1、第6章 結構的變形、位移與剛度本章主要內容：本章主要內容：二次積分法、單位荷載二次積分法、單位荷載法、圖乘法計算梁的位移法、圖乘法計算梁的位移; ;剛度校核剛度校核難點：難點：單位荷載法、圖乘法計算位移單位荷載法、圖乘法計算位移第6章 靜定結構的變形6.1 軸力桿的變形與剛度軸力桿的變形與剛度6.2 平面彎曲梁的變形與剛度平面彎曲梁的變形與剛度6.3 計算梁和剛架位移的圖乘法計算梁和剛架位移的圖乘法6.4 梁的剛度條件和提高梁彎曲剛度的措施梁的剛度條件和提高梁彎曲剛度的措施6.5 靜定桿件結構的特性靜定桿件結構的特性一、結構的變形與位移一、結構的變形與位移1、變形：、變形：結構在荷載作用下其形

2、狀將會發生改變，結構結構在荷載作用下其形狀將會發生改變，結構的形狀改變稱為變形。的形狀改變稱為變形。2、位移：、位移：結構由于變形，其結點與截面位置將隨之發生結構由于變形，其結點與截面位置將隨之發生移動和轉動，這種移動和轉動稱為結構的位移。移動和轉動，這種移動和轉動稱為結構的位移。變形llFpCB一、結構的變形與位移一、結構的變形與位移荷載作用下鉸接三角形的位移ABCPCCC 為結點為結點C的的線位移；線位移；CC 為豎向分量，為豎向分量， 為水平分量；為水平分量； C C CC 為桿件為桿件AC的角位移。的角位移。二、產生變形與位移的原因二、產生變形與位移的原因 除了除了荷載荷載外，還有外，

3、還有溫度改變、支座移動、材料溫度改變、支座移動、材料 收縮和制造誤差收縮和制造誤差等。等。溫度改變產生的變形ABCBC1t C2t C1t C2t C21ttABCBC支座移動產生的位移aAb三、結構位移計算的目的三、結構位移計算的目的1、驗算剛度、驗算剛度2、為計算超靜定結構打基礎、為計算超靜定結構打基礎3、為施工服務，、為施工服務，如預拱度設置。如預拱度設置。在工程上，吊車梁允許的撓度在工程上，吊車梁允許的撓度 1/600 跨度；高層跨度；高層建筑的最大位移建筑的最大位移 1/1000 高度；最大層間位移高度；最大層間位移 1/800 層高。層高。6.1 軸力桿的變形與剛度一 軸線拉壓桿件

4、的變形1lll 軸向變形軸向變形FFl1l1 1、絕對變形、絕對變形橫向變形橫向變形1ddd一 軸線拉壓桿件的變形1 1、絕對變形、絕對變形ABCDCDBxu0dlimdxxuuxx 沿沿x方向的方向的線應變線應變2、應變、應變對于均勻變形情況對于均勻變形情況軸向應變軸向應變橫向應變橫向應變lldd FF6.1 軸力桿的變形與剛度一 軸線拉壓桿件的變形1 1、絕對變形、絕對變形2、應變、應變軸向應變軸向應變橫向應變橫向應變lldd 實驗證明，材料處于線彈性范圍時，拉壓桿的橫向實驗證明，材料處于線彈性范圍時，拉壓桿的橫向應變與軸向應變之間成線性關系，即應變與軸向應變之間成線性關系，即v稱為泊松比

5、，稱為泊松比，為材料常數為材料常數6.1 軸力桿的變形與剛度一 軸線拉壓桿件的變形1 1、絕對變形、絕對變形3、胡克定律（、胡克定律（Hookes law）實驗證明，線彈性范圍實驗證明，線彈性范圍FF2、應變、應變NF llA 引進比例常數引進比例常數ENF llEA E彈性模量彈性模量 胡克定律胡克定律EA桿的拉（壓）剛度。桿的拉（壓）剛度。表示桿抵抗拉壓變形的能力表示桿抵抗拉壓變形的能力6.1 軸力桿的變形與剛度三 軸線拉壓桿件的變形NF llEA NFlEAlENFAll適用范圍：適用范圍： 線彈性范圍；線彈性范圍； 軸力、橫截面積、材料均為常數時軸力、橫截面積、材料均為常數時鄭玄（12

