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矩陣論試題一、(10分)設(shè)函數(shù)矩陣 求：和()。解：= ()=二、(15分)在中線性變換將基 ，變?yōu)榛?，(1)求在基下的矩陣表示A；(2)求向量及在基下的坐標(biāo)；(3)求向量在基下的坐標(biāo)。解：(1)不難求得： 因此在下矩陣表示為 (2)設(shè)，即 解之得：所以在下坐標(biāo)為。在下坐標(biāo)可得(3)在基下坐標(biāo)為 在基下坐標(biāo)為 三、(20分)設(shè)，求。解：容易算得 由于是2次多項(xiàng)式，且，故是1次多項(xiàng)式，設(shè) 由于，且，故 于是解得：從而： 四、(15分)求矩陣的奇異值分解。解：的特征值是對(duì)應(yīng)的特征向量依次為 ，于是可得 ， 計(jì)算： 構(gòu)造 ，則 則A的奇異值分解為： 五、(15分)求矩陣 的滿秩分解：解：可求得： ，于是有 或 六、(10分)求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。解：求的初等因子組，由于 因此，所求的初等因子組為，于是有AJ=七、(10分)設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間，是V的子空間，則也是V的子空間。證明：由，知，即說(shuō)非空，對(duì)于任意，則。因?yàn)槭亲涌臻g，所以，故。對(duì)任意，有，且，因此知，故知為V的子空間。八、(5分)設(shè)，求證。證明：矩陣A的特征多項(xiàng)式為令 由Hamilton-Cayley定理知因此

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