1、精選優質文檔-傾情為你奉上等比數列的前n項和一、等比數列的前n項和公式1乘法運算公式法Sna1a2a3ana1a1qa1q2a1qn1 a1(1qq2qn1)a1·，Sn.2方程法Sna1a1qa1q2a1qn1 a1q(a1a1qa1qn2) a1q(a1a1qa1qn1a1qn1) a1q(Sna1qn1)，(1q)Sna1a1qn. Sn.3等比性質法an是等比數列，q.q，即q于是Sn.二、等比數列前n項和公式的理解(1)在等比數列的通項公式及前n項和公式中共有a1，an，n，q，Sn五個量，知道其中任意三個量，都可求出其余兩個量(2)當公比q1時，等比數列的前n項和公式是S

2、n，它可以變形為Sn·qn，設A，上式可寫成SnAqnA.由此可見，非常數列的等比數列的前n項和Sn是由關于n的一個指數式與一個常數的和構成的，而指數式的系數與常數項互為相反數當公比q1時，因為a10，所以Snna1是n的正比例函數(常數項為0的一次函數)等比數列前n項和性質（1）在等比數列an中，連續相同項數和也成等比數列，即：Sk，S2kSk，S3kS2k，仍成等比數列（2）當n為偶數時，偶數項之和與奇數項之和的比等于等比數列的公比，即q.（3）若一個非常數列an的前n項和SnAqnA(A0，q0，nN*)，則數列an為等比數列，即SnAqnA數列an為等比數列題型一等比數列前n

3、項和公式的基本運算（在等比數列an的五個量a1，q，an，n，Sn中，a1與q是最基本的元素，當條件與結論間的聯系不明顯時，均可以用a1和q表示an與Sn，從而列方程組求解，在解方程組時經常用到兩式相除達到整體消元的目的，這是方程思想與整體思想在數列中的具體應用；在解決與前n項和有關的問題時，首先要對公比 q1或q1進行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類討論）1、 在等比數列an中，(1)若Sn189，q2，an96，求a1和n；(2)若q2，S41，求S8.2、 設等比數列an的前n項和為Sn，若S3S62S9，求數列的公比q.題型二等比數列前n項和性質的應用3、 一個等比數列的首項為1，項

4、數是偶數，其奇數項的和為85，偶數項和為170，求出數列的公比和項數 4、 等比數列an中，若S27，S691，求S4.題型三等比數列前n項和的實際應用5、借貸10 000元，以月利率為1%，每月以復利計息借貸，王老師從借貸后第二個月開始等額還貸，分6個月付清，試問每月應支付多少元？(1.0161.061,1.0151.051)規范解答 方法一設每個月還貸a元，第1個月后欠款為 a0元，以后第n個月還貸a元后，還剩下欠款an元(1n6)，則a010 000，a11.01a0a，a21.01a1a1.012a0(11.01)a， a61.01a5a1.016a011.011.015a. 由題意，

5、可知a60，即1.016a011.011.015a0，a.因為1.0161.061， 所以a1 739.故每月應支付1 739元方法二一方面，借款10 000元，將此借款以相同的條件存儲6個月，則它的本利和為S1104(10.01)6104×(1.01)6(元)另一方面，設每個月還貸a元，分6個月還清，到貸款還清時，其本利和為S2a(10.01)5a(10.01)4a a1.0161×102(元)由S1S2，得a. 以下解法同法一，得a1 739.故每月應支付1 739元方法技巧錯位相減法求數列的和若數列an為等差數列，數列bn為等比數列，由這兩個數列的對應項乘積組成的新數

6、列為anbn，當求該數列的前 n項的和時，常常采用將anbn的各項乘以公比q，并向后錯位一項與anbn的同次項對應相減，即可轉化為特殊數列的求和，所以這種數列求和的方法稱為錯位相減法 6、已知等差數列an的前3項和為6，前8項和為4. (1)求數列an的通項公式；(2)設bn(4an)qn1(q0，nN*)，求數列bn的前n項和Sn.數列歸納整合一、數列的概念及表示方法(1)定義：按照一定順序排列著的一列數(2)表示方法：列表法、圖象法、通項公式法和遞推公式法(3)分類：按項數有限還是無限分為有窮數列和無窮數列；按項與項之間的大小關系可分為遞增數列、遞減數列、擺動數列和常數列 (4)an與Sn

