1、4.3 簡單線性規劃的應用整體設計教學分析本節內容在教材中有著重要的地位與作用.線性規劃是利用數學為工具,來研究一定的人、財、物、時、空等資源在一定條件下,如何精打細算巧安排,用最少的資源,取得最大的經濟效益.它是數學規劃中理論較完整、方法較成熟、應用較廣泛的一個分支,并能解決科學研究、工程設計、經濟管理等許多方面的實際問題.中學所學的線性規劃只是規劃論中的極小一部分,但這部分內容體現了數學的工具性、應用性,同時也滲透了化歸、數形結合的數學思想,為學生今后解決實際問題提供了一種重要的解題方法數學建模法.通過這部分內容的學習,可使學生進一步了解數學在解決實際問題中的應用,培養學生學習數學的興趣、

2、應用數學的意識和解決實際問題的能力.把實際問題轉化為線性規劃問題,并給出解答是本節的重點也是難點.對許多學生來說,解數學應用題的最常見的困難是不會將實際問題轉化成數學問題,即不會建模.所以把實際問題轉化為線性規劃問題作為本節的難點.對學生而言,解決應用問題的障礙主要有三類:不能正確理解題意,弄不清各元素之間的關系;不能分清問題的主次關系,因而抓不住問題的本質,無法建立數學模型;孤立地考慮單個的問題情境,不能多方聯想,形成正遷移.針對這些障礙以及題目本身文字過長等因素,將本節設計為計算機輔助教學,充分利用現代化教學工具,從而將實際問題鮮活直觀地展現在學生面前,以利于理解.實際教學中注意的問題是:

3、用圖解法解決線性規劃問題時,分析題目的已知條件,找出約束條件和目標函數是關鍵.可先將題目中的量分類、列出表格,理清頭緒,然后列出不等式組(方程組)尋求約束條件,并就題目所述找到目標函數.另外若實際問題要求的最優解是整數解,而我們利用圖解法得到的解為非整數解,則應作適當調整,其方法應以與線性目標函數的直線的距離為依據,在直線的附近尋求與此直線距離最近的整點,不要在用圖解法所得到的近似解附近尋找.如果可行域中的整點數目很少,采用逐個試驗法也是很有效的辦法.教學上可適當采用多媒體和投影儀等輔助教學,以增加課堂容量,增強直觀性,進而提高課堂效率.三維目標1.通過本節學習,進一步了解線性規劃的意義以及線

4、性約束條件、線性目標函數、可行域及最優解等基本概念,了解線性規劃的圖解法,并能應用它解決一些簡單的實際問題.2.通過本節學習,培養學生觀察、聯想以及作圖能力,滲透化歸、數形結合的數學思想,提高學生建模能力和解決實際問題的能力.3.結合教學內容,培養學生學習數學的興趣和應用數學的意識,激勵學生勇于創新.重點難點教學重點:線性規劃在實際生活中的應用,培養學生應用數學的意識.教學難點:把實際問題轉化為數學問題,即數學建模是本節的教學難點.課時安排1課時教學過程導入新課思路1.(直接導入)上節課我們探究了用線性規劃解決求函數最值問題,這節課我們進一步探究有關線性規劃的有關問題,看看用線性規劃能解決哪些

5、實際問題.教師出示多媒體課件,提出問題,由此引入新課.思路2.(復習導入)生產實際中有許多問題都可歸結為線性規劃問題,其中有兩類重要實際問題:一是給定數量的人力、物力資源,問怎樣運用這些資源能使完成的任務量最大,收到的效益最大;二是給定一項任務,問怎樣統籌安排能使完成這項任務耗費的人力、物力資源最小.推進新課新知探究提出問題回憶我們從前解決實際問題的方法、步驟,在線性條件約束下,如何求目標函數的最值、最優解?前兩節我們解決了可行域中整點問題,訓練了求可行域中最優解問題,請思考最優解的個數有可能為無數個嗎?活動:教師與學生一起回憶上節課利用線性規劃求函數的最值、最優解的方法.在確定最優解時,首先

