1、第 60 講 導數-基礎 （第1課時）神經網絡準確記憶！重點難點好好把握！重點：1導數概念與意義；2導數的四則運算；3復合函數的求導。難點：復合函數的求導。考綱要求注意緊扣！1了解導數概念，掌握函數在一點處的導數的定義及其幾何意義，理解導函數的概念；2熟記基本導數公式，掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導。3了解可導函數的單調性與其導數的關系.了解可導函數在某點取得極值的必要條件和充分條件(導數在極值點兩側異號)。會求一些實際問題(一般指單峰函數)的最大值和最小值。命題預測僅供參考！1導數的幾何意義，求導運算是考察的重點。2復合函數求導以及可導與連續的關系也在考察之列。考點熱點一定掌握！1導

2、數的概念如果函數在x處的增量與自變量的增量的比值，當時，=存在，則稱函數在點x處可導，并稱此極限值為在點x處的導數，記為或。若=存在，則稱函數在點x處左可導，并稱此極限值為在點x處的左導數，記為。若=存在，則稱函數在點x處右可導，并稱此極限值為在點x處的右導數，記為。存在的充要條件是：=。如果函數在區間內每一點都可導，就說在區間內可導，這時對于開區間內每一個確定的值x，都對應著一個確定的導數，這樣就在開區間內構成一個新的函數，我們把這一新函數叫做的導函數，記作或 。例已知函數 ，試確定、的值，使在處連續并可導。解：要使在處連續，則要在處有定義，這是顯然的；在處的左極限等于右極限，現在， ；在處

3、的極限等于其函數值，即要，而當時，?？梢娭灰?，在處就連續；又 = ，要 在處可導，則要 = ，即要 ， ，此時應有 。綜上所述，當 時，在處連續并可導。2導數的幾何與物理意義 幾何意義：函數在點x處的導數的幾何意義就是曲線在點p（x，f（x）處的切線的斜率。過這點的切線方程可寫為 。 物理意義：如果物體的運動方程為 ，則在點的導數值就是物體在時刻的瞬時速度。例已知拋物線 與直線 ，求 兩曲線的交點； 拋物線在交點處的切線方程。解： 由 求得交點為 ，； ， 拋物線在、處的切線方程分別為 與 ，即 與 。3導數的運算 常用的導數公式（C為常數）兩個函數的四則運算的導數若、可導，則 和差的導數：

4、；和差的導數可以推廣到有限個函數的情況，即 積的導數： ，特別地：（C為常數）； 商的導數：復合函數的導數設在點處可導，在點處可導，則復合函數在點處可導，且。復合函數求導的順序：先外后內。例求下列函數的導數 ； ； ；解： 解法一：=解法二：點評：在可能的情況下，求導時應盡量少用甚至不用乘積的求導法則，例如解法二。x點評：有的函數雖然表面為商的形式，但在求導前先對其進行恒等變形，然后進行求導，可以避免使用商的求導法則，從而減少運算量。 分析：這是一個復合函數，即 ，。 分析：這也是一個復合函數，即 ，。4有定義、極限、連續與可導的關系在處有定義是在處連續的必要而不充分條件。在處連續是在處有極限

5、的充分而不必要條件。在處連續是在處可導的必要而不充分條件。例已知 =+ ，就下列情形，判斷在處是否可導。在處可導，在處不可導；與在處均不可導。分析：由于的構成中有不可導函數，所以不能使用運算法則，遇到這種情況，可以使用反證法或是列舉反例來說明問題。解： 由 =+ 可得 =-，假設在處可導，那么因為已知在處可導，可推出在處可導，而這與已知的在處不可導矛盾，所以在處不可導。在處不一定可導，例如 ，他們在 處均不可導，但 =+ 在 處可導；再如 ，他們在 處均不可導，但 =+ 在 處不可導。能力測試認真完成！參考答案仔細核對！12345678導數的概念導數的幾何意義導數的物理意義常用的導數公式（C為常數）；復合函數的導數1函數 在點 處是否有導數，若有，求出來，若沒有，說明理由。解：可以改寫為 ， ，= ，= ， 當 趨近于0時， 無極限，函數 在點 處沒有導數。2求的導數。解：， ，3求的導數。解：先使用三角公式進行化簡： 。點評：在求導之前，應利用代數、三角恒等式等變形對函數進行化簡，然后求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯。4求y=tanx的導數。 解：y=tanx=， y=y=secx。5求 的導數。解：6求 的導數。解： 。7求曲線y在點（，）處的切線方程。解： y，即曲線在點（