1、函數的對稱性與周期性【知識梳理】1. 周期的概念：設函數，如果存在非零常數，使得對任意都有 ，那么函數為周期函數，T為的一個周期；2. 周期函數的其它形式 ； ； ； ； ， ， 3. 函數圖像的對稱性1.假設，那么的圖像關于直線 對稱；2.假設，那么的圖像關于點 對稱；3假設，那么的圖像關于直線 對稱；4假設，那么的圖像關于直線 對稱；5假設，那么的圖像關于點 對稱；6假設，那么的圖像關于點 對稱；4. 常見函數的對稱性1函數的圖像關于點 對稱；2函數的圖像關于直線 對稱；3函數的圖像關于直線 對稱；【例題選講】題型一 根據解析式判斷函數圖像的對稱性1. 函數的圖像關于 對稱；2. 函數的定

2、義域為R，且，那么的圖像關于 對稱；3. 函數的圖像關于 對稱；4. 函數的圖像關于直線 對稱；關于點 對稱；題型二 平移變換后，函數圖像的對稱性1.函數是偶函數，在遞減，那么( ) 2.是偶函數，那么的圖像關于 對稱；3.是奇函數，那么的圖像關于 對稱；題型三 函數圖像的對稱性求函數解析式1.的圖像關于直線對稱，且時，求時，的解析式；2.的圖像關于點對稱，且時，求時，的解析式；3.的圖像關于點對稱，且時，求時，的解析式；題型四 函數周期性和圖像對稱的應用1.假設函數的圖像關于點對稱，求滿足的關系；2.函數的定義域為，且對任意，都有(1)假設有個根，求所有這些根的和；(2)假設有個根，求所有這

3、些根的和；3.假設有兩條對稱軸和，求證：是以為周期的周期函數；4.設是定義在上的偶函數，它的圖像關于直線對稱，當時，求時，的解析式；5.定義域為的函數滿足，求證函數是周期函數；題型五 綜合應用1設是定義在區間上以2為周期的函數，對于，用表示區間，當時，1求在上的解析式；2對自然數k，求集合使方程在上有兩個不等實根。2定義在上的函數的圖象關于直線對稱，當時，函數。1求的值；2求的函數表達式；3如果關于的方程有解，那么將方程在取某一確定值時所求得所有解的和記為，求的所有可能取值及相對應的的取值范圍。3函數1求證：函數的圖像關于點對稱； 2計算：的值。函數的對稱性與周期性課后練習1.定義在R上的函數

4、單調遞增，如果的值A恒小于0B恒大于0C可能為0D可正可負2.函數滿足：是偶函數；在上為增函數 假設那么與的大小關系是A> B< C= D與的大小關系不能確定3.函數是定義在上的偶函數，且，當時，那使成立的x的集合為AB C D4.函數f(x)滿足：f(1)，4f(x)f(y)f(xy)f(xy)(x，yR)，那么f(2 010)_.5.假設滿足2x+=5, 滿足2x+2(x1)=5, + A. B.3 C. D.46.設指數函數與對數函數的圖象分別為C1、C2，點M在曲線C1上，線段OMO為坐標原點交曲線C1于另一點N假設曲線C2上存在一點P，使點P的橫坐標與點M的縱坐標相等，點

5、P的縱坐標是點N的橫坐標的2倍，那么點P的坐標是A.4， B. C. D.7.1，那么函數圖像關于 對稱；2，那么函數圖像關于 對稱；3假設，那么函數圖像關于 對稱8.1函數是奇函數，那么函數圖像關于 對稱；2函數是奇函數，那么函數圖像關于 對稱 9.定義在上的函數滿足，且當時，那么_10.假設，那么的周期性是： 11.1定義域是的奇函數又是周期為周期函數，那么 ， 2是定義在上的奇函數，且滿足，那么_；3假設和都是定義域是的奇函數，那么 12.定義域是的奇函數圖像關于直線對稱，當時，那么當時，函數零點個數是 13.是R上的偶函數，是R上的奇函數，且，假設，那么 14.1是定義域為的偶函數，且

6、，當時，那么 2設定義在上的函數滿足，假設，那么 15.是以2為周期的偶函數，當時，那么在區間 內，關于的方程有5個不同的根，那么實數的取值范圍是 16.設是定義在R上的偶函數，對任意，都有，且當2，0時，假設在區間2，6內關于x的方程恰有三個不同的實數根，那么的取值范圍為A.1，2 B.2，C.1，D.，217.函數和的零點分別是，求證答案4.函數f(x)滿足：f(1)，4f(x)f(y)f(xy)f(xy)(x，yR)，那么f(2 010)_.解析：f(1)，令y1得f(x)f(x1)f(x1)，即f(x1)f(x)f(x1)，f(x2)f(x1)f(x)，由得f(x2)f(x1)，即f(x3)f(x)，那么f(x6)f(x)該函數周期為6.f(2 010)f(6×3350)f(0)令x1，y0得4f(1)f(0)f(1)f(1)，f(0).f(2 010).答案：5.假設滿足2x+=5, 滿足2x+2(x1)=5, +A. B.3 C