6、7200）：“假設弓力勝三石,引之中三尺,馳其弦,以繩緩擐之,每加物一石,則張一尺?！编嵭嵭? -胡克定律胡克定律6.1 軸力桿的變形與剛度例例6-16-1：一等直鋼桿，橫截面為一等直鋼桿，橫截面為b*h=10*20mm2 ，材料的，材料的彈性模量為彈性模量為200GPa。試計算（。試計算（1）每段的軸向線變形；）每段的軸向線變形；（2）每段的線應變；（）每段的線應變；（3）全桿的總伸長。）全桿的總伸長。解解（1）設左、右兩段設左、右兩段分別為分別為1、2段段25kN5kN20kN1m2mABC20kN5kN331 11320 101 10200 101020NF llEA 0.5mm332

7、 2235 102 10200 101020NF llEA 0.25mm 6.1 軸力桿的變形與剛度（2）計算線應變）計算線應變25kN5kN20kN1m2mABC20kN5kN6.1 軸力桿的變形與剛度1110.50.05%1000ll2220.250.0125%2000ll （3）全桿的總伸長為）全桿的總伸長為120.25mmlll 6.2 平面彎曲梁的變形與剛度一、橫截面的撓度和轉角一、橫截面的撓度和轉角二、積分法計算梁的變形二、積分法計算梁的變形三、疊加法求梁的位移三、疊加法求梁的位移一、梁的撓曲線近似微分方程一、梁的撓曲線近似微分方程由于梁變形后的橫截面仍與撓曲線保持垂直，由于梁變形

8、后的橫截面仍與撓曲線保持垂直，故橫截面的轉角故橫截面的轉角 , ,就是撓曲線在該相應點的切線就是撓曲線在該相應點的切線與與x軸之間的夾角，從而有軸之間的夾角，從而有轉角方程：轉角方程：tan ( )dyxydxtan ( )xy小變形小變形 在小變形情況下，任一截面的轉角等于撓曲線在在小變形情況下，任一截面的轉角等于撓曲線在該截面處的切線斜率。該截面處的切線斜率。PxAB( )yf x梁的撓曲線梁的撓曲線y6.2 平面彎曲梁的變形與剛度一、梁的撓曲線近似微分方程一、梁的撓曲線近似微分方程 在在3-53-5中曾得到等直梁在線彈性范圍內純彎曲中曾得到等直梁在線彈性范圍內純彎曲情況下中性層的曲率為情

9、況下中性層的曲率為1( )( )M xxEI數學方面數學方面23/2(1)yy 小變形情況條件下，小變形情況條件下， 與與1 1相比十分微小，可相比十分微小，可忽略，則忽略，則2()yy 純彎曲純彎曲( )EIyM x 6.2 平面彎曲梁的變形與剛度二、二次積分法求梁的位移二、二次積分法求梁的位移積分一次積分一次( )EIyM x ( )EIyM x dxC 再積分一次再積分一次( )EIyM x dxdxCxD 式中：式中：C、D為積分常數。為積分常數。 積分常數可由邊界條件和連續條件確定。積分積分常數可由邊界條件和連續條件確定。積分常數確定后，常數確定后，轉角方程為轉角方程為1( )yM

10、x dxCEI撓曲線方程為撓曲線方程為1( )yM x dxdxCxDEI6.2 平面彎曲梁的變形與剛度例例1 1 求圖示懸臂梁求圖示懸臂梁A點的撓度與轉角。點的撓度與轉角。EI= =常數。常數。解解: (1) 建立坐標系，列彎矩方程建立坐標系，列彎矩方程EIPxdxC( )M xPx (0)xl( )EIyM xPx (2) 列撓曲線近似微分方程列撓曲線近似微分方程(3) 積分微分方程積分微分方程22xPC22xEIyPdxCxD36xPCxDxyxABlP6.2 平面彎曲梁的變形與剛度(4) 確定積分常數確定積分常數EIPxdxC22xPC22xEIyPdxCxD36xPCxD,xl邊界條

