1、重積分二、典型錯誤分析例1 求二重積分，其中。錯解 因為，所以，故。分析 積分區域是一個三角形，而在上述求解時積分區域卻成了正方形。正確解法。例2 求二重積分，其中。錯解 令，則。分析 由于，則，而上述解答中錯誤地認為。正確解法 。例3計算，其中是由及所圍成圖形的公共部分。錯解 令和分別為大、小圓面，則。分析 答案雖然正確，但是解法有問題。因為在小圓內的被積函數，我們不知道，而錯誤地看成了和大圓的被積函數一樣。正確解法 由于被積函數和積分區域都是對稱的，故。例4改變積分的次序。錯解 原式。分析 問題出現在上，因為在軸的下方區域取負值，因此。正確解法 原式。例5求由平面，與柱面（）所圍成的體積錯

2、解 原式分析 問題出現在不能保證在以為投影的區域內的非負性。正確解法 原式例6求球面和柱面（）所包圍的且在柱面內部的體積。錯解 因為所求體積的形體關于平面對稱，于是原式分析 問題出現在不能保證成立。正確解法 原式例7計算三重積分，其中由錐面與平面（）圍成的區域。錯解 因為分析 問題出現在對的積分上限，錯誤地認為是，而應該為。正確解法 例8計算三重積分，其中：。錯解分析若從積分的物理意義去理解，起錯誤是明顯的。把三重積分看成質量，則被積函數就是球體的密度，它與球體上的點到原點的距離的平方成正比（比例系數為1），僅當點在球面上時，其密度才是。正確解法 采用球坐標計算三、綜合題型分析例 9、求橢球體

3、的體積。分析由于對稱性，只需求出橢球在第一卦限的體積，然后再乘以8即可。解 由于對稱性，只需求出橢球在第一卦限的體積，然后再乘以8即可。作廣義極坐標變換 （）。這時橢球面化為。又，于是。所以橢球體積。例10、估計積分的值，其中是由圓周圍成。分析 由重積分的性質：在區域上，如果，則，來進行估計。解 先求函數在區域上的極值。因為沒有駐點，所以最值一定在邊界取得。設，則由拉格朗日乘數法得駐點為和，比較得的最小值，最大值。因為積分區域的面積為，故。例11、估計積分的值。分析 可以由重積分的性質：在區域上，如果，則，來進行估計。也可以由積分中值定理來估計，在本質上是一致的。解 因為函數在閉區域上連續，所

4、以在上至少存在一點使得，顯然，而積分區域的面積為，故。例12、計算分析 直接計算是困難的，要交換積分順序。解例13、計算積分，其中區域為在第一象限的部分。分析 被積函數中含圓，如果用直角坐標計算是困難的，采用極坐標計算。注意：一般來說，對被積函數或積分區域含圓，扇形，半圓，圓環等，往往采用極坐標計算比較簡單。解 設，則，令，則原式。例14、計算分析 被積函數中含有絕對值的積分，在計算是先要去掉絕對值，這是解題的一般方法。解 由函數和積分區域的對稱性，其中是在第一象限的部分，故。例15、設函數連續，且，其中由，圍成，求。分析 這是一道綜合題目，表面看來很復雜，只要分析清楚了并不難。首先可以知道積

5、分是一個常數，因此變為，兩邊再求二重積分就可以堅決了。解 設，則。故，兩邊求二重積分，則，從而，故。例16、計算，其中。分析 被積函數中含有絕對值的積分，在計算是先要去掉絕對值，這是解題的一般方法。因此要將積分區域分成幾部分。解積分區域被球面分成上下兩部分和，故以上積分均要采用球面坐標計算。故。例17、設為連續函數，證明，其中分析 這種類型的題目有一點小技巧，解題的常用方法是坐標變換。解 令，則，所以積分區域由變為，且雅可比式為。例18、計算二重積分，其中。分析 這道題本質上是一道分段函數積分題，關鍵是把用分段函數表示出來。解 設，則例19、設是連續可導的函數，且，已知，其中，求。分析 這是一

6、道綜合題目，先用球面坐標先計算，然后用羅必達法則計算極限。解。因為，由羅必達法則得。例20、設在單位圓上有連續的偏導數，且在邊界上取值為零，求證：,其中D為圓環域：。分析 這是一道綜合題目，涉及的知識點多，有極限、重積分、偏導數。由于積分區域為圓，要先化為用極坐標。解法1：令，則，從而。在單位圓的邊界上取值為零，則當時，。因此，故。解法2：令，則。令為（逆時針），為（順時針）即，則，。四、考研試題分析例21(2005年高數一) 設圍成的空間區域，的整個邊界的外側，則。答案 分析 用Gauss公式和求空間物體體積，此題無其它技巧。解答 用Gauss公式得即空間區域體積的三倍。容易求出錐面與半球面

7、 的交線為 。用柱坐標求積分，。例22(2005年高數一)設表示不超過的最大整數，計算二重積分分析 由于含圓，所以用極坐標求解。解法1解法2 記 ，則有 ，。于是。23、（2004年高數二）設函數連續, 區域, 則等于（A）.（B）.（C）.（D）答案 分析 將二重積分化為累次積分的方法是:先畫出積分區域的示意圖,再選擇直角坐標系和極坐標系,并在兩種坐標系下化為累次積分. 將二重積分化為累次積分的常規題,關鍵在于確定累次積分的積分限.解 積分區域見圖.在直角坐標系下,故應排除（A）、（B）.在極坐標系下, ,故應選（D）。24、（2005年高數二、高數三）計算二重積分其中分析 將絕對值在積分中

8、的處理和二重積分在直角坐標系/極坐標系中的計算公式相結合即可。解如圖,將D分成D1與D2兩部分.,由于,其中,因此.25、（2005年高數二）設區域， f(x)為D上的正值連續函數，a,b為常數，則A、.B、.C、. D、答 D 分析 對于選擇題，可以用適合條件的特殊函數代入的方法確定答案。解 本題取，故應選結論（）。如果不用特殊函數代入的方法，要計算積分，注意到區域關于直線對稱，因而被積表達式中的和對調積分值不變。故有即得。26、（2003年高數一）設函數f(x)連續且恒大于零，其中，(1) 討論F(t)在區間內的單調性.(2) 證明當t>0時，分析(1) 先分別在球面坐標下計算分子的

9、三重積分和在極坐標下計算分母的重積分，再根據導函數的符號確定單調性；(2) 將待證的不等式作適當的恒等變形后，構造輔助函數，再用單調性進行證明即可.解 (1) 因為，所以在上，故F(t) 在內單調增加.（2） 因，要證明t>0時，只需證明t>0時，即令 ，則 ，故g(t)在內單調增加.因為g(t)在t=0處連續，所以當t>0時，有g(t)>g(0).又g(0)=0, 故當t>0時，g(t)>0,因此，當t>0時，注： 本題將定積分、二重積分和三重積分等多個知識點結合起來了，但難點是證明（2）中的不等式，事實上，這里也可用柯西積分不等式證明：，在上式中取f(x)為，g(x)為即可。27、（2005年高數三）設, ,其中A、B、C、D、（ A ）分析 由重積分的性質：在區域上，如果，則，來進行比較。解 在積分區域 上有且等號僅在區域D的邊界 上成立，從而在積分區域D上有且等號也僅僅在區域D的邊界 上成立，此外，三個被積函數又都在區域D上連續，按二重積分的性質即得，故應選結論（A）。注：考慮D上，注意在 上單調減少性即可。另外，用到二重積分的性質。28、（2001年高數一）交換二次積分的積分順序= 。分析 這是一道基礎題目，畫出積分區域容易解答。解