6、要賦予因變量的幾何意義,然后利用圖形的直觀來確定最優解;在確定最優解時,用直線的斜率來定位.關于可行域中的整點求法,是以與線性目標函數的直線的距離為依據,在直線的附近尋求與此直線距離最近的整點.如果可行域中的整點數目很少,采用逐個試驗法也是很有效的辦法.下面我們來探究最優解問題以及線性規劃在實際生活中的應用,體會利用線性規劃的方法解決實際問題的過程.討論結果:略.應用示例例1 醫院用甲、乙兩種原料為手術后的病人配營養餐.甲種原料每10 g含5單位蛋白質和10單位鐵質,售價3元;乙種原料每10 g含7單位蛋白質和4單位鐵質,售價2元.若病人每餐至少需要35單位蛋白質和40單位鐵質.試問:應如何使

7、用甲、乙原料,才能既滿足營養,又使費用最省?活動:本例中各種數據較多,這也是線性規劃模型的特點,教師引導學生用表格的形式將各種數據分類,則問題就變得一目了然,思路清晰了,如下表:原料/10 g蛋白質/單位鐵質/單位甲510乙74費用32設甲、乙兩種原料分別用10x g和10y g,則需要的費用為z=3x+2y;病人每餐至少需要35單位蛋白質,可表示為5x+7y35;同理,對鐵質的要求可以表示為10x+4y40,這樣,問題成為在約束條件下,求目標函數z=3x+2y的最小值.解:設甲、乙兩種原料分別用10x g和10y g,總費用為z,那么目標函數為z=3x+2y,作出可行域如圖1.圖1把z=3x

8、+2y變形為y=-x+,得到斜率為-.在y軸上的截距為,隨z變化的一組平行直線.由圖可知,當直線y=-x+經過可行域上的點A時,截距最小,即z最小.由,得A(,3),zmin=3×+2×3=14.4.答:甲種原料使用×10=28(g),乙種原料使用3×10=30(g)時,費用最省.點評:解決此問題的關鍵是將問題的文字語言轉換成數學語言,此題通過表格將數據進行整理,使問題難度大大降低,要通過本例讓學生形成這一思維習慣.例3 某工廠,若生產1車皮甲種肥料，產生的利潤為10 000元，若生產1車皮乙種肥料，產生的利潤為5 000元，那么分別生產甲、乙兩種肥料各

9、多少車皮，能夠產生最大的利潤？解:設生產x車皮甲種肥料，y車皮乙種肥料，能夠產生的利潤z萬元.目標函數z=x+0.5y,可行域如圖2.圖2把z=x+0.5y變形為y=-2x+2z,得到斜率為-2，在y軸上截距為2z,隨z變化的一組平行直線.由圖可以看出，當直線y=-2x+2z經過可行域上的點M時，截距2z最大，即z最大.解方程組得點M(2,2),因此當x=2,y=2時，z=x+0.5y取最大值，最大值為3.由此可見，生產甲、乙兩種肥料各2車皮，能夠產生最大的利潤，最大利潤為3萬元.變式訓練(2007山東卷)某公司計劃2008年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告,廣告總費用不超過9

10、萬元.甲、乙電視臺的收費標準分別為500元/分鐘和200元/分鐘.假定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元.問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大?最大收益是多少萬元？活動:這是高考中繼江蘇卷線性規劃大題后第二個線性規劃大題,教師引導學生按前面的方法列出表格,則各量之間的關系即一目了然.本題難度不大,可由學生自己解決.列表如下:甲乙合計時間x分鐘y分鐘300收費500元/分鐘200元/分鐘9萬元解:設公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元.由題意得目標函數為z=3 000x+2 00

11、0y.二元一次不等式組等價于圖3作出二元一次不等式組所表示的平面區域，即可行域，如圖4.圖4作直線l:3 000x+2 000y=0,即3x+2y=0.平移直線l，從圖中可知，當直線l過M點時，目標函數取得最大值.聯立解得x=100,y=200.點M的坐標為(100，200).zmax=3 000x+2 000y=700 000(元).答:該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬元.例3 某家具廠有方木料90 m3,五合板600 m2,準備加工成書桌和書櫥出售.已知生產每張書桌需要方木料0.1 m3、五合板2 m2;生產每個書櫥需要方木料0

