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文檔簡介

1、蝴蝶定理 ABCDO我們在解決有關面積問題時，經常用到如下一個結論：在四邊形ABCD中，若對角線AC、BD交于點O，則：SAODSBOC= SAOBSDOC （注：SAOD為三角形的面積，以下同）證明：設OA=m，OC=n，AOD的高為x, BOC的高為y, 則SAOD =mx SAOB=my SBOC=nx SDOC=ny SAODSBOC= SAOBSDOC=mnxy這就引導我們思考這樣一個問題，四邊形中的結論能否在三角形中也存在著這樣的結論呢？ABCDEFO如圖：在ABC中，點D、E分別是BC和AC上任意一點，連接CO并延長交AB于點F。則有以下結論成立：（1） SBODSAOC= SA

2、OBSDOC（2）SBOFSAOC= SAOFSBOC （3）SBOCSAOE= SAOBSEOC證明（1）如下：設OA=a OD=b COA的高為h1,AOB的高為h2， SAOC=ah1 SDOC=bh1 SAOB=ah2 SBOD=bh2 SBODSAOC= SAOBSDOC=abh1h2同理可證（2）（3）可以用以上結論解決三角形中一些有關面積的問題。例1：（第十七屆“希望杯”全國邀請賽初一第二試22題） 如圖所示，ABC的面積為1，E是AC的中點，O是BE的中點。連結AO并延長交BC于D，連結CO并延長交AB于F。求四邊形BDOF的面積。ABCDEFO解： E為AC的中點，且ABC的

3、面積為1 SABE= SCBE= 點O為BE的中點 SAOB= SAOE=SABE= SCOB= SCOE=SCBE=設BOF和BOD的面積分別是x、y則：SBOFSAOC= SAOFSBOC x(+)=(-x) 解得x=同理：y= 四邊形BDOF的面積是例2：（第十四屆“希望杯”全國邀請賽初一第一試25題）ABCGFDE如圖，ABC的面積為25cm2，AE=ED，BD=2DC，則AEF與BDE的面積之和等于 cm2，四邊形CDEF的面積等于 cm2解：連結CE并延長交AB于點G， ABC的面積為25cm2 ，BD=2DC SADC= SABC= SABD= SABC= AE=ED SAEB= SDEB=SABD= SAEC= SDEC=SADC= 設 AEF的面積為xcm2 SEFCSAEB= SAEFSBEC （-x）=x(+) 解得 x=即AEF的面積為cm2 SAEF+ SDEB=+=10（cm2） S四邊形CDEF= -=（cm2

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