1、第二章習題解答 2.1 一個平行板真空二極管內的電荷體密度為，式中陰極板位于，陽極板位于，極間電壓為。如果、橫截面，求：（1）和區域內的總電荷量；（2）和區域內的總電荷量。 解 （1） （2） 2.2 一個體密度為的質子束，通過的電壓加速后形成等速的質子束，質子束內的電荷均勻分布，束直徑為，束外沒有電荷分布，試求電流密度和電流。解 質子的質量、電量。由得 故 2.3 一個半徑為的球體內均勻分布總電荷量為的電荷，球體以勻角速度繞一個直徑旋轉，求球內的電流密度。解 以球心為坐標原點，轉軸（一直徑）為軸。設球內任一點的位置矢量為，且與軸的夾角為，則點的線速度為球內的電荷體密度為故 2.4 一個半徑為

2、的導體球帶總電荷量為，同樣以勻角速度繞一個直徑旋轉，求球表面的面電流密度。解 以球心為坐標原點，轉軸（一直徑）為軸。設球面上任一點的位置矢量為，且與軸的夾角為，則點的線速度為球面的上電荷面密度為故 2.5 兩點電荷位于軸上處，位于軸上處，求處的電場強度。解 電荷在處產生的電場為電荷在處產生的電場為故處的電場為2.6 一個半圓環上均勻分布線電荷，求垂直于圓平面的軸線上處的電場強度，設半圓環的半徑也為，如題2.6 圖所示。解 半圓環上的電荷元在軸線上處的電場強度為 題 2.6圖在半圓環上對上式積分，得到軸線上處的電場強度為2.7 三根長度均為，均勻帶電荷密度分別為、和地線電荷構成等邊三角形。設，計

3、算三角形中心處的電場強度。解 建立題2.7圖所示的坐標系。三角形中心到各邊的距離為題2.7圖則故等邊三角形中心處的電場強度為2.8 點電荷位于處，另點電荷位于處，空間有沒有電場強度的點？解 電荷在處產生的電場為 電荷在處產生的電場為處的電場則為。令，則有由上式兩端對應分量相等，可得到 當或時，將式或式代入式，得。所以，當或時無解； 當且時，由式，有解得但不合題意，故僅在處電場強度。29 一個很薄的無限大導電帶電面，電荷面密度為。證明：垂直于平面的軸上處的電場強度中，有一半是有平面上半徑為的圓內的電荷產生的。解 半徑為、電荷線密度為的帶電細圓環在軸上處的電場強度為 題2.10圖故整個導電帶電面在

4、軸上處的電場強度為而半徑為的圓內的電荷產生在軸上處的電場強度為2.10 一個半徑為的導體球帶電荷量為，當球體以均勻角速度繞一個直徑旋轉，如題2.10圖所示。求球心處的磁感應強度。解 球面上的電荷面密度為當球體以均勻角速度繞一個直徑旋轉時，球面上位置矢量點處的電流面密度為將球面劃分為無數個寬度為的細圓環，則球面上任一個寬度為細圓環的電流為 細圓環的半徑為，圓環平面到球心的距離，利用電流圓環的軸線上的磁場公式，則該細圓環電流在球心處產生的磁場為 故整個球面電流在球心處產生的磁場為 2.11 兩個半徑為、同軸的相同線圈，各有匝，相互隔開距離為，如題2.11圖所示。電流以相同的方向流過這兩個線圈。（1

5、）求這兩個線圈中心點處的磁感應強度；（2）證明：在中點處等于零；（3）求出與之間的關系，使中點處也等于零。解 （1）由細圓環電流在其軸線上的磁感應強度 得到兩個線圈中心點處的磁感應強度為 （2）兩線圈的電流在其軸線上處的磁感應強度為 題2.11圖所以 故在中點處，有 （3） 令 ，有 即 故解得 題 2.12圖2.12 一條扁平的直導體帶，寬為，中心線與軸重合，通過的電流為。證明在第一象限內的磁感應強度為 ， 式中、和如題2.12圖所示。解 將導體帶劃分為無數個寬度為的細條帶，每一細條帶的電流。由安培環路定理，可得位于處的細條帶的電流在點處的磁場為則 所以 2.13 如題2.13圖所示，有一個

6、電矩為的電偶極子，位于坐標原點上，另一個電矩為的電偶極子，位于矢徑為的某一點上。試證明兩偶極子之間相互作用力為 題 2.13圖式中，是兩個平面和間的夾角。并問兩個偶極子在怎樣的相對取向下這個力值最大？解 電偶極子在矢徑為的點上產生的電場為所以與之間的相互作用能為因為，則 又因為是兩個平面和間的夾角，所以有 另一方面，利用矢量恒等式可得因此 于是得到 ()故兩偶極子之間的相互作用力為 ()() 由上式可見，當時，即兩個偶極子共線時，相互作用力值最大。2.14 兩平行無限長直線電流和，相距為，求每根導線單位長度受到的安培力。解 無限長直線電流產生的磁場為 直線電流每單位長度受到的安培力為 式中是由電流指向電流的單位矢量。同理可得，直線電流每單位長度受到的安培力為 2.15 一根通電流的無限長直導線和一個通電流的圓環在同一平面上，圓心與導線的距離為，如題2.15圖所示。證明：兩電流間相互作用的安培力為題2.15圖 這里是圓環在直線最接近圓環的點所張的角。解 無限長直線電流產生的磁場為圓環上的電