12、.2 m3、五合板1 m2.出售一張書桌可獲利潤80元,出售一個書櫥可獲利潤120元,如果只安排生產書桌,可獲利潤多少?如果只安排生產書櫥,可獲利潤多少?怎樣安排生產可使所得利潤最大?活動:教師引導學生建立目標函數,根據已知條件列出不等式組找出可行域.解:(1)設只生產書桌x張,可獲得利潤z元,則當x=300時,zmax=80×300=24 000(元),即如果只安排生產書桌,最多可生產300張書桌,獲得利潤24 000元.(2)設只生產書櫥y張,可獲利潤z元,則當y=450時,zmax=120×450=54 000(元),即如果只安排生產書櫥,最多可生產450個,獲得利潤

13、54 000元. (3)設生產書桌x張,書櫥y個,利潤總額為z元.則x+2y900,2x+y600,x0,y0,z=80x+120y,可行域如圖4.由圖4可知:當直線y=-x+經過可行域上的點M時,截距最大,即z最大,解方程組得M的坐標為(100,400).zmax=80x+120y=80×100+120×400=56 000(元).因此,生產書桌100張、書櫥400個,可使所得利潤最大,最大利潤為56 000元.例4 某廠生產一種產品,其成本為27 元/kg,售價為50元/kg.生產中,每千克產品產生0.3 m3的污水,污水有兩種排放方式:方式一:直接排入河流.方式二:經

14、廠內污水處理站處理后排入河流,但受污水處理站技術水平的限制,污水處理率只有85%.污水處理站最大處理能力是0.9 m3/h,處理污水的成本是5元/m3.另外,環保部門對排入河流的污水收費標準是17.6元/m3,且允許該廠排入河流中污水的最大量是0.225 m3/h.那么,該廠應選擇怎樣的生產與排污方案,可使其每時凈收益最大?活動:為了解決問題,首先,要搞清楚是什么因素決定凈收益.凈收益=售出產品的收入-生產費用,其中生產費用包括生產成本、污水處理費、排污費等.設該廠生產的產量為x kg/h,直接排入河流的污水為y m3/h,每小時凈收益為z元,則(1)售出產品的收入為50x元/m3;(2)產品

15、成本為27x元/m3;(3)污水產生量為0.3x m3/h,污水處理量為(0.3x-y) m3/h,污水處理費為5(0.3x-y) 元/m3;(4)污水未處理率為1-0.85=0.15,所以污水處理廠處理后的污水排放量為0.15(0.3x-y) m3/h,環保部門要征收的排污費為17.60.15(0.3x-y)+y元/m3;(5)z=50x-27x-5(0.3x-y)-17.60.15(0.3x-y)+y=20.708x-9.96y.需要考慮的約束條件是(1)污水處理能力是有限的,即00.3x-y0.9;(2)允許排入河流的污水量也是有限的,即y+(1-0.85)(0.3x-y)0.225.解

16、:根據題意,本問題可歸納為:在約束條件下,求目標函數z=20.708x-9.96y的最大值.作出可行域,如圖5,令z=0作直線l0:20.708x-9.96y=0,由圖形可以看出,平移直線l0,在可行域中的頂點A處,z取得最大值.圖5解方程組得A(3.3,0.09).故該廠生產該產品3.3 kg/h，直接排入河流的污水為0.09 m3/h時，可使每小時凈收益最大，最大值為20.708×3.3-9.96×0.9=67.44(元).答:該廠應安排生產該產品3.3 kg/h,直接排入河流的污水為0.09 m3/h時,其每小時凈收益最大.知能訓練課本本節練習.課堂小結1.我們用線性規劃解決了哪兩類實際問題？2.教師點撥學生:你能用精練的幾個字來說明利用線性規劃解決實際問題的方法與步驟嗎？在教師引導下讓學生總結歸納出:(1)找:找出實際問題中的約束條件及目標函數;(2)畫:畫出線性約束條件所表示的可行域;(3)移:在線性目標函數所表示的一組平行線中,利用平移的方法找出與可行域有公共點且縱截距最大或最小的直線;(4)求:通過解方程組求出最優解;(5)答:作出答案,即可用5個字來概括:找、畫、移、求、答.作業1.課本習題3-4 B組2、3.2.閱讀本章小結建議.設計感想1.本教案設計注重學生的操