1、改革開放的三十多年，我國經濟得到了巨大的發展，已經從依賴資源、廉價勞動力的時代進入知識經濟時代。知識經濟條件下，創新將成為經濟增長的根本所在。何以創新？人力資源管理成為關鍵。公司若要在競爭的社會中立于不敗之地，必須把人才資源放在第一位，只有有效、合理、科高一數學下第5章解斜三角形解析及答案鞏固基礎一、自主梳理 1.正弦定理：=2R，其中R是三角形外接圓半徑. 2.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,cosA=. 3.SABC=absinC=bcsinA=acsinB,S=Sr(S=,r為內切圓半徑)=(R為外接圓半徑). 4.在三角形中大邊對大角，反之

2、亦然. 5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA. 6.三角形內角的誘導公式 (1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos=sin, sin=cos 在ABC中，熟記并會證明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A、B、C成等差數列的充要條件是B=60°； (3)ABC是正三角形的充要條件是A、B、C成等差數列且a、b、c成等比數列. 7.解三角形常見的四種類型 (1)已知兩角A、B與一邊a,由A+B+C=180°

3、及=，可求出角C，再求b、c. (2)已知兩邊b、c與其夾角A，由a2=b2+c2-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C. (3)已知三邊a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C. (4)已知兩邊a、b及其中一邊的對角A，由正弦定理=，求出另一邊b的對角B，由C=-(A+B)，求出c，再由=求出C，而通過=求B時，可能出一解，兩解或無解的情況，其判斷方法，如下表：A>90°A=90°A<90°a>b一解一解一解a=b無解無解一解a<ba>bsinA兩解無解無解a=bsinA一解a<bsinA無解 8.用向量證明正弦

4、定理、余弦定理，關鍵在于基向量的位置和方向. 9.三角形的分類或形狀判斷的思路，主要從邊或角兩方面入手.二、點擊雙基1.在ABC中，A=60°，a=43,b=4，則B等于( )A.45°或135° B.135° C.45° D.以上答案都不對解析：sinB=,又b<a,B<A.0°<B<60°.故B=45°.答案：C2.ABC中，a=2bcosC，則此三角形一定是( )A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形解析：由正弦定理得sinA=2sinBcosC, 即s

5、in(B+C)=2sinBcosC. sin(B-C)=0. 又-<B-C<，B-C=0.答案：A3.設A是ABC最小內角，則sinA+cosA的取值范圍是( )A.(-，) B.-, C.(1，) D.(1,解析：0°<A60°,45°<A+45°105°. sinA+cosA=sin(A+45°)(1,.答案：D4.(2006山東濰坊檢測)在ABC中，cos2=(a、b、c分別為角A、B、C的對邊)，則ABC的形狀為( )A.正三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形解析：cos

6、2=,=,即cosA=. 又cosA=,=,即a2+b2=c2.ABC為直角三角形.故選B.答案：B5.已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,則A=_.解析：由已知得(b+c)2-a2=3bc,b2+c2-a2=bc.=.A=.答案：訓練思維6、ABC的三個內角A、B、C的對邊分別是a、b、c,如果a2=b(b+c),求證:A=2B.剖析：研究三角形問題一般有兩種思路.一是邊化角,二是角化邊.證明：用正弦定理,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入a2=b(b+c)中,得 sin2A=sinB(sinB+sinC)sin2A-sin2B=sinBsinC -=sinBs

7、in(A+B) (cos2B-cos2A)=sinBsin(A+B) sin(A+B)sin(A-B)=sinBsin(A+B).因為A、B、C為三角形的三內角,所以sin(A+B)0.所以sin(A-B)=sinB.所以只能有A-B=B,即A=2B.講評：利用正弦定理,將命題中邊的關系轉化為角間關系,從而全部利用三角公式變換求解.鏈接·聚焦 7、(1)該題若用余弦定理如何解決? 解：利用余弦定理,由a2=b(b+c),得 cosA= =,cos2B=2cos2B-1=2()2-1=-1=. 所以cosA=cos2B.因為A、B是ABC的內角,所以A=2B. (2)該題根據命題特征,

8、能否構造一個符合條件的三角形,利用幾何知識解決? 解：由題設a2=b(b+c),得=, 做出ABC,延長CA到D,使AD=AB=c,連結BD.式表示的即是=,所以BCDABC.所以1=D. 又AB=AD,可知2=D,所以1=2. 因為BAC=2+D=22=21, 所以A=2B.講評：近幾年的高考題中,涉及到三角形的題目,重點考查正弦、余弦定理,考查的側重點還在于三角轉換.這是命題者的初衷.8、（2004全國高考卷）已知銳角ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=.(1)求證:tanA=2tanB;(2)設AB=3,求AB邊上的高.剖析：有兩角的和與差聯想到兩角和與差的正弦公式,結合圖形

9、,以(1)為鋪墊,解決(2).(1)證明：sin(A+B)=,sin(A-B)=, =2. tanA=2tanB.(2)解：A+B,sin(A+B)=. tan(A+B)=-, 即=-.將tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B-4tanB-1=0,解得tanB=(負值舍去).得tanB=,tanA=2tanB=2+. 設AB邊上的高為CD,則AB=AD+DB=+=. 由AB=3得CD=2+,AB邊上的高為2+.講評：本題主要考查三角函數概念,兩角和與差的公式以及應用,分析和計算能力.9、 如圖，有兩條相交成60°角的直路EF、MN，交點是O.起初，阿福在OE上距O點3千米的點