11、件邊界條件0,y 0代入，得代入，得22PlC 33PlD (5) 列轉角方程和撓曲線方程列轉角方程和撓曲線方程2222PxPlEIEI323623PxPlPlyxEIEIEIABxyxlP6.2 平面彎曲梁的變形與剛度(6) 求求A端得撓度和轉角端得撓度和轉角2222PxPlEIEI323623PxPlPlyxEIEIEI0 x ，22APlEI 33APlyEIA 為負值，說明為負值，說明A端截面繞中性軸逆時針轉動；端截面繞中性軸逆時針轉動；Ay 為正值，說明撓度向下。為正值，說明撓度向下。AyAyPABxxlA6.2 平面彎曲梁的變形與剛度例例2 2 求圖示簡支梁在均布荷載作用下的最大撓

12、度和最大轉角。求圖示簡支梁在均布荷載作用下的最大撓度和最大轉角。EI= =常數。常數。解解: (1) 建立坐標系，列彎矩方程建立坐標系，列彎矩方程211()22EIqxqlx dxC211( )22M xqlxqx(0)xlEIy (2) 列撓曲線近似微分方程列撓曲線近似微分方程(3) 積分微分方程積分微分方程3211()64EIyqxqlx dxCxDxqABxly2ql2ql21122qxqlx321164qxqlxC43112412qxqlxCxD6.2 平面彎曲梁的變形與剛度(4) 確定積分常數確定積分常數 321164EIqxqlxC43112412EIyqxqlxCxDABxxlq

13、y2ql2ql0,x 0,Ay 0By 324qlC 0D ,xl(5) 列轉角方程和撓曲線方程列轉角方程和撓曲線方程 332116424qlEIqxqlx34311241224qlEIyqxqlxx6.2 平面彎曲梁的變形與剛度(6) 求最大撓度和最大轉角求最大撓度和最大轉角 0,xxl及時424AqlEI4max5384qlyEI332116424qlEIqxqlx34311241224qlEIyqxqlxx/2,xlB maxymaxABxxlqy2ql2ql6.2 平面彎曲梁的變形與剛度積分法求梁變形的基本步驟：積分法求梁變形的基本步驟： 寫出彎矩方程；寫出彎矩方程； 若彎矩不能用一個

14、函數給出若彎矩不能用一個函數給出, ,要分段寫出要分段寫出; ; 由撓曲線近似微分方程，積分出轉角、撓度函數由撓曲線近似微分方程，積分出轉角、撓度函數; ; 利用邊界條件、連續條件確定積分常數利用邊界條件、連續條件確定積分常數. .如果分如果分n 段寫出彎矩方程，則有段寫出彎矩方程，則有2n個積分常數。個積分常數。6.2 平面彎曲梁的變形與剛度三、疊加法求梁的位移三、疊加法求梁的位移 疊加原理：疊加原理：承受復雜載荷時，可分解成幾種簡承受復雜載荷時，可分解成幾種簡單載荷，利用簡單載荷作用下的位移計算結果，疊單載荷，利用簡單載荷作用下的位移計算結果，疊加后得到復雜載荷作用下的撓度和轉角。加后得到

15、復雜載荷作用下的撓度和轉角。 適用條件：適用條件：材料服從胡克定律和小變形撓度和材料服從胡克定律和小變形撓度和轉角均與載荷成線性關系轉角均與載荷成線性關系6.2 平面彎曲梁的變形與剛度簡單荷載作用下梁的轉角和撓度簡單荷載作用下梁的轉角和撓度 maxBFABlxyf22BFlEI3max3FlfEIqyxlBABmaxf36BqlEI4max8qlfEIxyl/2l/2BAFPFlQF 圖圖Ml/2l/2PF /2/2FP4PF lM圖/2qlFQ圖qql82/2qlF2P2FP2ql2qll/2l/2l216ABFlEI 3max48FlfEIlqAByxPFlQF 圖圖Ml/2l/2PF /2/2FP4PF lM圖/2qlFQ圖qql82/2qlF2P2FP2ql2qll/2l/2l324ABqlEI 4max5384qlfEI疊加法計算梁的位移疊加法計算梁的位移(a)FABCEIl/2l/2(b)ABCl/2l/2qqFABCl