意圖：引導學生運用新學到的知識技能、解題方法、解題策略等解決與例題相類似的相遇問題。】2拓展練習，揭示本質。教師：生活中，除了走路能相遇，還有一些相遇的例子。例如工程隊挖水渠、修公路、鑿隧道等問題（引出工程問題）。       學生獨立解決問題后，課件揭示該題的數量關系：工效和×時間=工作總量。【設計意圖：引導學生將相遇問題的解題策略和解題經驗進行遷移，解決與之類似的工程問題，豐富相遇問題的內涵，揭示該類問題的本質，構建該類問題的數學模型，促使學生形成該類問題的認知結構體系。】3延伸練習，靈活運用。教師：相遇問題在我們的生活中處處可見，你還能舉出一個相遇問題的例