10、A處；阿田在OM上距O點1千米的點B處.現在他們同時以4千米/時的速度行走，阿福沿EF的方向，阿田沿NM的方向.(1)求起初兩人的距離；(2)用包含t的式子表示t小時后兩人的距離；(3)什么時候他們兩人的距離最短？解：(1)AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos60°=7, 起初他們兩人的距離是7千米. (2)設他們t小時后的位置分別是P、Q，則AP=4t,BQ=4t. 下面分兩種情況討論: 當0t時，PQ2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60°. 當t>時，PQ2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4

11、t)cos120°. 由綜合得PQ2=48t2-24t+7,即PQ=. (3)PQ2=48t2-24t+7=48(t-)2+4, 當t=時，即在第15分鐘時他們兩人的距離最短.鏈接·拓展 本題還可以轉化為坐標運算，從而避免分類討論. 提示：以O為坐標原點，OE所在直線為x軸建立坐標系，則t時刻P(3-4t,0),Q(1+4t), (1+4t).狀元訓練復習篇10.在ABC中，下列三式·>0,·>0,·>0中能夠成立的不等式個數( )A.至多1個 B.有且僅有1個 C.至多2個 D.至少2個解析：原條件可轉化為cosA>0

12、,cosB>0,cosC>0.而A、B、C是三角形的內角，A+B+C=最多一個鈍角.答案：D11.在ABC中，a=80,b=100,A=45°，則此三角形解的情況是( )A.一解 B.兩解 C.一解或兩解 D.無解解析：bsinA=50,a>bsinA.答案：B12（理）在ABC中，若A=60°,b=1,SABC=，則的值為( )A. B. C. D.解析：SABC=bcsinA,bcsinA=. c=4.a2=b2+c2-2bccosA=13.a=. =.答案：B13、(文)(2004浙江高考)在ABC中,“A30°”是“sinA”的( )A.

13、充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件解析：在ABC中,A30°0sinA1sinA;sinA30°A150°A30°.答案：B14.在ABC中,角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,若三角形的面積S=(a2+b2-c2),則C的度數是_.解析：由S=(a2+b2-c2)得absinC=·2abcosC.tanC=1.C=45°.答案：45°15.在ABC中,若C=60°,則+=_.解析：+= =. (*) C=60°,a2+b2-c2=2abcosC=ab.a2

14、+b2=ab+c2. 代入(*)式得=1.答案：116.在ABC中，c=2,a>b,C=,且有tanA·tanB=6,試求a、b以及此三角形的面積.思路分析：由已知可求出tanA+tanB,這樣便可求得tanA和tanB的值，只要求出sinA、sinB利用正弦定理可求得a、b.解：tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB) =-tanC(1-tanAtanB) =-tan(1-6)=5, 又tanA·tanB=6且a>b,則tanA>tanB.tanA=3,tanB=2. 而0<A<,0<B<, sinA=,sin

15、B=. 由正弦定理得a=, b=, SABC=absinC=.17.(2006北京海淀模擬)(理)ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，2sin2C=3cosC,c=,又ABC的面積為.求：(1)角C的大?。?2)a+b的值.解：(1)由已知得2(1-cos2C)=3cosC, cosC=或cosC=-2(舍), 在ABC中，C=60°. (2)SABC=absinC=, absin60°=.ab=6. 又c2=a2+b2-2abcosC, ()2=a2+b2-2abcosC. a2+b2-ab=7.a2+b2=13. a+b=5.18(文)ABC中，角A、B、C的

16、對邊分別為a、b、c，ABC的面積為,且c=,3cosC-2sin2C=0.求：(1)角C的大?。?2)a、b的值.解：(1)由已知得2(1-cos2C)=3cosC, cosC=或cosC=-2(舍), 在ABC中，C=60°.(2)SABC=absinC=, absin60°=.ab=6. 又c2=a2+b2-2abcosC, ()2=a2+b2-2abcosC. a2+b2-ab=7.a2+b2=13. a+b=5. a=2,b=3或a=3,b=2.加強篇19、在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,依次成等比數列，求y=的取值范圍.解：b2=ac, cos

17、B= =(+)-.0B, y= =sinB+cosB=sin(B+). B+,sin(B+)1.故1y.20.(全新創編題)某城市有一條公路,自西向東經過A點到市中心O點后轉向東北方向OB,現要修建一條鐵路L,L在OA上設一站A,在OB上設一站B,鐵路在AB部分為直線段,現要求市中心O與AB的距離為10 km,問把A、B分別設在公路上離中心O多遠處才能使|AB|最短?并求其最短距離.(不要求作近似計算)解：在AOB中,設OA=a,OB=b. 因為AO為正西方向,OB為東北方向, 所以AOB=135°. 則|AB|2=a2+b2-2abcos135°=a2+b2+ab2ab+

18、ab=(2+)ab,當且僅當a=b時,“=”成立.又O到AB的距離為10,設OAB=,則OBA=45°-.所以 a=,b=, ab=·= = = =, 當且僅當=22°30時,“=”成立. 所以|AB|2=400(+1)2, 當且僅當a=b,=22°30時,“=”成立. 所以當a=b=10時,|AB|最短,其最短距離為20(+1),即當AB分別在OA、OB上離O點10km處,能使|AB|最短,最短距離為20(-1).教學參考 一、教學思路 1.根據所給條件確定三角形的形狀，主要有兩條途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊.具體有如下四種方法：通過正弦定理實施邊角轉換；通過余弦定理實施邊角轉換；通過三角變換找出角之間的關系；通過三角函數值符號的判斷以及正、余弦函數有界性的討論. 2.用正弦(余弦)定理解三角形問題時可適當應用向量數量積求三角形內角與應用向量的模求三角形邊長等. 3.在判斷三角形形狀或解斜三角形中，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隱含條件. 4.用向量的數量積求三角形內角時，需通過向量的方向判斷向量的夾角與三角形內角是相等還是互補. 二、注意問題 1.一方面要讓學生體會向量方法在解三角形方面的應用,另