7、的關系：an二、等差數列、等比數列性質的對比等差數列等比數列性質 設an是等差數列，若stmn，則asataman； 從等差數列中抽取等距離的項組成的數列是一個等差數列； 等差數列中連續m項的和組成的新數列是等差數列，即：Sm，S2mSm，S3mS2m，是等差數列 設an是等比數列，若stmn，則as·atam·an； 從等比數列中抽取等距離的項組成的數列是一個等比數列； 等比數列中連續m項的和組成的新數列是等比數列，即：Sm，S2mSm，S3mS2m，是等比數列(注意：當q1且m為偶數時，不是等比數列) 函數特性等差數列an的通項公式是n的一次函數，即ananb(a0，a

8、d，ba1d)；等差數列an的前n項和公式是一個不含常數項的n的二次函數，即Snan2bn(d0)等比數列an的通項公式是n的指數型函數，即anc·qn，其中c0，c；等比數列an的前n項和公式是一個關于n的指數型函數，即Snaqna(a0，q0，q1)三、等差數列、等比數列的判斷方法 (1)定義法：an1and(常數)an是等差數列；q(q為常數，q0)an是等比數列(2)中項公式法：2an1anan2an是等差數列；an12an·an2(an0)an是等比數列(3)通項公式法：ananb(a，b是常數)an是等差數列；anc·qn(c，q為非零常數)an是等比

9、數列(4)前n項和公式法：Snan2bn(a，b為常數，nN*)an是等差數列；Snaqna(a，q為常數，且a0，q0，q1，nN*)an是等比數列 專題一數列通項公式的求法數列的通項公式是數列的核心之一，它如同函數中的解析式一樣，有解析式便可研究函數的性質，而有了數列的通項公式，便可求出數列中的任何一項及前n項和常見的數列通項公式的求法有以下幾種：(1)觀察歸納法求數列的通項公式就是觀察數列的特征，橫向看各項之間的關系結構，縱向看各項與序號n的內在聯系，結合常見數列的通項公式，歸納出所求數列的通項公式(2)利用公式法求數列的通項公式數列符合等差數列或等比數列的定義，求通項時，只需求出a1與

10、d或a1與q，再代入公式ana1(n1)d或ana1qn1中即可(3)利用an與Sn的關系求數列的通項公式如果給出的條件是an與Sn的關系式，可利用an先求出a1S1，再通過計算求出an(n2)的關系式，檢驗當n1時，a1是否滿足該式，若不滿足該式，則an要分段表示(4)利用累加法、累乘法求數列的通項公式形如：已知a1，且an1anf(n)(f(n)是可求和數列)的形式均可用累加法；形如：已知a1，且f(n)(f(n)是可求積數列)的形式均可用累乘法 (5)構造法(利用數列的遞推公式研究數列的通項公式) 若由已知條件直接求an較難，可以通過整理變形等，從中構造出一個等差數列或等比數列，從而求出

11、通項公式1、已知數列an滿足an1an3n2且a12，求an. 2、數列an中，若a11，an1an(nN*)，求通項公式an.3、已知數列an滿足an13an2(nN*)，a11，求通項公式4、設Sn為數列an的前n項的和，且Sn(an1)(nN*)，求數列an的通項公式專題二數列求和求數列的前n項和Sn通常要掌握以下方法：1、公式法：直接由等差、等比數列的求和公式求和，注 意對等比數列q1的討論2、錯位相減法：主要用于一個等差數列與一個等比數列對應項相乘所得的數列的求和，即等比數列求和公式的推導過程的推廣3、分組轉化法：把數列的每一項分成兩項，使其轉化為幾個等差、等比數列再求和4、裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差求和，正負相消剩下首尾若干項5、倒序相加法：把數列正著寫和倒著寫再相加(即等差數列求和公式的推導過程的推廣)1、求數列2，4，6，2n的前n項和Sn.2、在數列an中，an，又bn，求數列bn的前n項的和3、求和Snx2x23x3nxn. 專題三數列的交匯問題數列是高中代數的重點內容之一，也是高考的必考內容及重點考查的范圍，它始終處在知識的交匯點上，如數列與函數、方程、不等式等其他知識交匯進行命題1、已知單調遞增的等比數列an滿足a2a3a428，且